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Éric SopenaAvril 2005 Théorie des graphes Quelques exemples dapplication…

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1 Éric SopenaAvril 2005 Théorie des graphes Quelques exemples dapplication…

2 Éric SopenaAvril 2005 Plan de la présentation Introduction Introduction Introduction rappel de quelques définitions de base, bref historique, un premier exemple… un premier exempleun premier exemple Quelques exemples dapplication Quelques exemples dapplication Quelques exemples dapplication Quelques exemples dapplication Chimie, sociologie, bio-informatique, recherche opérationnelle, réseaux de communication, fonctionnement de systèmes, etc.

3 Éric SopenaAvril 2005 Présentation consultable :

4 Éric SopenaAvril 2005 Merci de votre attention…

5 Éric SopenaAvril 2005 Un ensemble darêtes Un ensemble darêtes Notions élémentaires… Un ensemble de sommets Un ensemble de sommets A F E D C B G Un chemin… Un cycle… Graphes non orientés Graphevalué 4 Sommet de degré 3 Un arbre couvrant…

6 Éric SopenaAvril 2005 Un ensemble darcs Un ensemble darcs Notions élémentaires… Un ensemble de sommets Un ensemble de sommets A F E D C B G Graphes orientés Un chemin… Un circuit… Degré entrant 1 Degré sortant 2 Degré 3

7 Éric SopenaAvril 2005 Bref historique… 1736, Euler : les ponts de Königsberg 1736, Euler : les ponts de Königsbergles ponts de Königsbergles ponts de Königsberg … récréations mathématiques … … chimie, électricité … 1852, De Morgan (Guthrie) : quatre couleurs 1852, De Morgan (Guthrie) : quatre couleursquatre couleursquatre couleurs 1946, Kuhn, Ford et Fulkerson, Roy, etc. 1946, Kuhn, Ford et Fulkerson, Roy, etc. … recherche opérationnelle … Depuis 1960, applications… (informatique) Depuis 1960, applications… (informatique)

8 Éric SopenaAvril 2005 Un outil pour la modélisation (et la résolution !…) de problèmes Problème sur des « objets » Problème de graphes Graphes Solution ?… (algorithme)

9 Éric SopenaAvril 2005 Exemple : meilleur trajet… Objet : plan de ville, durée de trajet pour chaque tronçon départ arrivée Problème de plus court chemin dans un graphe valué (algorithmes connus…) Version « dynamique » (évolution de la valuation) départ arrivée

10 Éric SopenaAvril 2005 Les ponts de Königsberg… Il existe un cycle « eulérien » si et seulement si tous les sommets sont de degré pair… A BC D D A BC Il existe un chemin « eulérien » si et seulement si 0 ou 2 sommets sont de degré impair…

11 Éric SopenaAvril 2005 Le problème des quatre couleurs… Tout graphe planaire est coloriable en utilisant quatre couleurs au plus… [Appel & Haken, 1977] D EG F B A C D E G F B A C Graphe planaire

12 Éric SopenaAvril 2005 Quelques domaines dapplication… Chimie Chimie Chimie Sociologie Sociologie Sociologie Bio-informatique Bio-informatique Bio-informatique Recherche opérationnelle Recherche opérationnelle Recherche opérationnelle Recherche opérationnelle Réseaux de communication Réseaux de communication Réseaux de communication Réseaux de communication Fonctionnement de systèmes Fonctionnement de systèmes Fonctionnement de systèmes Fonctionnement de systèmes

13 Éric SopenaAvril 2005 Autres domaines dapplication… Géographie (cartographie), architecture (plans), linguistique (sémantique), etc. Géographie (cartographie), architecture (plans), linguistique (sémantique), etc. Le WEB (graphe des liens, calcul de pertinence dans les moteurs de recherche, etc.) Le WEB (graphe des liens, calcul de pertinence dans les moteurs de recherche, etc.) Graphes « petits mondes » (Kevin Bacon) Graphes « petits mondes » (Kevin Bacon)Kevin BaconKevin Bacon Les réseaux optiques (producteurs-consommateurs, bande passante, etc.) Les réseaux optiques (producteurs-consommateurs, bande passante, etc.) Bases de données (dépendances) Bases de données (dépendances) Bases de connaissances Bases de connaissances Techniques de compilation Techniques de compilation Techniques de compilation Techniques de compilation Imagerie numérique (scènes, compression) Imagerie numérique (scènes, compression)compression Grammaires de graphes (aspects dynamiques) Grammaires de graphes (aspects dynamiques)aspects dynamiquesaspects dynamiques Etc. Etc.

14 Éric SopenaAvril 2005 Compression dimages : les quadtrees Codage dune image par un arbre… ZONE Z NO SOSE NE NOSOSENE Z Etc. Feuilles = pixels ou « zones uniformes »

15 Éric SopenaAvril 2005 Modélisation de molécules méthane CH 4 butène C 4 H 8 C H H HHC H H HHCCC H H HH Cayley [1875] Hydrocarbures saturés C n H 2n+2 : arbres… Hydrocarbures saturés C n H 2n+2 : arbres… Énumération de molécules, disomères, classifications, etc. Énumération de molécules, disomères, classifications, etc. Graphes (multigraphes) avec contraintes sur les degrés des sommets selon le type de sommet…

16 Éric SopenaAvril 2005 Graphes signés (sociogrammes) Notions de « clans » (employés, nations, politiciens, etc.), algorithmes de découpage Relation aimer / détester entre employés… Configurations équilibrées (A,B) ou non (C) ACB

17 Éric SopenaAvril 2005 Pouvoir et influence Chaque individu a une opinion représentée par un nombre réel (e.g. valeur dun objet)… Ces opinions évoluent dans le temps, en fonction des opinions des personnes ayant de linfluence sur lindividu… Lopinion de lindividu UNTEL se stabilise-t-elle ? Lopinion de lindividu UNTEL se stabilise-t-elle ? Si oui, tend-on vers un consensus ? Vers plusieurs ? Si oui, tend-on vers un consensus ? Vers plusieurs ? Qui a réellement de linfluence sur ces consensus ? Qui a réellement de linfluence sur ces consensus ?

18 Éric SopenaAvril 2005 Décodage de chaînes dADN chaîne ADN Chaîne dADN = séquence de nucléotides A,C,G,T : Adénine, Cytosine, Guanine, Thymine Séquençage par « hybridation » « sondes » sondes hybridées CACGT ACGT CACG CACT CACG CAGT CATG

19 Éric SopenaAvril 2005 ACT CTA TAC CCT TCC CTC TACT CTCC TCCT CCTA ACTC CTAC Décodage de chaînes dADN Sondes hybridées : TCCT, ACTC, CTAC, TCCT, ACTC, CTCC, TACT, CCTA, CTCC TCCCCT TCCT Chemin eulérien ? ACTC CTAC T C CT Problème : en général, plusieurs solutions possibles…

20 Éric SopenaAvril 2005 Recherche opérationnelle Méthodes et techniques danalyse pour laide à la décision

21 Éric SopenaAvril 2005 Recherche opérationnelle R.O. ÉCONOMIE Économie dentreprise Analyse économique INFORMATIQUE Structures de données Algorithmes Bases de données MATHÉMATIQUES Théorie des systèmes Méthodes doptimisation Méthodes statistiques Élaboration du modèle Traitement du modèle Théorie des graphes

22 Éric SopenaAvril 2005 solutions dans R n « meilleure » solution ?…solutions dans un sous-espace de R n Problèmes de recherche opérationnelle n valeurs à déterminer ensemble de contraintes fonction(s) à optimiser

23 Éric SopenaAvril 2005 Quelques exemples de problèmes… Problèmes dordonnancement Problèmes dordonnancement Problèmes dordonnancement Problèmes dordonnancement Problèmes de flot maximal Problèmes de flot maximal Problèmes de flot maximal Problèmes de flot maximal Problèmes daffectation Problèmes daffectation Problèmes daffectation Problèmes daffectation Programmes de transport Programmes de transport dépôts de marchandises, clients avec besoins, capacité des canaux illimitée (transformations darbres…) Problème du voyageur de commerce Problème du voyageur de commerce visite de villes, avec retour… (chemin hamiltonien de coût minimal) Problème du « sac à dos » Problème du « sac à dos » n objets, chaque objet ayant une « utilité », sac de capacité m… Etc. Etc.

24 Éric SopenaAvril 2005 En pratique… Logiciels daide à la décision Logiciels daide à la décision (boîte à outils de résolution…) 1.Modéliser les données du problème 2.Définir les contraintes 3.Définir la fonction à optimiser 4.Utiliser les outils de résolution 5.Décider !… Économie, commerce, production, transport, etc.

25 Éric SopenaAvril 2005 Problèmes dordonnancement Sommets = tâches à réaliser Arcs = relation dantériorité (valuation : durée de la tâche initiale) Dates au plus tôt Dates au plus tard Chemin(s) critique(s) AC D E F fin B

26 Éric SopenaAvril 2005 Réseaux de transport Dépôts de marchandises (stock) (50) (30) (15) (30) (10) (25) Clients (besoin) « Canaux » (capacité) ports, gares, centrales, châteaux deau, … ports, gares, villes, … bateaux, trains, camions, canalisations, …

27 Éric SopenaAvril SP Réseau de transport : Un sommet source (S), un sommet puits (P), Un sommet source (S), un sommet puits (P), Pour tout sommet u, il existe un chemin de S vers u et un chemin de u vers P Pour tout sommet u, il existe un chemin de S vers u et un chemin de u vers P Réseaux de transport (50) (30) (15) (30) (10) (25)

28 Éric SopenaAvril Flot dans un réseau de transport SP Flot : Pour chaque arc : valeur capacité Pour chaque arc : valeur capacité Pour tout sommet (sauf S et P) : Pour tout sommet (sauf S et P) : somme des valeurs entrantes = somme des valeurs sortantes

29 Éric SopenaAvril Flot maximal dans un réseau de transport SP Flot maximal : pas de « chaîne améliorante » 15 5 Amélioration : Souvent des chaînes « plus complexes », avec retours arrières, Souvent des chaînes « plus complexes », avec retours arrières, Possibilité de « coût de transport » sur les arcs… Possibilité de « coût de transport » sur les arcs…

30 Éric SopenaAvril SP Une coupe = ensemble darcs dont la suppression « sépare » les sommets S et P Une coupe = ensemble darcs dont la suppression « sépare » les sommets S et P Coupe minimale Coupe minimale = coupe dont le poids (somme des poids des arcs la composant) est minimal Coupe minimale = coupe dont le poids (somme des poids des arcs la composant) est minimal Th : Poids dune coupe minimale = valeur dun flot maximal

31 Éric SopenaAvril 2005 Problèmes daffectation Exemple : affectation de 5 postes (a,b,…) à 5 personnes (A,B,…) Matrice des « préférences » Problème réaliser laffectation en minimisant les insatisfactions Affectation de personnes sur des machines-outils, de commandes sur des sites de production, etc.

32 Éric SopenaAvril 2005 Problèmes daffectation Matrice des « préférences » A a etc. b c d e etc Capacités : 1 partout… Chaque personne se verra affectée à un poste, chaque poste à une personne S P Coût unitaire : matrice… Sauf sortant de S ou entrant en P : coût = Problème de flot maximal de coût minimal…

33 Éric SopenaAvril 2005 Les réseaux de communication réseaux téléphoniques réseaux informatiques architectures parallèles

34 Éric SopenaAvril 2005 Modélisation dun réseau utilisateurs, machines, etc. canaux de communication sommets arcs, arêtes A F E D C B G non orienté 14 Capacité des canaux Chemin de communication

35 Éric SopenaAvril 2005 orienté Modélisation dun réseau utilisateurs, machines, etc. canaux de communication sommets arcs, arêtes A F E D C B G

36 Éric SopenaAvril 2005 Quelques applications… Mesure de paramètres Mesure de paramètres fiabilité fiabilité fiabilité charge charge charge Algorithmes de communication Algorithmes de communication diffusion de message diffusion de message diffusion de message diffusion de message routage de messages routage de messages routage de messages routage de messages

37 Éric SopenaAvril 2005 Logiciels... calcul de différents paramètres (mesures), calcul de différents paramètres (mesures), comparaison de différentes topologies (statique), comparaison de différentes topologies (statique), détermination de chemins optimaux (dynamique), détermination de chemins optimaux (dynamique), aide à la conception de réseaux... aide à la conception de réseaux...

38 Éric SopenaAvril 2005 Fiabilité du réseau panne des canaux de communication A F E D C B G ensemble darêtes déconnectant le graphe

39 Éric SopenaAvril 2005 Fiabilité du réseau panne des « sommets relais » A F E D C B G ensemble de sommets déconnectant le graphe

40 Éric SopenaAvril 2005 Charge du réseau Communications A-C, B-D, A-E, F-C, F-E... A F E D C B G Minimiser la charge des canaux choix de chemins, contraintes de capacité, …

41 Éric SopenaAvril 2005 Diffusion dinformations A veut diffuser une information à lensemble du réseau... Algorithme 1 Lorsquun sommet reçoit linformation pour la première fois, il la diffuse à ses autres voisins... Mesures : nombre de messages transmis (charge) nombre de messages transmis (charge) nombre détapes (temps) nombre détapes (temps)

42 Éric SopenaAvril 2005 Exemple... messages : 0 A F E D C B G étapes : 0

43 Éric SopenaAvril 2005 Exemple... messages : 3 A F E D C B G étapes : 1

44 Éric SopenaAvril 2005 Exemple... messages : 10 A F E D C B G étapes : 2

45 Éric SopenaAvril 2005 Exemple... messages : 13 A F E D C B G étapes : 3 C a reçu le message de B en premier

46 Éric SopenaAvril 2005 Exemple... messages : 14 A F E D C B G étapes : 4 D a reçu le message de C en premier

47 Éric SopenaAvril 2005 Diffusion dinformations A veut diffuser une information à lensemble du réseau... Algorithme 2 Idem algorithme 1, mais en utilisant les arêtes dun arbre recouvrant... Mesures : nombre de messages transmis (charge) nombre de messages transmis (charge) nombre détapes (temps) nombre détapes (temps)

48 Éric SopenaAvril 2005 Exemple... messages : 0 A F E D C B G étapes : 0

49 Éric SopenaAvril 2005 Exemple... messages : 3 A F E D C B G étapes : 1

50 Éric SopenaAvril 2005 Exemple... messages : 5 A F E D C B G étapes : 2

51 Éric SopenaAvril 2005 Exemple... messages : 6 A F E D C B G étapes : 3 optimal (6 sommets à informer) profondeur de larbre Algorithme 1 : 14 messages 14 messages 4 étapes 4 étapes

52 Éric SopenaAvril 2005 Routage dans les réseaux A communique avec D via un chemin (route) A F E D C B G Un routage est un ensemble de N(N-1) routes…

53 Éric SopenaAvril 2005 Routage dans les réseaux Algorithmes pour calculer un routage : minimisant la charge des sommets, minimisant la charge des sommets, minimisant la charge des arêtes, minimisant la charge des arêtes, « raisonnable » en longueur de chemins (dilatation). « raisonnable » en longueur de chemins (dilatation). réseaux classiques, machines parallèles (communications entre processeurs), réseaux optiques, etc.

54 Éric SopenaAvril 2005 Mise en œuvre du routage Algorithmes de routage message pour A lentête du message contient lidentité du destinataire ? ? ?

55 Éric SopenaAvril 2005 Mise en œuvre du routage Solution 1 : tables de routage Chaque sommet possède sa propre table de routage… Coûteux en place mémoire…

56 Éric SopenaAvril 2005 Mise en œuvre du routage Solution 2 : routage par intervalles Chaque sommet possède sa propre table de routage… 1.Trouver une « bonne » numérotation des sommets, 2.Trouver un « bon » routage (dilatation).

57 Éric SopenaAvril 2005 Hiérarchisation des sommets Graphe découpé en régions Graphe découpé en régions Chaque région possède une « capitale » Chaque région possède une « capitale » Communications via les capitales Communications via les capitales

58 Éric SopenaAvril 2005 Hiérarchisation des sommets Graphe découpé en régions Graphe découpé en régions Chaque région possède une « capitale » Chaque région possède une « capitale » Communications via les capitales Communications via les capitales Table de routage CAPITALE sa région + réseau des capitales Table de routage VILLE sa région Possibilité de hiérarchies à plusieurs niveaux…

59 Éric SopenaAvril 2005 Routage dynamique (adaptatif) Les « paires communicantes » évoluent dans le temps… Les « paires communicantes » évoluent dans le temps… Le réseau évolue… Le réseau évolue… Machines parallèles, Machines parallèles, Téléphonie mobile… Téléphonie mobile… Contraintes sur le nombre de chemins empruntant une arête (fréquences)

60 Éric SopenaAvril 2005 Fonctionnement de systèmes modélisation par automates

61 Éric SopenaAvril 2005 Modélisation par un automate Événement { action } État 1État 2 Les événements déclenchent des actions (réactions) du système selon létat dans lequel celui-ci se trouve… Automate déterministe : pour chaque état, au plus une transition par événement…

62 Éric SopenaAvril 2005 Fermeture { fermer } Exemple 1 : une porte… Ouverte Fermée Ouverture { ouvrir }

63 Éric SopenaAvril 2005 On { allumer } Exemple 2 : une ampoule… Éteinte Allumée Off { éteindre }

64 Éric SopenaAvril 2005 Produit dautomates Exemple 1 : une pièce dhabitation… Fermeture Fermée allumée Ouverture Ouverte allumée Fermeture Fermée éteinte Ouverture Ouverte éteinte OffOn OffOn Ouverture + Off Ouverture + On Fermeture + On Fermeture + Off

65 Éric SopenaAvril 2005 Produit dautomates Exemple 2 : un réfrigérateur… Fermeture Fermée allumée Ouverture Ouverte allumée Fermeture Fermée éteinte Ouverture Ouverte éteinte OffOn OffOn Ouverture + Off Ouverture + On Fermeture + On Fermeture + Off

66 Éric SopenaAvril 2005 Produit dautomates avec contraintes Ouverte allumée Fermeture Fermée éteinte Ouverture Ouverte éteinte OffOn Ouverture + On Fermeture + Off Fermée Ouverte - Fermeture INTERDIT Éteinte Allumée Éteinte On - On AmpoulePorte

67 Éric SopenaAvril 2005 Produit dautomates avec contraintes Ouverte allumée Fermée éteinte Ouverture + On Fermeture + Off En « couplant » porte et interrupteur… On impose des concurrences dévénements (pas toujours possible…)

68 Éric SopenaAvril 2005 En pratique... Modéliser le système par un automate ou plusieurs automates « synchronisés ». Modéliser le système par un automate ou plusieurs automates « synchronisés ». notion de sous-système… explosion combinatoire, calculs « à la volée »… Vérifier certaines propriétés de lautomate. Vérifier certaines propriétés de lautomate. états inaccessibles, états « vivaces », interblocages, etc. (problèmes de chemins) Rectifier en conséquence... et valider ! Rectifier en conséquence... et valider !

69 Éric SopenaAvril 2005 Quelques applications... Conception de systèmes (respect des spécifications), Conception de systèmes (respect des spécifications), Outils daide à la vérification de systèmes (sûreté de fonctionnement), Outils daide à la vérification de systèmes (sûreté de fonctionnement), Outils de vérification de logiciels, Outils de vérification de logiciels, etc. etc. aéronautique, aérospatiale, transport ferroviaire, nucléaire, réseaux téléphoniques, réseaux informatiques, électronique,...

70 Éric SopenaAvril 2005 Techniques de compilation Représentation dun programme par un arbre expression arithmétique 3 * a + 2 * (b – 4) codage par un arbre + ** 3a2- b4

71 Éric SopenaAvril 2005 Techniques de compilation Représentation dun programme par un arbre instruction si (a > 5) alors b b + 1 codage par un arbre si > a5b+ b1 Programme graphe (sous-arbres communs)

72 Éric SopenaAvril 2005 Techniques de compilation Principe général : Analyse du texte source (programme) Analyse du texte source (programme) erreurs éventuelles codage du source (arbre ou graphe) Traduction du codage en un autre langage (langage machine, …) Traduction du codage en un autre langage (langage machine, …) Langage interprété : exécution du codage par linterpréteur…

73 Éric SopenaAvril 2005 Grammaires de graphes... Règle de remplacement Réécriture dun graphe ???

74 Éric SopenaAvril 2005 Construction dun arbre couvrant Règle de remplacement Réécriture dun graphe A F E D C B G Plusieurs solutions… mais toujours un arbre couvrant !…

75 Éric SopenaAvril 2005 Construction darbres Règle de remplacement Réécriture dun graphe Etc.

76 Éric SopenaAvril 2005 Le graphe de Kevin Bacon Sommets = acteurs Sommets = acteurs Arêtes entre acteurs ayant joué dans un même film… Arêtes entre acteurs ayant joué dans un même film… Propriété : Tout acteur est à distance au plus 6 de Kevin Bacon !…

77 Éric SopenaAvril 2005 Le graphe de Kevin Bacon (2) Louis de Funes has a Bacon number of 2. Louis de Funes was in Aventures de Rabbi Jacob, Les (1973) with Janet Brandt Janet Brandt was in Queens Logic (1991) with Kevin Bacon Site Web : The Oracle of Bacon at Virginia

78 Éric SopenaAvril 2005 Le graphe de Kevin Bacon (3) Catherine Deneuve has a Bacon number of 2. Catherine Deneuve was in Anima persa (1977) with Vittorio Gassman Vittorio Gassman was in Sleepers (1996) with Kevin Bacon Site Web : The Oracle of Bacon at Virginia

79 Éric SopenaAvril 2005 Le graphe de Kevin Bacon (4) Audrey Tautou has a Bacon number of 3. Audrey Tautou was in Venus beaute (institut) (1999) with Bulle Ogier Bulle Ogier was in Merci Docteur Rey (2002) with Eli Wallach Eli Wallach was in Mystic River (2003) with Kevin Bacon Site Web : The Oracle of Bacon at Virginia


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