Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 1 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation.

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1 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 1 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes

2 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 2 Plan

3 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 3 Contexte industriel / Fabrication d'un véhicule 4 étapes : emboutissage, tôlerie, peinture, assemblage Processus de montage –Graphe de montage moteur 1 moteur 3 sellerie 2sellerie 4 Sous caisse mécanique 3sellerie 6mécanique 1 poste de conduite mécanique 4sellerie 8 porte

4 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 4 Contexte industriel / Description de latelier Manutention dans latelier : –Des magasins alimentent en pièces les tronçons avec une flotte de véhicules de manutention

5 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 5 Etat de l'art / Problématique et Evaluation Problématique générale du facility layout : Positionner des zones dans un espace défini de manière à minimiser les flux, les encombrements, … Exemple : aéroports, hôpitaux, … Evaluation d'un agencement, 2 points de vue de modélisation: –« relationship chart » Max z = somme somme rij*xij rij : score d'adjacence entre la zone i et la zone j xij : binaire 1 si i et j adjacents 0 sinon –« from-to chart » Min z = somme somme fij*cij*dij fij : flux entre la zone i et j ; dij : distance entre i et j cij : coût en unité de flux et de distance entre i et j

6 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 6 Etat de l'art Représentation graphique –Discrète (ensemble des positions déterminé par une grille) –Continue (infinité de solution) Optimisation dun agencement : –Représentation topologique –Représentation par graphe dadjacence –Représentation par arbres de découpes –Affectation quadratique –Programmation linéaire en nombres entiers

7 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 7 Etat de l'art / Optimisation Représentation topologique –Adaptées aux approches constructives (ex : SHAPE) et recherche locale (ex : CRAFT) Graphes d'adjacences –Graphe dont les nœuds représentent une zone et les arêtes les relations d'adjacences entre les zones Arbre de découpe (slicing tree) –Création d'un "floorplan" (une partition du rectangle initial) qui peut se représenter par un arbre (binaire) dont chaque nœud correspond à un rectangle

8 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 8 Etat de l'art / Optimisation Problème d'affectation quadratique (FAQ) –Affecter à chaque zone une et une seule position Min z = Σ Σ Σ Σ fij.cij.dlk.xik.xjl fij : flux entre les zones i et j cij : coût entre les zones i et j dlk : distance entre la position l et k xik : 1 si la zone i est dans la position j, 0 sinon Programmation Linéaire en Nombres Entiers (PLNE) –Variables pour les coins de chacune des zones, pour les informations entre deux zones (flux, coût, localisation) m m m m i=1 j=1 k=1l=1

9 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 9 Etat de l'art / Synthèse Beaucoup de travaux dans la littérature Travaux présentés sont : –soit très génériques ne prennent pas en compte certains aspects de notre problème –soit très spécifiques ils sont difficiles à réutiliser dans d'autres contextes que celui spécifié Pas de travaux avec la Programmation par Contraintes

10 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 10 Définition du problème Positionner les zones (tronçons et magasins) de manière à minimiser les coûts en fonction des flux réels transitant dans latelier en : –suivant le graphe de montage et de manutention –gérant lentrée et la sortie de la chaîne sur latelier –créant un réseau dallées pour lapprovisionnement Tronçons : forme rectangulaire, une entrée et une sortie à lopposée sur les largeurs et donc 4 orientations (,,, ) Magasins : carrés, pas dentrées ni de sorties donc pas dorientations

11 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 11 Spécificités du modèle Modélisation avec la Programmation Par Contrainte Evaluation : «from-to» chart Représentation graphique discrète Gestion du réseau dallées avec un rajout dune demi-allée pour chacune des zones

12 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 12 Spécificités du modèle Calcul des distances par la méthode de Manhattan : permet de prendre en compte le réseau dallées Pour éviter dallonger la distance de convoyage entre lentrée de latelier et le premier tronçon : nous collons lentrée du tronçon à lentrée du magasin Pour la sortie, la voiture étant terminée à la fin de la chaîne, la distance qui sépare le dernier tronçon de la sortie est moins important

13 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 13 Données du problème Bx, By : longueur et largeur du bâtiment x s, y s : abscisse et ordonnée de la sortie de latelier x e, y e : abscisse et ordonnée de lentrée de latelier Li, li : longueur et largeur de chaque tronçon et magasin (Li=li) M : nombre de magasins T : nombre de tronçons aij : les positions d'arrivées sur la chaîne principale des chaînes secondaires (entrées, centre ou sortie) fij : flux entre 2 zones cij : coût unitaire en unité de flux et de distance entre 2 zones

14 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 14 Variables du modèle xi, yi : ( 0) : abscisse et ordonnée du centre de chaque zone hi, vi : {Li, li} : taille de la zone i en abscisse et ordonnée ei h, ei v : {-1, 0, 1} : entrée du tronçon i en abscisse et ordonnée (-1 si inférieure au centre, 0 si égale et 1 si supérieur) Distances : en fonction des autres variables mais différentes en fonction du flux (production ou manutention) –Distance de manutention (magasin i et tronçon j) dij = |xi - xj| + |yi - yj| –Distance de production dij = |(xi - ei h.hi/2) - (xj - aj.ej h.hj/2)| + |(yi - ei v.vi/2) - (yj - aj.ej v.vj/2)|

15 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 15 Fonction objectif Manutention : flux Magasins - Tronçons Production : flux Tronçons - Tronçons –L : indice du dernier ronçon de la chaîne d montage –dls = |(xl - el h.hl/2) -xs| + |(yl - el v.vl/2) – ys| Min z = Σ Σ f ij c ij d ij + Σ Σ f ij c ij d ij + f ls c ls d ls T T i=1 j=1 M T i=1 j=1

16 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 16 Contraintes Positionnement dans l'atelier –hi/2 xi Bx-hi/2 et vi/2 yi By-vi/2 i M T Dimensions et orientation des tronçons –si longueur verticale alors largeur horizontale et vice et versa : hi + vi = Li + li i T –orientation verticale ou horizontale : ei h =0 ei v !=0 i T –entrée du coté de la largeur : ei h !=0 => hi=Li et ei v !=0 => vi=Li i T Non superposition des zones –si superposition horizontale alors non superposition verticale : |xi-xj| < (hi+hj)/2 |yi-yj| (vi+vj)/2 –si superposition verticale alors non superposition horizontale : |yi-yj| < (vi+vj)/2 |xi-xj| (hi+hj)/2

17 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 17 Approches de résolution Modèle présenté peut efficace partage de la résolution du problème en 3 sous problèmes: –Placement de la chaîne principale –Placement des chaînes secondaires –Placement des magasins

18 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 18 Résolution de la chaîne principale Modèle présenté peut efficace partage de la résolution du problème en 3 sous problèmes: –Placement de la chaîne principale –Placement des chaînes secondaires –Placement des magasins

19 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 19 Résolution des chaînes secondaires Modèle présenté peut efficace partage de la résolution du problème en 3 sous problèmes: –Placement de la chaîne principale –Placement des chaînes secondaires –Placement des magasins

20 Résolution dun problème dagencement déquipements par Programmation Par Contraintes 20 Placement des magasins Problème daffectation des positions pour les magasins Modèle en PLNE : / B x /5B y /5 | Min z = f ij c ij d ijk x ik | i M j T k=1 | sujet à : |xik = 0 ( i M, | k une des case du magasin i occupée par un | tronçon ou hors de latelier) < B x /5B y /5 | x ik =1 ( i M) |k=1 | x ij 1(1 k B x B y ) | i M l L |où L est lensemble des case tel que k soit occupée si le \ magasin i est en l