Traitement Numérique d ’Images Principes de Base

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1 Traitement Numérique d ’Images Principes de Base
Jean-François Lerallut, UTC Veronica Medina, UAM Joaquin Azpiroz Leehan, UAM Lerallut, Medina, Azpiroz © 1999 UTC-UAM BM-06 Chapitre 3. Bases

2 Traitement Numérique d ’Images Principes de Base
Rappels mathématiques Le système visuel humain Colorimétrie Résolution spatiale et quantification

3 Fonction de Dirac Définition: a Propriétés:

4 Cas bidimensionnel : x y d(x-a,y-b) b a x y d(x)

5 Séparabilité : Peigne de Dirac : Cas 2-D : Autres définitions :
Répétition de la fonction de Dirac sur l'axe x Cas 2-D : Utilité : théorie de l'échantillonnage Autres définitions :

6 « Brosse » de Dirac Spectre

7 Application à la réponse impulsionnelle des systèmes linéaires
A partir de la fonction d'Heavyside : x H(x) 1 f(x) h(x) g(x) Si f(x)=Heavyside, la réponse impulsionnelle s'obtient en dérivant g(x) dans le cas des S.L. Cas 2-D : f(x,y)= somme pondérée d'impulsions de Dirac

8 Soit g(x,y) la sortie correspondante d'un S.L. :
c-a-d : L'opérateur linéaire Q ne concerne que les fonctions dépendantes de (x,y),c-a-d : Notons h(x,y,a,b) la réponse impulsionnelle du système : Pour un S.L. stationnaire (invariance d'espace) : C'est une équation de convolution qui s'écrit :

9 Propriétés : Cas discret :

10 a f(a) 1 a g(a) 1 1/2 a g(-a) -1 1/2 a g(x-a) -1 1/2 x a f(a)g(x-a) -1 1/2 x 1 x-1 a f(a)g(x-a) -1 1/2 x 1 x f(x)*g(x) 1 1/2 2

11 Corrélation Définition: 1-D : 2-D :
permet de connaître la " ressemblance " entre deux fonctions f et g. (Par ex, si f et g sont identiques à un décalage près, la valeur maximale de la fonction de cross-corrélation permet de connaître la valeur de ce décalage.) Autre propriété : la transformée de Fourier de la fonction d'auto-corrélation est égale au carré du module de la TF de cette fonction, c-a-d le spectre d'énergie de cette fonction f(x,y).

12 a f(a) 1 a g(a) 1 1/2 a g(x+a) x 1/2 1 a f(a)g(x+a) 1/2 1 x a f(a)g(x+a) 1/2 1 x x 1 1/2 -1

13 Transformée de Fourier Rappel 1-D :
Si la variable est le temps, u est une fréquence. Si la variable est une distance, u est appelée " fréquence spatiale ". F(u) existe si : 1) f(x) est bornée 2) Cas 2-D : Transformée inverse :

14 - Le noyau est séparable - F(u) complexe = R(u) + jI(u) Séparabilité :
Remarques : - Le noyau est séparable - F(u) complexe = R(u) + jI(u) Séparabilité : f(x,y) f(u,y) F(u,v) u v y x Transformation sur les lignes sur les colonnes 1D

15 Exemple 1-D : x f(x) A X

16 Ax |F(u)| u 1/x -1/x 2/x -2/x

17 (a) Rectangle lumineux d ’intensité unité, de cotés a et b selon OX et Oy respectivement,
(b) et (c) la transformé de Fourier est le produit de deux fonctions en sinu/u et sinv/v S(u,v)=ab sinc pua sinc pub

18 (a) Disque lumineux de diamètre D et d’intensité unité (objet à symétrie circulaire),
(b) et (c) la transformé de Fourier, également à symétrie circulaire, a pour méridienne la fonction où r est le rayon et où J1 est la fonction de Bessel de première espèce

19 TF discrète : f(x) échantillonnée selon N points, alors : En bidimensionnel : N échantillons par direction (Ox,Oy)

20 Propriétés de la TF : 1) Linéarité 2) Translations 3) Similitude si
et alors 2) Translations La translation d'une image additionne une phase linéaire à la phase originale, le module étant conservé. Une translation du spectre produit une modulation par une exponentielle complexe. 3) Similitude Une compression dans le domaine spatial entraîne une expansion de l'étendue spectrale. Une dilatation spatiale entraîne une compression du spectre.

21 4) Rotation 5) Dérivation 6) Intégration 7) Valeur moyenne
en coordonnées polaires : alors 5) Dérivation et Dériver une image revient à multiplier son spectre par une fonction croissante en fréquence. 6) Intégration Intégrer une image revient à multiplier son spectre par une fonction décroissante en fréquence. 7) Valeur moyenne d'où terme "continu"

22 10) Corrélation-Energie
8) Laplacien d'où (utilisation en détection de contours) 9) Convolution Une multiplication dans un domaine équivaut à une convolution dans l'autre. 10) Corrélation-Energie (G*: complexe conjugué) Autocorrélation Spectre de puissance de f

23 TF discrète : exemples Carre blanc Module FFT Perspective

24 TF discrète : exemples Cercle blanc Module FFT Perspective

25 TF discrète : exemples ?? 2 cercles Module FFT Profil d ’intensité

26 TF discrète : rotation

27 TF discrète : exemple réel

28 Mécanismes de la Vision: L’oeil
Est le détecteur des signaux visuels, qui sont formés à partir de la radiation électromagnétique correspondante au spectre visible. Effectue la focalisation des images provenant de l’extérieur pour que la rétine puisse recevoir l’image. Ajustement de la quantité de lumière qui arrive sur la rétine par l’iris.

29 Mécanismes de la Vision: La Rétine
Est la couche sensorielle de l’oeil. Le tissu rétinien est formé de cinq types de cellules qui sont orga- nisées en couches et qui font la transduction d’un signal électro- magnétique (l’image) à un signal électrochimique (la transmission nerveuse) Effectue un prétraitement de l’information avant de l’envoyer au cerveau à travers le nerf optique.

30 Distribution de cônes et de bâtonnets (nombre de cellules par mm2 vs angle)

31 Mécanismes de la Vision:
Cônes 6.5 millions dans la fovéa détectent la couleur et les détails réagissent à des hauts niveaux d’illumination Haute résolution (1 minute d’arc) Bâtonnets 130 millions autour de l’axe de l’oeil réagissent au mouvement réagissent à des bas niveaux d’illumination Basse résolution

32 Mécanismes de la Vision: caractéristiques
Nature discontinue de la rétine et résolution de l ’œil: cônes espacés de 2,5 mm focale cristallin ~2cm => acuité = 0,125 cm à 1m Champ de vision: rotation de l ’œil 30 à 40° d ’ou un champ de 70 à 100° si >25° peu sensible aux détails mais perception mouvements

33 Mécanismes de la Vision: caractéristiques
Un carré de la même intensité paraît plus foncé sur un fond clair que sur un fond sombre

34 Mécanismes de la Vision:
Limites Superposition

35 Mécanismes de la Vision:
Limites Superposition Fausse couleur

36 Mécanismes de l ’interprétation:
« Les deux femmes »

37 Mécanismes de l ’interprétation:

38 Mécanismes de l ’interprétation:

39 Mécanismes de l ’interprétation:

40 Mécanismes de l ’interprétation:

41 Mécanismes de l ’interprétation:

42 Effet de bandes de Mach Intensité Intensité Position Position

43 Effet intégrateur de l’oeil
reproduction Agrandissement de la reproduction

44 Effet différentiateur et intégrateur de l’oeil

45 Mécanismes de la Vision: Inhibition Latérale
Excitation de A produit des impulsions à une fréquence proportionnelle à l’intensité lumineuse. Si les cellules B sont excitées aussi, celles-ci ihniberont les impulsions produites par A. Une désinhibition de A est possible s’il existe d’autres cellules C, proches de B qui les inhibent, mais qui n’agissent pas sur A, étant donné leur distance. Les connexions en parallèle et en rétroaction sont responsables du phénomène d’inhibition latérale.

46 Mécanismes de la Vision: Réponse spatiale des cellules rétiniennes
Si les réponses des cellules sont enregistrées spatialement, on obtient la réponse impulsionnelle spatiale, qui correspond à un filtre passe haut. Réponse spatiale des cellules rétiniennes.

47 Mécanismes de la Vision: Codification Neuronale au niveau de la rétine
La compression de la dynamique au niveau de la rétine augmente la largeur de bande transmissible par le nerf optique Canal de caractéristiques globales d’ illumination (passe bas) Canal avec information des bords et lignes (passe bande)

48 Mécanismes de la Vision: Codification Neuronale au niveau des cellules ganglionnaires et du noyau genouillé latéral Réponse aux stimulus des disques lumineux sur la rétine un centre excitateur et un pourtour inhibitoire (nommés zone "on") ou d’une configuration inverse (zone "off").

49 Mécanismes de la Vision: Codification Neuronale au niveau Cortical
Neurones “simples” répondant aux barres lumineuses sur la rétine au lieu de répondre aux disques lumineux. Neurones “complexes” se comportant comme si leur information provenait de multiples cellules simples, toutes avec leurs champs de réception avec la même orientation, mais provenant de localisations légèrement différentes. Cellules “hypercomplexes” similaires, mais en plus de l’orientation spécifique, il doit exister une discontinuité dans le champ de réception, comme dans le cas de la fin d’une ligne ou le coin d’une figure géométrique.

50 Mécanismes de la Vision: Codification Neuronale
1 2 3 4 Cellules: 1:ganglionnaires 2:simples 3:complexes 4:hypercomplexes Types de stimulus auxquels les cellules de la voie visuelle répondent

51 Mécanismes de la Vision: Modèle Cortical de Hubel & Wiesel
Ilôt avec un ensemble de feuillets correspondant à toutes les orientations possibles, codées sur une trentaine de directions et un autre ensemble de feuillets à dominance oculaire alternée gauche et droite (1 mm2 de surface et 2 mm de épaisseur). Organisation en colonnes pour la dominance oculaire (D=droir, G=gauche) et pour la réponse à l’orientation.

52 Vision polychrome Trois types de cône sensibles à différentes
radiations du spectre visible.

53 Colorimétrie Synthèse additive: plusieurs radiations monochromatiques combinées Synthèse soustractive: lumière blanche filtrée Expérience fondamentale: égaliser la perception d ’une couleur, due à une source colorée quelconque, et due à la superposition de sources prédéfinies. Les meilleurs résultats sont obtenus avec RVB

54 Système RVB A partir de trichromie et théorie de Maxwell:
RVB couleurs primaires pour reproduire une couleur quelconque. Rouge:700,0 nm Vert: 546,1 nm Bleu: 435,8 nm Système additif: mélange de trois couleurs primaires. (rouge, vert, bleu) Système soustractif: objets translucides, imprimantes (cyan, magenta, jaune)

55 Système TLS Luminance: énergie lumineuse globale reçue par
l ’œil (blanc=100%, noir = 0%). Teinte: caractérise la longueur d ’onde (couleur) Saturation: caractérise le ton « pastel » ou « vif » d ’une couleur

56 Colorimétrie Agrandissement d ’un TRC couleur
Affichage de 256 couleurs

57 Echantillonnage

58 Echantillonnage

59 Fonction d ’échantillonnage bidimensionnelle
Fonction delta 2-D avec Fonction d’échantillonnage Transformation de Fourier d’une fonction d’échantillonnage

60 Fonction d’échantillonnage bidimensionnelle
y x Dx Dy Transformation de Fourier d’une fonction d’échantillonnage v u Dv=2p/Dy Du=2p/Dx

61 Echantillonnage: allure des spectres
Spectre d’une image continue Puissance u v Fonction à support borné Spectre d’une image « échantillonnée » Théorème de convolution

62 Spectre d ’une image « échantillonnée »
Spectre de bande principale Du =2p/Dx Dv =2p/Dy Réplication des spectres

63 f(x,y) fe(x,y) d(x,y) F(u,v) Fd(u,v) u v y x

64 Densité d ’échantillonnage
Sous-échantillonné (Repliement en fréquence) Suréchantillonné Critère de Nyquist

65 Erreurs de recouvrement

66 Erreur de recouvrement: effet de Moiré

67 Résolution spatiale Images échantillonnées à 256 x 256, 128 x 128,
64 x 64 et 32 x 32 pixels. On peut observer qu’à partir d’un sous-échantil- lonnage de 4:1, correspon- dant à l’image de 64 x 64 pixels, la dégradation est si grande que l’image ne peut pas être utilisée.

68 Reconstruction de l’image initiale
Filtrage passe-bas Filtre idéal Interpolation Fonction d’interpolation idéale

69 Spectre de l’image échantillonnée
u v Filtre idéal: H(u,v) v u u v

70 Reconstruction de l’image initiale
Fonction image discrétisée fd(x) Fonction d’interpolation idéale h(x) Fonction image reconstruite fd(x)*h(x)

71 Fonctions d’interpolation
Rectangulaire (interpolation de degré zero) h(x) H(u) x Perte de résolution Repliement en fréquence Idéal Réel -Dx +Dx -2p/Dx +2p/Dx fd(x)*h(x)

72 Triangulaire (interpolation de degré 1)
h(x) H(u) x Perte de résolution Repliement en fréquence Idéal Réel -Dx +Dx -2p/Dx +2p/Dx Reconstruction résultante fd(x)*h(x)

73 Quelques filtres ouverture circulaire ouverture gaussienne
ouverture carrée Quelques filtres

74 Erreurs de reconstruction
Spectre de Fourier d’une image discretisée Perte de résolution Energie dans la bande principale - Energie du signal filtré Energie dans la bande principale =

75 Energie totale du signal filtré - Energie dans la bande principale
Erreur d’interpolation (repliement) Energie totale du signal filtré - Energie dans la bande principale Energie totale du signal filtré =

76 Erreurs comparatives pour plusieurs fonctions d’interpolation

77 Quantification L’œil humain peut distinguer 30 niveaux de gris
(approximativement 5 bits). Fréquemment on utilise 128 et 256 niveaux de gris dans les systèmes d’affichage pour obtenir une bonne qualité. Si on utilise un nombre inférieur de niveaux, des faux contours peuvent être introduits, en plus d’autres artéfacts.

78 Quantification 128 64 32 16 Affichage des images avec différents niveaux de gris des contours apparaissent dans les images de 32 et 16 niveaux

79 Quantification 8 4 2 Affichage des images avec différents niveaux de gris Les images ont une apparence définitivement artificielle.

80 Compromis : Résolution spatiale / Quantification
La résolution spatiale ou échantillonnage, a une relation avec la quantification, ou le nombre de niveaux de gris qu’on puisse montrer dans l’image, et avec la quantité de détails qui se trouve dans la même image. Il n ’y a pas de règles définies entre ces variables. La qualité de l’image dépend de ses caractéristiques et de la réponse des observateurs. En imagerie médicale, les diverses modalités ont leurs caractéristiques propres ( 64 x 64 -> 4000 x 4000 ) ATTENTION au volume ! ( 4096 bytes -> 16 Mbytes)

81 Exemple bien connu : LENA
256 x 256 pixels 8 bits / pixel 64 Koctets 512 x 512 pixels 24 bits / pixel 768 Koctets

82 Conclusion La connaissance du système visuel humain est très importante: Le SVH détermine les caractéristiques du nombre de niveaux de gris et la résolution spatiale nécessaires. Les caractéristiques du SVH sont utilisées dans plusieurs techniques d’affichage et de compression d’images. D’autres applications (ciné, vidéo, télévision par satellite) utilisent également des techniques exploitant les caractéristiques du SVH.