Etude des effets dissipatifs

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1 Etude des effets dissipatifs
de différents schémas d’intégration temporelle en calcul dynamique par éléments finis Laurent Mahéo Le 22 décembre 2006 Devant le jury composé de : Patrice CARTRAUD Vincent GROLLEAU Eric RAGNEAU Lalaonirina RAKOTOMANANA Gérard RIO Messieurs les membres du jury, Bonjour. Je vous présente aujourd’hui mes travaux de thèse qui se sont déroulés au Laboratoire de Génie Mécanique et Matériaux (le LG2M) à l’Université de Bretagne-Sud sous la direction de Gérard Rio et de Vincent Grolleau. J’associe également à ces travaux les Ecoles Militaires de Saint-Cyr Coëtquidan. Le poste d’Attaché d’Enseignement et de Recherche que j’ai occupé durant ces quatre dernières années a permis un financement sûr et un apprentissage nécessaire du métier d’enseignant. Les travaux qui seront exposés aujourd’hui traiteront de l’étude des effets dissipatifs de différents schémas d’intégration temporelle en calcul dynamique par éléments finis. Ce titre de trois lignes appelle évidemment une première explication de texte qui posera ainsi les bases de notre étude. Laboratoire de Mécanique et Matériaux Ecoles Militaires de Coëtquidan Laboratoire de Génie Mécanique et Matériaux Université de Bretagne-Sud LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

2 Méthode des Eléments Finis (MEF)
Introduction PLAN Introduction Dynamique & Éléments finis Intégration temporelle Effets dissipatifs Historique LG2M Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Calcul dynamique par éléments finis Régime dynamique = phénomène dans lequel les effets inertiels de la structure étudiée ne sont plus négligeables et les temps d’évolution de la sollicitation sont du même ordre de grandeur que les temps de propagation des ondes dans la structure. Méthode des Eléments Finis (MEF) Commençons tout d’abord par définir ce que l’on entend par : « régime dynamique ». Une définition usuelle du régime dynamique pourrait être la suivante : « phénomène dans lequel les effets inertiels de la structure étudiée ne sont plus négligeables et les temps d’évolution de la sollicitation sont du même ordre de grandeur que les temps de propagation dans la structure ». On peut schématiser cette définition par une automobile impactant un mur dans le cadre d’un crash test par exemple. Le temps de l’impact y est très court. La phase du choc à proprement parler n’excède pas les quelques dizaines de millisecondes, tout au plus, c’est à dire un clignement de l’œil. L’utilisation de crash-test étant coûteuse pour les industriels, les études de conception sont menées principalement par le biais de l’outil informatique. L’automobile est alors représentée spatialement dans le logiciel de calcul. On utilise classiquement la Méthode des Eléments Finis, méthode qui permet donc d’approcher un problème continu à l’aide d’un nombre fini d’inconnues. Représentation de l’espace LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

3 Méthode des Différences Finies Méthode des Eléments Finis
Introduction PLAN Introduction Dynamique & Éléments finis Intégration temporelle Effets dissipatifs Historique LG2M Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Schéma d’intégration temporelle temps Méthode des Différences Finies Une fois la structure représentée spatialement, il est nécessaire de décrire la variable « temps » pour représenter le phénomène. C’est l’objet de la discrétisation temporelle. Classiquement l’intégration temporelle utilisée est la Méthode des Différences Finies qui permet une discrétisation de la variable temps. Il est en effet irréalisable de traiter un problème de dynamique en résolvant le problème spatial en prenant frontalement tous les instants. Cela reviendrait à résoudre un problème de dimension 4. Le fait de discrétiser le temps nous empêchera d’accéder à une information continue. Pour s’en rendre compte, considérons une tôle de 20 cm de longueur maintenue à chaque extrémité par des mors de serrage et impactée en son centre par une bille. Pour des raisons de symétrie, seul 1/4 du problème est discrétisé spatialement. Le résultat de simulation numérique nous permet alors d’obtenir l’évolution de la flèche au cours du temps. Cette évolution a l’air continue. Mais si on fait un zoom sur la figure, on constate que ce n’est qu’une suite de mesures prélevées régulièrement et espacées d’un pas de temps de calcul. Malgré ces résultats que l’on pourrait qualifier de triviaux, le problème de dynamique est un problème complexe : D’abord, on peut dire qu’il s’agit d’un problème hyperbolique. Il permet donc l’existence de discontinuités ce qui pose tout d’abord des difficultés pour modéliser la discontinuité à partir d’une discrétisation temporelle de type Différences Finies. Ensuite, en observant l’équation de D’Alembert caractérisant les problèmes de dynamique, on constate une symétrie entre le temps (t) et l’espace représenté par la variable (x). Mais on ne la retrouve pas lorsque l’on utilise un code d’éléments finis classique qui utilise des Eléments Finis pour l’espace et des Différences Finies pour le temps. On peut citer notamment les travaux du Français Bohatier sur les Eléments Finis espace temps dans les années 80. Ses travaux sont restés longtemps trop peu inexploités. Ils parviennent cependant à se développer depuis quelques années comme nous le verrons, par la suite, par l’utilisation du schéma de Galerkin-discontinu. Problème dynamique Problème hyperbolique discontinuités Méthode des Eléments Finis symétrie temps - espace LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

4 Introduction Effets dissipatifs Problème hyperbolique + perturbations
Force mesure Introduction PLAN Introduction Dynamique & Éléments finis Intégration temporelle Effets dissipatifs Historique LG2M Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Effets dissipatifs Problème hyperbolique + perturbations Pas d’atténuation attendue Méthodes « amortissantes » « dissipatives » Le problème de dynamique étant hyperbolique, toute perturbation aura tendance à ne pas s’atténuer au cours du temps. Pour quantifier ces erreurs, nous utilisons une solution analytique de référence. Nous considérons donc un cas monodimensionnel qui est le seul cas permettant l’obtention d’une solution analytique sans aucune approximation comme ça peut être le cas en 2D ou en 3D. Ce cas 1D correspond à d’une barre encastrée à une extrémité et chargée axialement à l’autre extrémité. On constate que la réponse numérique en contrainte, ici en rouge, est très éloignée de la solution analytique « référence » en noir. Ces erreurs doivent être diminuées ou « amorties ». Différentes méthodes amortissantes peuvent alors être utilisées avec notamment les schémas temporels amortissants qui constituent le sujet de notre étude. Ces méthodes amortissent les perturbations hautes fréquences en dissipant progressivement l’énergie du problème, d’où le terme de méthodes dissipatives. On définit ainsi la dissipation comme la capacité du problème à dissiper de l’énergie. La dissipation n’est pas exclusivement assurée par ces méthodes numériques. En effet, le comportement physique grande déformation d’une structure fait également apparaître des lois dissipatives. Dans le cas de notre investigation sur les effets dissipatifs des schémas d’intégration temporelle, nous n’utiliserons qu’un comportement conservatif en utilisant notamment une loi élastique ce qui évitera de cumuler la dissipation provenant des schémas temporels et celle provenant du comportement matériel. Dissipation = capacité du problème à dissiper de l’énergie. Comportement grande déformation  dissipation physique  Investigations menées sur comportement conservatif (élastique) LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

5 Introduction Historique du LG2M Thèse de N. Couty (1999)
PLAN Introduction Dynamique & Éléments finis Intégration temporelle Effets dissipatifs Historique LG2M Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Historique du LG2M Thèse de N. Couty (1999) Thèse de S. Umiastowski (2005) Thèse d’A. Soive (2003) - intérêt du schéma de Tchamwa-Wielgosz - dépendance au pas de temps - méthode de filtrage du chargement - amortissement ciblé non suffisant - étude 1D Les travaux que nous vous présentons aujourd’hui s’inscrivent dans une histoire récente du laboratoire avec la thèse de Nicolas Couty débutée, il y a 10 ans, par une collaboration du Laboratoire avec le GERBAM qui est le Groupe d’Etude et de Recherche en Balistique, Arme, et Munitions et la Direction des Constructions Navales (DCN). La collaboration concernait principalement des problèmes expérimentaux avec notamment la prise en compte des conditions aux limites lors d’essais de souffle sur des tôles de construction navale. Cette thèse qui n’a pas uniquement traité les aspects expérimentaux a permis de jeter les bases de travail de l’équipe dynamique du laboratoire. L’année passée, le Capitaine Stefan Umiastowski a soutenu ses travaux de thèse sur le développement d’un dispositif de mesure de force réalisé par un projectile instrumenté. Ses recherches ont permis de poursuivre les études de Nicolas Couty sur les efforts de contact. Anthony Soive, lui, s’est intéressé au domaine des schémas d’intégration temporelle amortissants. Il a ainsi pu montrer : l’intérêt de l’utilisation du schéma temporel de Tchamwa-Wielgosz permettant un amortissement efficace des oscillations d’origine purement numériques la dépendance au pas de temps de l’amortissement pour les schémas temporels amortissants. Il a également proposé une méthode de filtrage du chargement pour supprimer les hautes fréquences et diminuer les perturbations introduites et a ensuite étudier les limitations de l’approche. Enfin, il a montré que cibler l’amortissement au début du calcul n’était pas suffisant pour éliminer complètement les erreurs numériques. Son étude exclusivement 1D a permis de jeter les bases des recherches que nous présentons aujourd’hui. LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

6 Objectifs et plan de l’investigation
Introduction Objectifs & Plan Orientation & Problématique Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Orientation et problématique Compléter des travaux en 1D - simulation avec de longs temps de calcul - contrôle de l’amortissement au cours du calcul - investigation sur schéma Espace temps Etendre l’investigation au cas 3D - dispersion spatiale - application expérimentale Les recherches que nous avons menées ont pour but : dans un premier temps de compléter les travaux 1D d’Anthony Soive. Le choix de poursuivre l’étude 1D est naturel pour différentes raisons : l’existence d’une solution analytique « référence » et une meilleure compréhension des phénomènes. Nous étudions les effets dissipatifs sur de longs temps de calcul, ce qui correspond à des propagations d’onde de plusieurs mètres dans les matériaux usuels. Nous choisissons d’étudier le contrôle de l’amortissement au cours du calcul pour contrecarrer la réapparition des erreurs. Enfin, nous nous intéressons à un nouveau schéma temporelle où l’intégration est réalisée par la Méthode des Eléments Finis. dans un second temps, l’investigation est étendue aux cas 3D : Cela nous permettra d’évaluer le comportement des méthodes amortissantes sur un cas prenant en compte la dispersion spatiale Nous étudierons également le comportement de ces méthodes sur un exemple d’application expérimental. Au delà de ces différents points d’étude, il s’agit de quantifier l’impact du schéma sur la simulation pour pouvoir aider l’utilisateur d’un code de calcul à choisir la meilleure modélisation, a priori. Cette aide est inexistante aujourd’hui sur les logiciels de calcul commerciaux ou non. Le plan sera constamment présenté sur la partie droite. Après cette introduction, nous présentons les différentes méthodes amortissantes étudiées, puis les cas 1D, 3D. Quantifier l’impact du schéma sur la simulation pour aider à choisir la meilleure modélisation a priori LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

7 II ] Méthodes amortissantes
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Intégration MDF Tchamwa Intégration MEF Bonelli Bulk-viscosity Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Intégration temporelle Différences Finies Acquisition expérimentale : Simulation numérique : fréquence 1 MHz  10-6 s - petits pas de temps => SCHEMA EXPLICITE Schémas étudiés : - discrétisation de l’équation différentielle sur 1 pas de temps : - Différences Finies Centrées (CFD) précision : 2 - Tchamwa-Wielgosz précision : <2 Précision supérieure => Absence d’oscillation parasite ? - intégration directe explicite de l’équation différentielle : - Runge-Kutta d’ordre de précision 4-5 Runge-Kutta 4-5 : résolutions : ordre 4 et 5 imbriquées - estimation d’erreur - pilotage des paramètres du sous pas de temps Au niveau expérimental, les temps d’évolution des phénomènes étudiés sont très courts : de quelques dizaines voire centaines de micro-secondes. Le pas de temps d’acquisition doit être de l’ordre de la micro-seconde pour une observation des phénomènes. De même, la simulation numérique nécessite une discrétisation temporelle du même ordre de grandeur ce qui rend évident l’utilisation de schémas de type explicites. Durant nos recherches, nous avons utilisés plusieurs schémas d’intégration temporelle qu’il est important de présenter. Pour les différencier les uns des autres, nous regardons la manière qu’ils utilisent pour résoudre l’équation différentielle issue du problème de dynamique : avec la masse M, le résidu des efforts intérieurs et le résidu des efforts extérieurs. on retrouve ainsi les schémas de Différences Finies et de Tchamwa qui utilise une discrétisation de l’équation différentielle sur 1 pas de temps. La précision de ces schémas n’excède pas le 2ème ordre. La première question naturelle est de savoir si avec une précision supérieure, cela permettrait d’obtenir un signal sans aucune oscillation numérique parasite. Pour s’en rendre compte, nous avons étudié le schéma de Runge-Kutta d’ordre 4-5 qui utilise une intégration directe explicite de l’équation différentielle. Ce schéma utilise deux résolutions imbriquées l’une dans l’autre. Une d’ordre 4 et une autre d’ordre 5. A partir de ces deux résolutions, une erreur est estimée et permet ainsi un pilotage des paramètres du sous pas de temps. Le schéma de Runge-Kutta implanté sous cette forme est reconnu pour sa haute précision par rapport à une méthode d’Euler. En terme de résultats, on a pu constaté qu’il permettait de retrouver la solution théorique du système discrétisé mais ne parvenait que très faiblement à amortir les oscillations numériques parasites. Un amortissement est nécessaire pour traiter ces oscillations et cela passe par l’utilisation par exemple de schéma amortissant comme celui de Tchamwa qui est le sujet de la prochaine diapositive. LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

8 II ] Méthodes amortissantes
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Intégration MDF Tchamwa Intégration MEF Bonelli Bulk-viscosity Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Schéma de Tchamwa (1997) - Précision d’ordre Sur ce système de 3 équations, on retrouve en premier l’équation différentielle discrétisée où les déplacements nodaux q, les vitesses nodales q’ et les accélérations nodales q¨ sont exprimées à l’instant n+1. Les deux équations qui suivent représentent le champ des vitesses q’ et le champ des déplacements q à l’instant n+1 exprimés explicitement en fonction des valeurs nodales à l’instant n. Un paramètre phi apparaît dans la dernière équation et représente le paramètre d’amortissement. Les études de convergence menée par Bertrand Tchamwa et Anthony Soive montrent notamment une précision et une limite de stabilité omega inférieures à celles des Différences Finies Centrées. - Conditionnellement stable LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

9 II ] Méthodes amortissantes
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Intégration MDF Tchamwa Intégration MEF Bonelli Bulk-viscosity Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Schéma de Tchamwa (1997) CFD Tchamwa Décentré à droite Poursuivons en comparant en détail ce schéma de Tchamwa avec celui des Différences Finies Centrées. Le Schéma CFD permet le calcul des vitesses au demi pas de temps à partir des déplacements au pas de temps n et n+1. On parle donc de différences centrées. Ensuite l’accélération à l’instant n est calculée à partir des vitesses au demi pas de temps inférieur et supérieur. Le schéma de Tchamwa permet le calcul des vitesses au pas de temps n en fonction des déplacements nodaux aux instants n-1 et n. Il en est de même pour la vitesse à n+1. On observe un décentrage à droite du calcul des vitesses. Ensuite l’accélération à l’instant n est calculée à partir des vitesses aux instants n et n+1. En résumé, on peut dire que le schéma est décentré à droite. Si on compare maintenant le déplacement à l’instant n+1 des Différences Finies Centrées avec le déplacement du schéma de Tchamwa que l’on prend soin d’exprimer en fonction des champs nodaux des Différences Finies Centrées. On constate que le paramètre d’amortissement phi apparaît comme une perturbation de l’accélération dans le calcul du déplacement nodal. Perturbation de l’accélération LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

10 II ] Méthodes amortissantes
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Intégration MDF Tchamwa Intégration MEF Bonelli Bulk-viscosity Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Intégration temporelle Eléments Finis Différences Finies : - discrétisation équation différentielle Eléments Finis : - formulation variationnelle (forme intégrale) des équations  - intérêts des Eléments Finis espace-temps : - symétrie temps et espace - problème dynamique : hyperbolique (existence de discontinuité) - Travaux de Bonelli : - un des rares schémas explicites en Galerkin-discontinu On vient de présenter l’intégration temporelle de type Différences Finies qui utilise une discrétisation de l’équation différentielle à travers les schémas de Différences Finies Centrées et de Tchamwa. Poursuivons par la présentation de l’intégration temporelle de type Eléments Finis qui utilise une formulation variationnelle ou forme intégrale des équations. On rappelle notamment que l’utilisation d’une telle intégration va permettre d’assurer une symétrie de traitement du temps et de l’espace, symétrie réelle de l’équation de D’Alembert ainsi qu’une possibilité d’introduire des discontinuités au pas de temps. Nous étudions plus particulièrement les travaux de Bonelli qui proposent un schéma explicite dissipatif et vérifions ces propriétés amortissantes sur un cas simple 1D. LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

11 II ] Méthodes amortissantes
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Intégration MDF Tchamwa Intégration MEF Bonelli Bulk-viscosity Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Schéma de Bonelli (2001) 1/ Déplacements et quantités de mouvement discontinus  2 inconnues : position quantité de mouvement pas de temps découpé en sous intervalles Bonelli propose 2 inconnues la position (q) et la quantité de mouvement (p). La position (q) est exprimée en fonction : Tout d’abord, des temps (t1) et (t2) qui sont des pas de temps découpés en sous intervalles et des valeurs des positions (q1) et (q2) que l’on peut considérer comme la position juste après le pas de temps (tn) et juste avant le pas de temps (tn+1). Il en est de même pour la quantité de mouvement. Ainsi des discontinuités en position et en quantité de mouvement peuvent être présentes à chaque pas de temps. LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

12 II ] Méthodes amortissantes
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Intégration MDF Tchamwa Intégration MEF Bonelli Bulk-viscosity Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Schéma de Bonelli (2001) 2/ Fondée sur la formulation de Galerkin-discontinu Equation d’équilibre Relation vitesse - déplacement Conditions continuité vitesse, déplacement La formulation de Galerkin-discontinu fait intervenir l’équation d’équilibre et la relation vitesse - déplacement exprimées dans leur forme variationelle et les conditions de continuité vitesse et déplacement exprimée dans leur forme faible. Les fonctions w représentent les champs de fonctions tests associés aux positions et aux quantités de mouvement. avec fonctions tests : LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

13 II ] Méthodes amortissantes
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Intégration MDF Tchamwa Intégration MEF Bonelli Bulk-viscosity Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Schéma de Bonelli (2001) 3/ Détermination des positions et quantité de mouvement inconnues - Intégration en temps : 3 points de Gauss Pour chacune des fonctions tests (w q) et (w p), on obtient une relation faisant intervenir les inconnues de position (q1) et (q2) et de quantité de mouvement (p1) et (p2), les conditions initiales (p0) et (q0), les puissances des efforts internes (P q alpha) où (alpha) vaut 1 ou 2 et les puissances des efforts externes (P i alpha). Il faut noter que dans les expressions de (P q alpha) et (P i alpha), l’intégration en temps est effectuée selon une quadrature de Gauss où le nombre de points d’intégration proposé par Li et Wiberg sont de 3 par sécurité. Une condensation explicite permet ensuite d’exprimer les quantités de mouvement (p1) et (p2) en fonction des positions (q0), (q1) et (q2). - Condensation explicite des quantités de mouvement LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

14 II ] Méthodes amortissantes
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Intégration MDF Tchamwa Intégration MEF Bonelli Bulk-viscosity Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Schéma de Bonelli (2001) 4/ Prédiction / correction - Prédiction - Calcul de résidus On introduit enfin une étape de prédiction / correction. La prédiction des positions (q1) et (q2) fait intervenir deux paramètres (a) et (b) qui seront déterminés exactement grâce à l’étude de convergence. Le calcul des résidus (r_1(k)) et (r_2(k)) fait suite à la prédiction. k est le nombre de boucles effectuées. Les résidus doivent tendre vers 0 au fur et à mesure des boucles effectuées. La correction est réalisée pour chaque boucle sur la matrice Masse. - Correction Direction de descente : M LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

15 II ] Méthodes amortissantes
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Intégration MDF Tchamwa Intégration MEF Bonelli Bulk-viscosity Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Schéma de Bonelli (2001) 5/ Choix d’une méthode explicite  Algorithme semi-explicite : matrice masse M diagonale maximum d’itérations  Etude de convergence : consistance : précision d’ordre 3  stabilité : paramètre de dissipation   Finalement, 3 paramètres : Nombre de points de Gauss - Nombre d’itérations - amortissement L’algorithme devient finalement semi-explicite pour les raisons suivantes : L’utilisation d’une matrice diagonale. Un maximum d’itérations (k) pour le calcul du résidu est déterminé. L’étude de convergence à travers l’étude de consistance permet d’abord d’en déduire une relation liant les deux paramètres (a) et (b) pour obtenir un ordre de précision de 3 pour le schéma. Les propriétés de stabilité de l’algorithme dépendent de la matrice d’amplification. Les auteurs déterminent ensuite, à partir d’observations, un paramètre (rho_b) correspondant au rayon spectral à la bifurcation limite. Ce paramètre permet la dissipation d’énergie pour stabiliser le schéma. Une dernière relation permet enfin de lier le paramètre (rho_b) à (b) en fonction du nombre de boucles choisies. Finalement, ce schéma est piloté par 3 paramètres : Le nombre de points de Gauss utilisé pour l’intégration du temps. le nombre d’itérations maximum (k_max) et le paramètre d’amortissement (rho_b) Les deux diapositives suivantes présentent les principales caractéristiques de ce schéma. LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

16 II ] Méthodes amortissantes
mesure Force PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Intégration MDF Tchamwa Intégration MEF Bonelli Bulk-viscosity Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Schéma de Bonelli (2001) 6/ Caractéristiques - Possibilité d’utiliser un pas de temps h > hc (h = 1.04 hc) - Solution théorique du système discrétisé LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

17 II ] Méthodes amortissantes
mesure Force PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Intégration MDF Tchamwa Intégration MEF Bonelli Bulk-viscosity Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Schéma de Bonelli (2001) 6/ Caractéristiques - Amortissement important au début du calcul LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

18 II ] Méthodes amortissantes
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Intégration MDF Tchamwa Intégration MEF Bonelli Bulk-viscosity Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Bulk-viscosity Von Neuman & Richtmeyer (1950) - Landshoff (1955) introduction d’un comportement visqueux (viscosité sphérique) ajout d’un terme de pression au tenseur des contraintes fonction linéaire (C1) et quadratique (C0) de la trace du tenseur taux de déformation  (C1) (C0) t LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

19 Rappel des objectifs Type schéma : Tchamwa CFD DGE Bonelli Type schéma
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Type schéma : Tchamwa CFD DGE Bonelli Type schéma Tchamwa CFD DGE Bonelli Type schéma Tchamwa CFD DGE Bonelli Maillage : 1D 3D distorsion Maillage : 1D 3D distorsion Maillage : 1D 3D distorsion Maillage : 1D 3D distorsion Pas de temps Pas de temps Chargement Créneau Lissé Chargement Créneau Lissé Problème dynamique E. Fini : Linéaire Quadratique Ordre de précision Ordre de précision Avant de présenter la partie résultats rappelons les voies d’investigation possibles de ce problème de dynamique. On peut y étudier : Le type de maillage : 1D, 2D et 3D ou encore des maillages distordus. Le type de schéma évidemment : Tchamwa, Différences Finies Centrées ou Bonelli. L’influence du pas de temps. L’influence du chargement : en imposant un chargement discontinu de type créneau ou un chargement régulier et lissé. L’ordre de précision du schéma. L’influence de la matrice masse. Ou encore le type d’interpolation de l’élément fini choisi pour représenter l’espace : linéaire ou quadratique. A ce sujet, lors de l’utilisation classique d’une intégration temporelle de type Différences Finies et d’une intégration spatiale de type Eléments Finies, il nous paraît important d’utiliser des éléments finis espace linéaires pour éviter d’accentuer le déséquilibre de traitement entre le temps et l’espace. Pour ces raisons, nous n’étudierons pas pour le moment des éléments finis espace plus riches. Parmi ces nombreuses voies d’investigations qui ne sont pas exhaustives, Anthony Soive a étudié principalement l’influence du pas de temps, du chargement pour les schémas de Tchamwa et de Différences Finies et uniquement en 1D. Nous proposons de compléter dans un premier temps son étude 1D, en s’intéressant à l’ordre de précision du schéma, puis à l’influence de la matrice masse choisie. Nous poursuivrons par les résultats de tous les schémas en incluant un nouveau, celui de bonelli. Nous regarderons ensuite l’efficacité de ces schémas sur des maillages 1D distordus avant de passer à une étude 2D - 3D prenant en compte l’inertie radiale. Matrice Masse : Diagonale Consistante Matrice Masse Diagonale Consistante LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

20 III ] Etude 1D Description
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Description Matrice Masse Tch & BV Bonelli Maillage Conclusion Pilotage Etude 3D Description - Caractéristiques matérielles choisies arbitrairement  normer résultats E = 200 GPa -  = kg.m-3  c0 = mm.s tA/R = s - Chargement : durée : pas de superposition F = 10 N - S = 10 mm2   = 1 MPa pas de temps : 90% hc Cas 1D étudié par tout le monde pour 0.9 : classiquement LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

21 III ] Etude 1D Influence de la matrice masse (CFD) A/R : 1 & 2
Force mesure III ] Etude 1D PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Description Matrice Masse Tch & BV Bonelli Maillage Conclusion Pilotage Etude 3D Influence de la matrice masse (CFD) 1er Aller A/R : 1 & 2 Consistante = naturelle Diagonale = masse aux noeuds Diagonale car augmenter le pas de temps Et diminuer le temps de calcul. - Diagonale : amplitude des oscillations diminue - Consistante : amplitude des oscillations augmente  Choix de la matrice masse conditionne le problème. LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

22 III ] Etude 1D Résultats Tchamwa et Bulk-viscosity  Masse Diagonale
Force mesure III ] Etude 1D  Masse Diagonale PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Description Matrice Masse Tch & BV Bonelli Maillage Conclusion Pilotage Etude 3D Résultats Tchamwa et Bulk-viscosity A/R : 19 & 20 20 A/R 1er Aller - Amortissement des oscillations parasites (1er A/R) - Affaiblissement significatif du signal de contrainte : 5% - 20 A/R (8 m) - Baisse d’énergie de % en 20 A/R - Amortissement efficace des oscillations parasites au début - Dégradation trop importante du signal à terme.  Amortissement est à contrôler LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

23 III ] Etude 1D Résultats Bonelli  Masse Diagonale AR : 19 & 20
Force mesure III ] Etude 1D  Masse Diagonale PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Description Matrice Masse Tch & BV Bonelli Maillage Conclusion Pilotage Etude 3D Résultats Bonelli 1er Aller AR : 19 & 20  Solution du système discrétisé avec un amortissement ciblé au début  Moins performant que le Bulk-visc. ou Tchamwa à terme - Très performant au début - Amortissement à long terme plus faible que Tchamwa ou Bulk-viscosity LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

24 III ] Etude 1D Influence du maillage distordu  maillage homogène
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Description Matrice Masse Tch & BV Bonelli Maillage Conclusion Pilotage Etude 3D Influence du maillage distordu  maillage homogène - fenêtre d’éloignement des nœuds - position aléatoire des nœuds dans la fenêtre  maillage faiblement perturbé  maillage fortement perturbé LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

25 III ] Etude 1D Influence du maillage distordu  Masse Diagonale
Force mesure III ] Etude 1D PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Description Matrice Masse Tch & BV Bonelli Maillage Conclusion Pilotage Etude 3D Bulk-viscosity A/R : 19 & 20 Bulk-viscosity 20 A/R Tchamwa 20 A/R  Masse Diagonale Tchamwa A/R : 19 & 20 Influence du maillage distordu  Dépendance des schémas d’intégration temporelle (étude influence h)  Indépendance du Bulk-Viscosity LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

26 III ] Etude 1D Conclusion - bilan
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Description Matrice Masse Tch & BV Bonelli Maillage Conclusion Pilotage Etude 3D Conclusion - bilan - Runge-Kutta  solution théorique du système discrétisé  - Matrice Masse  conditionne le problème - Maillage  dépendance des schémas temporels amortissants - Bonelli  amortissement efficace au tout début - Tchamwa et Bulk-viscosity : - efficace au début du calcul mais trop amortissant à terme - Amortissement permanent  dégradation progressive du signal  contrôle de l’amortissement : algorithme de pilotage de Tchamwa LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

27 IV ] Pilotage amortissement 1D
Force mesure IV ] Pilotage amortissement 1D  Masse Diagonale PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Mise en place Paramètres Résultats Maillage Conclusion Etude 3D Mise en place  Amortissement fonction de chaque degré de liberté de la structure : - laisser passer l’onde - amortir les oscillations  Détermination d’observable pour piloter l’amortissement : - quand amortir ? - quelle quantité amortir ?  Observables : - accélération nodale - vitesse moyenne LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

28 IV ] Pilotage amortissement 1D
Force mesure IV ] Pilotage amortissement 1D  Masse Diagonale PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Mise en place Paramètres Résultats Maillage Conclusion Etude 3D Paramètres de l’algorithme Quand amortir ? - Observations du graphe de vitesse moyenne + val_max - val_max - val_min + val_min LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

29 IV ] Pilotage amortissement 1D
Force mesure IV ] Pilotage amortissement 1D  Masse Diagonale PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Mise en place Paramètres Résultats Maillage Conclusion Etude 3D Paramètres de l’algorithme Quelle quantité amortir ? - Observations des graphes d’accélérations nodales Si l’accélération nodale est importante, => l’oscillation doit être amortie plus fortement + b - b LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

30 IV ] Pilotage amortissement 1D
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Mise en place Paramètres Résultats Maillage Conclusion Etude 3D val_min val_max Paramètres de l’algorithme b Bornes déterminées graphiquement : Val_min & val_max  1 seul paramètre : b LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

31 IV ] Pilotage amortissement 1D
Force mesure IV ] Pilotage amortissement 1D 50 A/R A/R : 44 & 45 1er Aller 19ème Aller  Masse Diagonale PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Mise en place Paramètres Résultats Maillage Conclusion Etude 3D Résultats LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

32 IV ] Pilotage amortissement 1D
Force mesure IV ] Pilotage amortissement 1D  Masse Diagonale PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Mise en place Paramètres Résultats Maillage Conclusion Etude 3D Influence du maillage 20 A/R 1er Aller A/R : 19 & 20 LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

33 IV ] Pilotage amortissement 1D
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Mise en place Paramètres Résultats Maillage Conclusion Etude 3D Conclusion - bilan  Algorithme de pilotage de l’amortissement pour Tchamwa - 2 bornes déterminées graphiquement - 1 paramètre b (quantité d’amortissement)  Efficacité sur maillage 1D - homogène - distordu Conclusion - perspectives  Etude en cours sur l’efficacité de l’algorithme sur un cas 3D LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

34 V ] Etude 3D axi-symétrique
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Etude 3D Description Théorie zz rr et rz Coef. Poisson Bilan interméd. Barre alu Conclusion Description ur uz - Mêmes caractéristiques matérielles et  = 0.3 - Même chargement LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

35 V ] Etude 3D axi-symétrique
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Etude 3D Description Théorie zz rr et rz Coef. Poisson Bilan interméd. Barre alu Conclusion Solutions théoriques (pas de solution exacte) - Théorie des Barres de Love (1934) : - prise en compte de l’inertie radiale - représentation d’un seul mode de déformation axiale - dépendant du coefficient de Poisson et du moment polaire - Phénomène de DISPERSION : - célérité des ondes : Théorie 1D Inertie radiale LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

36 V ] Etude 3D axi-symétrique
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Etude 3D Description Théorie zz rr et rz Coef. Poisson Bilan interméd. Barre alu Conclusion Solutions théoriques - Calcul du déplacement et de la contrainte par Davies (1948) - superposition modale - barre libre - libre 5ème Aller 1er Aller LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

37 V ] Etude 3D axi-symétrique
-> Masse consistante Force mesure V ] Etude 3D axi-symétrique 20 A/R 1er Aller A/R : 19 & 20 A/R : 1 & 2 PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Etude 3D Description Théorie zz rr et rz Coef. Poisson Bilan interméd. Barre alu Conclusion Résultats en contraintes axiales -> Masse Consistante - Moins d’oscillations Hautes Fréquences (HF) à l’origine - Tchamwa, Bulk-V., Bonelli : amortissement des oscillations HF - Baisse d’énergie moins importante Amortissement plus faible qu’en 1D (moins d’oscillations HF) LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

38 V ] Etude 3D axi-symétrique
-> Masse consistante Force mesure V ] Etude 3D axi-symétrique Cisaillement A/R : 1 & 2 Cisaillement A/R : 19 & 20 Radiales A/R : 19 & 20 Radiales A/R : 1 & 2 PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Etude 3D Description Théorie zz rr et rz Coef. Poisson Bilan interméd. Barre alu Conclusion Résultats en contraintes radiales et de cisaillement - Radiales : Amortissement des oscillations parasites - Cisaillement : Amortissement des oscillations parasites Amortissement visible sur les contraintes radiales et de cisaillement - Amortissement plus important pour Tchamwa que pour Bulk-viscosity LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

39 V ] Etude 3D axi-symétrique
-> Masse consistante Force mesure V ] Etude 3D axi-symétrique Bulk-viscosity A/R : 19 & 20 Bulk-viscosity 20 A/R PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Etude 3D Description Théorie zz rr et rz Coef. Poisson Bilan interméd. Barre alu Conclusion Influence du coefficient de Poisson  Tchamwa : pas de sensibilité au coefficient de Poisson  Bulk-viscosity : sensibilité au coefficient de Poisson LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

40 V ] Etude 3D axi-symétrique
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Etude 3D Description Théorie zz rr et rz Coef. Poisson Bilan interméd. Barre alu Conclusion Bilan intermédiaire - Influence de la prise en compte de l’inertie radiale - Les oscillations HF sont peu nombreuses  amortissement plus faible en 3D - Oscillations parasites visibles sur les contraintes radiales et de cisaillement - Sensibilité du Bulk viscosity au coefficient de Poisson Quid de la simulation pour   0.5 ? - Insensibilité du schéma de Tchamwa au coefficient de Poisson  Calcul sur un cas expérimental LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

41 V ] Etude 3D axi-symétrique
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Etude 3D Description Théorie zz rr et rz Coef. Poisson Bilan interméd. Barre alu Conclusion Application : Barre aluminium - Dispositif des barres d’Hopkinson ( = 40 mm) : Lprojectile = 150 mm Lbarre = 2991 mm - Aluminium : c0 = 5140 m.s  = 2820 kg.m-3 -  = 0.3 - Chargement expérimental : - Géométrie physique (Grolleau, LMS, 2006) LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

42 V ] Etude 3D axi-symétrique
-> Masse consistante Force mesure V ] Etude 3D axi-symétrique 5ème Retour PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Etude 3D Description Théorie zz rr et rz Coef. Poisson Bilan interméd. Barre alu Conclusion Application : Barre aluminium - chargement expérimental : présence oscillations (origine non identifiée) - zoom : amortissement des oscillations HF parasites Amortissement des oscillations numériques pour un cas utilisant un chargement expérimental et une géométrie physique LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

43 V ] Etude 3D axi-symétrique
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Etude 3D Description Théorie zz rr et rz Coef. Poisson Bilan interméd. Barre alu Conclusion Conclusion - bilan - Les oscillations HF sont peu nombreuses  amortissement plus faible en 3D - Amortissement plus faible pour le Bulk-viscosity  dépendance au coefficient de Poisson - Chargement expérimental & géométrie physique :  mise en évidence de l’amortissement des oscillations LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

44 VI ] Conclusion Bilan Pilotage de l’amortissement Type schéma Tchamwa
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Bilan Perspectives Bilan Type schéma Tchamwa CFD DGE Bonelli Maillage : 1D 3D distorsion Pas de temps Chargement Créneau Lissé Problème dynamique E. Fini : Linéaire Quadratique Ordre de précision On peut faire le bilan de cette thèse en reprenant le schéma des différentes voies d’investigations possibles pour améliorer la compréhension et les résultats pour un problème dynamique. Hormis les avancées d’Anthony Soive sur le pas de temps et le chargement et les explications données sur le choix de ne pas étudier le type d’interpolation d’élément fini espace, on a montré que le fait d’utiliser un schéma d’intégration temporelle de haute précision (Runge-Kutta par exemple), ne permet pas d’obtenir des résultats sans oscillations. Il n’améliore que très sensiblement les résultats et ne constitue pas la solution pour le problème de dynamique. Ensuite, lors de la mise en données du problème, il faut avoir à l’esprit quelle est la matrice masse utilisée car elle conditionne les résultats. Un nouveau schéma de type Galerkin-discontinu a été étudié et comparé aux autres schémas temporels amortissants. Ce qui en ressort : c’est qu’il est très performant au tout début du calcul, lorsqu’apparaît la discontinuité de chargement mais il devient moins performant au cours du calcul dans le filtrage continu des oscillations parasites. Pour régler le problème d’un amortissement trop important du schéma de Tchamwa après plusieurs aller / retours, nous avons défini un algorithme de pilotage de l’amortissement. Les résultats sur des maillages homogènes ou distordus montrent une réelle efficacité à filtrer les oscillations en limitant la dégradation progressive du signal. Enfin, nous avons comparé les méthodes amortissantes sur un problème de dimension 2. Nous avons constaté des oscillations issues de la prise en compte de l’inertie radiale et des oscillations parasites en quantité inférieure au cas 1D. Pour ces raisons, l’amortissement y est moins important. Nous avons également montré l’influence du coefficient de Poisson sur l’amortissement du Bulk-viscosity, ce qui pourrait posé des problèmes lors d’étude dynamique d’élastomères au coefficient de Poisson élevé. Enfin, une application aux barres d’Hopkinson nous a permis de confirmer ces premiers résultats en confrontant les méthodes d’amortissement à un chargement, une géométrie et des propriétés matérielles issus de l’expérimental. Matrice Masse Diagonale Consistante LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

45 VI ] Conclusion Perspectives
PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion Bilan Perspectives Perspectives  Etude des méthodes amortissantes sur des barres moins élancées  Utilisation de la solution de Pochhammer Chree  Pilotage de l’amortissement sur des problèmes 3D  Poursuivre l’investigation de la méthode de Galerkin-discontinu - utilisation d’une discrétisation plus riche en temps (et en espace) - réflexion sur la direction de descente pour l’étape de correction (problème de contact : importance des résidus interne et externe)  Utilisation des méthodes amortissantes dans des problèmes de contact (perturbations liées à l’accostage discontinu des points de contact) LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

46 Etude des effets dissipatifs
de différents schémas d’intégration temporelle en calcul dynamique par éléments finis Laurent Mahéo Le 22 décembre 2006 Devant le jury composé de : Patrice CARTRAUD Vincent GROLLEAU Eric RAGNEAU Lalaonirina RAKOTOMANANA Gérard RIO Messieurs les membres du jury, Bonjour. Je vous présente aujourd’hui mes travaux de thèse qui se sont déroulés au Laboratoire de Génie Mécanique et Matériaux (le LG2M) à l’Université de Bretagne-Sud sous la direction de Gérard Rio et de Vincent Grolleau. J’associe également à ces travaux les Ecoles Militaires de Saint-Cyr Coëtquidan. Le poste d’Attaché d’Enseignement et de Recherche que j’ai occupé durant ces quatre dernières années a permis un financement sûr et un apprentissage nécessaire du métier d’enseignant. Les travaux qui seront exposés aujourd’hui traiteront de l’étude des effets dissipatifs de différents schémas d’intégration temporelle en calcul dynamique par éléments finis. Ce titre de trois lignes appelle évidemment une première explication de texte qui posera ainsi les bases de notre étude. Laboratoire de Mécanique et Matériaux Ecoles Militaires de Coëtquidan Laboratoire de Génie Mécanique et Matériaux Université de Bretagne-Sud LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan

47 Numérotation PLAN Introduction Objectifs & Plan Méthodes amortissantes Etude 1D Pilotage Etude 3D Conclusion 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 LG2M - UBS Lorient Laurent MAHEO décembre 2006 LMM - Ecoles de Coëtquidan