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Carthagène Voyager à laide de loptimisation combinatoire Simon de Givry.

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1 Carthagène Voyager à laide de loptimisation combinatoire Simon de Givry

2 Trouver un tour passant par toutes les villes une seule fois et ayant une distance totale minimale

3 Matrice des distances (km)

4 Trouver un ordre des marqueurs qui maximise la vraisemblance

5 Matrice des distances 2-points (Haldane)

6 Lien M1 M2M3M4M5M6M7 M fictif 00 …0… i,j,k distance(i,j) ? distance(i,k) + distance(k,j) =, Vraisemblance multi-points (avec manquants) la distance entre deux points dépend du tour

7 Problème du voyageur de commerce Traveling Salesman Problem (TSP) Graphe complet Poids positifs sur chaque arête Cas symétrique dist(i,j) = dist(j,i) Inégalité triangulaire dist(i,j) dist(i,k) + dist(k,j) Distance euclidienne Trouver le plus court cycle Hamiltonien

8 7 8 15

9 Distance totale = xxx km

10 Problème du voyageur de commerce Intérêt théorique Problème NP-complet : +150 articles sur le TSP dans INFORMS & Decision Sciences Intérêt applicatif Extension au problème de tournées de véhicules Ordonnancement de marqueurs Carthagène, NCBI/Concorde,...

11 Variantes Euclidean Traveling Salesman Selection Problem Asymmetric Traveling Salesman Problem Symmetric Wandering Salesman Problem Selective Traveling Salesman Problem TSP with distances 1 and 2, TSP(1,2) K-template Traveling Salesman Problem Circulant Travelling Salesman Problem On-line Traveling Salesman Problem Time-dependent TSP The Angular-Metric Traveling Salesman Problem Maximum Latency TSP Minimum Latency Problem Max TSP Traveling Preacher Problem Bipartite TSP Remote TSP Precedence-Constrained TSP Exact TSP The Tour Cover problem...

12 Plan Introduction du TSP Construction d un tour Amélioration d un tour Construction arborescente

13 Construction dun tour

14

15 Heuristique « plus proche voisin » (Nearest Neighbor)

16 Heuristique « plus petite distance 2-points » (Greedy, multifragment heuristic)

17 Heuristique « meilleure fusion » (Savings, Clarke-Wright 1964)

18 Heuristiques Distance moyenne à loptimum Meilleure fusion :11% (Savings) Plus petite distance 2-pts :12% (Greedy) Plus proche voisin :26% (Nearest Neighbor)

19

20 Amélioration dun tour

21 Quelle modification locale peut-on faire pour améliorer ce tour ?

22 Effacer deux arêtes et reconstruire un tour inversion dune séquence de marqueurs

23 Modification 2-change

24 Effacer trois arêtes et reconstruire un tour (7 possibilités) échange l ordre de deux séquences de marqueurs

25 Recherche locale « gloutonne » 2-opt Remarque : une succession finie de « 2- change » permet d atteindre nimporte quel tour, y compris un tour optimum Stratégie : sélection du meilleur 2-change parmi N*(N-1)/2 voisins (2-move) répétition tant que la distance totale diminue

26 2-opt

27 Recherches locales gloutonnes Distance moyenne à loptimum 2-opt :9% 3-opt :4% LK (k-opt bridé) :1% Complexité 2-opt : ~N 3 3-opt :~N 4 LK (k-opt bridé) :

28 Complexités n = nombre de sommets

29 Pour chaque arête (uv), maintenir la liste des sommets w tels que dist(w,v) < dist(u,v) u v Implémentation efficace du 2-opt :

30 Lin & Kernighan (1973) k-change : e 1 ->f 1,e 2 ->f 2,... => Sum k i=1 ( dist(e i ) - dist(f i ) ) > 0 Il existe un ordre sur les i tel que toutes les sommes partielles soient positives : S l = Sum l i=1 ( dist(e i ) - dist(f i ) ) > 0 => Construit un cycle alterné valide augmentant : xx ->yx, yy -> zy, zz -> wz, etc. dist(f 1 )

31 x x y y z z w (maximisation) e2e2 e3e3 e4e4 e1e1 f1f1 f3f3 f2f2 f4f4 w {x,y,z,w,..} ^ {x,y,z,w,..} = 0 y parmi 5 meilleurs voisins de x, idem pour z et w.

32 Est-ce que le tour 2-opt est un tour optimum ?

33 2-opt + réinsertion de sommet

34 Optimum local versus global

35 Recherches locales & « méta-heuristiques » Recherche Taboue Sélection du meilleur voisin même s il dégrade la qualité du tour Interdiction temporaire de refaire une modification locale faite précédemment liste de modifications « taboues » Ré-initialisation avec différents tours de départ lorsque la recherche sélectionne un tour déjà vu construction aléatoire d un tour

36 Expérimentations ds CartaGène N=50 K=100 Err=30% Abs=30% Légende : partial 2-opt = arrêt prématuré, guided 2-opt 25% = arrêt prématuré & trie avec X = 25 %

37 Expérimentations - suite

38 Autres méta-heuristiques Recuit simulé (simulated annealing) Choix aléatoire des modifications locales Acceptation dun voisin en fonction de sa qualité ; processus de + en + glouton Algorithmes génétiques Population dindividus (tours) Mutation, croisement,…

39 Recherche locale Démonstration

40 Construction arborescente

41 Arbre de recherche M2M1M3 M2M3 M1M3M1M2 M3 M2M3M1M2 M1 M1,M2,M3 Profondeur 1: Profondeur 2: Profondeur 3: feuilles nœud branches racine = point de choix = alternatives = solutions

42 Recherche globale Complexité : n!/2 ordres différents Éviter les ordres symétriques (1 ère moitié de larbre) Utilisation des heuristiques gloutonnes pour ordonner les alternatives Algorithme de « séparation & évaluation » Élagage des branches qui ne conduisent pas vers une solution meilleure Possibilité de combiner recherche locale et recherche globale

43 Elagage de branche Arbre couvrant de poids minimum Algorithme de Prim (1957) Algorithme de Held & Karp (arbre plus « filiforme ») (1971) linear programming relaxation of TSP, LB(I)/OPT(I) 2/3

44 Heuristique de Christofides (1976) => A(I) / OPT(I) 3/2 (avec inégalité triangulaire)

45 Complexité Ordinateur de référence Ordinateur 100 fois plus rapide Ordinateur 1000 fois plus rapide NN1100*N11000*N1 N2N2 N210*N231,6*N2 N3N3 N34,64*N310*N3 2N2N N4N4+6,64N4+9,97 3N3N N5N5+4,19N5+6,29

46 Méthodes complètes 1954 : 49 villes 1971 : 64 villes 1975 : 100 villes 1977 : 120 villes 1980 : 318 villes 1987 : 2,392 villes 1994 : villes 1998 : villes 2001 : villes ( sec. 19 ans CPU)


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