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Logique et raisonnement scientifique Hilbert, Tarski, Gödel.

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1 Logique et raisonnement scientifique Hilbert, Tarski, Gödel

2 Le programme de Hilbert les problèmes viennent de linfini

3 Le programme de Hilbert « Certes Weierstrass a éliminé de lAnalyse linfiniment petit et linfiniment grand puisque les propositions portant sur ces objets ont été réduites par lui à lénoncé de rapports entre des grandeurs finies. Mais linfini continue dêtre présent : il prend la forme de suites infinies de nombres qui définissent les nombres réels, ou bien il est sous-jacent à la notion de système des nombres réels conçue comme une totalité achevée et fermée.

4 Le programme de Hilbert Or dans la reconstruction même de lanalyse de Weierstrass, on se donne le droit dutiliser à fond et ditérer à volonté les formes dinférence logique dans lesquelles sexprime cette conception des totalités : cest le cas, par exemple, lorsquon parle de tous les nombres réels qui ont une certaine propriété, ou bien encore lorsquon dit quil existe des nombres réels ayant une certaine propriété.

5 Le programme de Hilbert Dans les processus de passage à la limité du calcul infinitésimal, linfini au sens de linfiniment grand ou de linfiniment petit sest révélé constituer une simple manière de parler : de même nous devrons reconnaître dans linfini au sens de totalité infinie, partout où il joue encore un rôle dans les inférences, quelque chose de purement fictif. De même que les opérations portant sur linfiniment petit ont été remplacées par des processus qui accomplissent la même fin et conduisent à des rapports formels aussi élégants tout en se situant à lintérieur de la sphère du fini, les inférences qui utilisent linfini sont à remplacer par des processus finis qui accompliront exactement la même fin cest-à-dire permettront les mêmes démarches dans les démonstrations et les mêmes méthodes dobtention des formules et des théorèmes.

6 Le programme de Hilbert Tel est lobjet de ma théorie. Elle a pour dessein dassurer la sécurité définitive de la méthode mathématique, sécurité à laquelle na pas atteint la période de la critique du calcul infinitésimal. » (« Über das Unendliche », 1925, Math. Annal. 95, 1926, trad. J. Largeault, 1972)

7 Le programme de Hilbert la condition préalable de lapplication des inférences logiques et de leffectuation dopérations logiques est lexistence dun donné dans la perception : à savoir lexistence de certains objets concrets extra-logiques qui en tant que sensations immédiates précèdent toute pensée. Pour les mathématiques, selon Hilbert, ces objets sont les signes concrets, ceux dont nous savons « distinguer et reconnaître la forme les objets mathématiques, en particulier les nombres, sont des signes vides de sens, et les formules sont également des suites de signes vides de sens

8 Le programme de Hilbert Des propositions « concrètes » (finitistes) : avec des objets « réels »: – |, ||, |||, ||||, …. dautres symboles « pour la communication » : 1, 2, 3, …, a, b, c, … et des « propositions idéales »… comme les nombres imaginaires vis-à-vis des nombres réels!

9 Le programme de Hilbert Encore faut-il savoir maîtriser des « objets idéaux »

10 Le programme de Hilbert Règle : le modus ponens + axiomes

11 Le programme de Hilbert 1. Axiomes de limplication : adjonction dune prémisse : élimination dune proposition 2. Axiomes de la négation : principe de contradiction : principe de la double négation

12 Le programme de Hilbert 3. Axiomes « transfinis » : inférence du général au particulier (axiome dAristote) : si un prédicat nest pas vrai de tous, alors il a un contre-exemple : sil nexiste pas dexemple pour une proposition, alors cette proposition est fausse pour tous les a

13 Le programme de Hilbert 4. Axiomes de légalité

14 Le programme de Hilbert 5. Axiomes du nombre Axiome de linduction mathématique :

15 Le programme de Hilbert Une démonstration formelle constitue un objet concret et visualisable, exactement comme un chiffre. Cest quelque chose de communicable du début à la fin Rôle des démonstrations de non- contradiction Hypothèse de la récursivité des mathématiques

16 objections Une objection majeure et définitive : Gödel

17 Les objections de Brouwer Doutes sur le tiers - exclus (1908) le recours à la logique et aux structures linguistiques comme étranger aux mathématiques et risquant de les faire dévier de leur route

18 Lintuitionnisme de Brouwer les raisonnements logiques effectués indépendamment de la perception, attendu quils sont les signes de transformations mathématiques à lintérieur du système mathématique qui régit les perceptions, peuvent déduire, de prémisses scientifiquement admises, des conclusions inacceptables Lerreur est de prendre le signe pour la chose : la chose, à la différence du signe, na aucune raison dobéir à une logique

19 lintuitionnisme Syllogisme : non contestable (simple idée demboîtement de systèmes) Contradiction : idem (« leffectuation de lemboîtement dun système a dans un système b dune façon déterminée, et vle fait de se heurter à limpossibilité de cet emboîtement, sont mutuellement incompatibles » Tiers exclu : ?

20 bilan Hilbert méthodes finitistes pour fonder la cohérence des mathématiques, vers les théorèmes dincomplétude (Gödel, 1931) Brouwer une exigence de constructibilité – cf. fameuse question: « existe-t-il deux irrationnels x et y tels que x y soit un rationnel? » Essayons avec x = y = – Si x y est un rationnel, on a répondu positivement – Sinon (x y ) y = 2 et on a répondu positivement

21 Comment prouver la cohérence dune théorie? 1) Par des voies directes: Hilbert : arriver à prouver quon ne peut pas déduire une absurdité du genre 1 1 Théorie de la démonstration Le prédicat « être démontrable » est-il récursif? – Est-ce que par utilisation des moyens de démonstration « finitistes », on peut toujours arriver à démontrer quune théorie est cohérente? – Gödel prouvera que non (cf. plus loin)

22 Comment prouver la cohérence dune théorie? 2) Par des voies indirectes : la théorie des modèles Prouver que tout ce quon démontre est « vrai » … mais, dans quel sens de « vrai »? Retour au problème de la « définition de la vérité » !

23 Tarski et la définition de la vérité Alfred Tarski : 1902 – 1983 écrit en 1931, publié en 1933 : le concept de vérité dans les langages formalisés Déception : « Il est impossible non seulement de définir ce que signifie lexpression du langage quotidien « proposition vraie » mais encore de sen servir dans ce langage » ! Se limiter aux « seuls langages actuellement connus qui soient construits à laide dune méthode scientifique, à savoir les langages des sciences déductives formalisées »

24 Tarski et la définition de la vérité Le schéma général dune définition de la notion de « proposition vraie »: x est une proposition vraie si et seulement si p

25 Tarski et la définition de la vérité Le schéma général dune définition de la notion de « proposition vraie »: « il neige » est une proposition vraie si et seulement si Il neige

26 Tarski et la définition de la vérité Le schéma général dune définition de la notion de « proposition vraie »: « la route est verglacée » est une proposition vraie si et seulement si la route est verglacée

27 Tarski et la définition de la vérité Considérons la proposition : « la proposition A nest pas une proposition vraie », où A est cette propo- sition elle-même (« la proposition A nest pas une proposition vraie ») « A nest pas une proposition vraie » est une proposition vraie si et seulement si A nest pas une proposition vraie

28 Tarski et la définition de la vérité Considérons la proposition : « la proposition A nest pas une proposition vraie », où A est cette propo- sition elle-même (« la proposition A nest pas une proposition vraie ») A est une proposition vraie si et seulement si A nest pas une proposition vraie

29 Les langages formalisés ceux quon a « artificiellement construit de telle sorte que le sens de chaque expression [soit] univoquement déterminé par sa forme » Notion de système formel Ne sont pas « universalistes » comme lest le langage quotidien pas de terme « appartenant à la science du langage », ni « des signes ou des expressions qui décrivent les relations structurelles existant entre ces signes et expressions »

30 Langage-objet du calcul des classes N (négation), A (disjonction), (quantification universelle), I (inclusion) variables : x|, x||, x|||, …., x||||…|, ….. règles de formation permettant dobtenir des expressions comme : Ix|, x||, NIx|, x||, x| Ix|, x| etc. axiomes, règles, etc. ceci donne un langage-objet.

31 Un autre langage… non, ou, pour tout, inclusion x| Ix|,x| est vrai si et seulement si pour tout x, x est inclus dans x Un méta-langage

32 structures et modèles Langage prédicatif extensionnel symboles : – Variables individuelles : x, y, z, …. – Constantes individuelles : a, b, c, … – Foncteurs darité n : f, g, … – Constantes prédicatives darité n : P, Q, … règles de formation des formules Ex:

33 sémantique Une L-structure M pour le langage L est défini par un couple (D, Val) où: – D est un ensemble non vide (domaine) – Val est une fonction telle que: c : constante individuelle : Val(c) D f : foncteur n-aire : Val associe à f une fonction de D n dans D P : prédicat n-aire : Val associe à P une partie de D n

34 assignation Une assignation g pour le langage L et la structure M est une fonction de lensemble des variables individuelles dans D

35 Évaluation par rapport à une structure Si M = (D, Val) est une L-structure pour le langage L, alors toute formule de L peut être évaluée par rapport à M et à une assignation g donnée On écrit || || M,g la valeur de par rapport à M et à g

36 Règles dévaluation - I Si x est une variable : ||x|| M,g = g(x) f foncteur et t 1, …, t n des termes : ||f(t 1,…, t n )|| M,g = val(f)(|| t 1 || M,g,…,|| t 1 || M,g ) P prédicat et t 1, …, t n des termes : ||P(t 1,…, t n )|| M,g = val(P)(|| t 1 || M,g,…,|| t 1 || M,g )

37 Règles dévaluation - II On note M |= g le fait que soit vraie dans la L-structure M pour lassignation g M |= g P(t 1,…, t n ) ssi ||P(t 1,…, t n )|| M,g = 1 M |= g A ssi M | g A M |= g A B ssi M |= g A et M |= g B M |= g x A ssi M |= g A pour toute assignation g qui ne diffère de g que par la valeur assignée à x

38 langage et domaine x marie x lucie x paul x jules x robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F 1, G 1, C 2, E 2 D :

39 Val x marie x lucie x paul x jules x robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F 1, G 1, C 2, E 2 D :

40 Val x marie x lucie x paul x jules x robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F 1, G 1, C 2, E 2 D :

41 Val x marie x lucie x paul x jules x robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F 1, G 1, C 2, E 2 D :

42 Val x marie x lucie x paul x jules x robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F 1, G 1, C 2, E 2 D :

43 Val x marie x lucie x paul x jules x robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F 1, G 1, C 2, E 2 D :

44 Val x marie x lucie x paul x jules x robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F 1, G 1, C 2, E 2 D :

45 Val x marie x lucie x paul x jules x robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F 1, G 1, C 2, E 2 D :

46 Val x marie x lucie x paul x jules x robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F 1, G 1, C 2, E 2 D :

47 Val x marie x lucie x paul x jules x robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F 1, G 1, C 2, E 2 D :

48 Assignations x marie x lucie x paul x jules x robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F 1, G 1, C 2, E 2 D : x : paul y : marie z : jules

49 Assignations x marie x lucie x paul x jules x robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F 1, G 1, C 2, E 2 D : x : paul y : paul z : jules

50 Assignations x marie x lucie x paul x jules x robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F 1, G 1, C 2, E 2 D : x : marie y : lucie z : jules

51 Assignations x marie x lucie x paul x jules x robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F 1, G 1, C 2, E 2 D : x : robert y : robert z : robert

52 x E(x,y) F(y) x marie x lucie x paul x jules x robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F 1, G 1, C 2, E 2 D : x : robert y : jules z : robert

53 E(x,y) F(y) x marie x lucie x paul x jules x robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F 1, G 1, C 2, E 2 D : x : _ y : jules z : robert

54 E(x,y) F(y) x marie x lucie x paul x jules x robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F 1, G 1, C 2, E 2 D : x : robert y : jules z : robert

55 E(x,y) F(y) 1 0 x marie x lucie x paul x jules x robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F 1, G 1, C 2, E 2 D : x : robert y : jules z : robert

56 E(x,y) F(y) 0 x marie x lucie x paul x jules x robert L : constantes : p, j, m, l, r variables : x, y, z cstes prédicatives : F 1, G 1, C 2, E 2 D : x : robert y : jules z : robert

57 modèles Définition : étant donné un ensemble de formules closes dun langage L et une L- structure M, on dit que M est un modèle de si toutes les formules de sont vraies dans M

58 définitions est dit consistant sil en existe un modèle B se déduit sémantiquement de A 1, …, A n si et seulement si tout modèle de {A 1, …, A n } est aussi un modèle de B Une formule A dun langage L est dite universellement valide si elle est vraie dans toute L-structure

59 Retour au problème de la vérité L L La vérité dans L est fondée sur la vérité dans L « image de L dans L »

60 Retour au problème de la vérité L L La vérité toujours en construction « image de L dans L »

61 Liens entre théorie et modèle Tarski : (cas du calcul des classes) Tout théorème est vrai, donc le calcul des classes est non contradictoire mais… il peut exister des cas où des propositions vraies ne sont pas des théorèmes

62 Le problème de la complétude Définition 1: une théorie est (syntaxiquement) complète si pour chaque formule close, elle est capable de fournir soit une preuve de soit une preuve de Définition 2 : une théorie est (sémantiquement) complète si toute proposition sémantiquement vraie est démontrable dans la théorie

63 Complétude de la logique des prédicats du premier ordre Gödel Gentzen Henkin (revu par Hintikka) mais non décidabilité (Church, 1936) au sens : « pas dalgorithme général permettant de décider de la vérité dune formule »

64 métathéorèmes Théorème de compacité : si une théorie T est telle que toute partie finie possède un modèle, alors elle a elle-même un modèle Théorème de Löwenheim – Skolem : si une théorie T admet un modèle infini, alors elle admet un modèle dénombrable

65 Quelques conséquences Compacité laxiomatique de Peano exprimée en premier ordre nest pas catégorique Löwenheim – Skolem Il est vain despérer une théorie du premier ordre pour la théorie des ensembles…

66 Laxiomatique de Peano exprimée en premier ordre nest pas catégorique En premier ordre : infinité daxiomes On peut ajouter à N une constante c avec une infinité daxiomes : c 0, c 1, c 2, c 3, etc. N Les parties finies de N ont toutes des modèles valables aussi pour celles de N Donc un modèle pour N est un modèle pour N Mais un modèle pour N nest pas isomorphe à un modèle pour N, donc N admet des modèles non isomorphes

67 Laxiomatique de Peano exprimée en premier ordre nest pas catégorique Ce nest plus vrai en second ordre: Mais… le second ordre nest pas axiomatisable


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