La cosmologie et son origine

La cosmologie et son origine
de Pythagore à Laniakea Association des astronomes amateurs d’Auvergne Philippe Kauffmann 10/12/2015 C’est le centenaire de la relativité générale (25 novembre 1915) nommée en abrégé RG, point de départ et théorie centrale de la cosmologie moderne. Einstein a travaillé quasiment en non stop pendant les quatre derniers mois pour finaliser les dix dernières équations de l’œuvre de sa vie. Il avait perdu 25 kg le 25 novembre… Certains scientifiques considèrent que les équations résultantes sont d’une complexité diabolique. C’est certainement la théorie scientifique la plus complexe jamais écrite…avec celle de la mécanique quantique dont Einstein est aussi à l’origine. La théorie multiplie les succès après un siècle et n’a jamais suscité autant d’intérêt, dont un recueil d’articles scientifiques de 1970 à nos jours «General Relativity and Gravitation» en 45 volumes d’environ pages au total… Actuellement 3000 pages s’ajoutent chaque année. Après 10 ans de réflexion acharnée, Einstein n’avait plus conscience de la difficulté de compréhension de la RG. Il a dit lors de la conférence du 20 juin 1933 à Glasgow ces paroles restées célèbres : "A la lumière des connaissances acquises, ce à quoi nous avons eu la chance d'aboutir apparaît comme presque évident : un étudiant intelligent est capable de le comprendre sans grand effort". 1

La cosmologie et son origine
de Pythagore à Laniakea Selon Max Born « La théorie de la Relativité Générale est le plus grand exploit de la pensée humaine à propos de la nature. » 2

PLAN Présentation générale Genèse inverse Prérequis mathématique
Relativité générale (RG) Relativité restreinte (RR) Equations de Maxwell Mécanique newtonienne Prérequis mathématique Théorème de Pythagore Grèce classique Espace Euclidien Référentiel cartésien Les vecteurs Equations de courbes Calcul infinitésimal Notion de tenseur La dynamique de Newton Lois de Newton Référentiel inertiel Problème des deux corps Cas général et difficultés Formation du système solaire Les équations de Maxwell Loi de Coulomb Notion de champ Identité inertie et gravité Équations de Maxwell L’onde électromagnétique Petit apparté Problème posé La radio En 1915 – lors de l’apparition de la RG - on pensait que l’univers était statique, que les étoiles visibles étaient les objets les plus lointains de l’univers et on ne connaissait pas les galaxies qu’on appelait alors nébuleuses. La RG a été la révolution scientifique qui a bouleversé cette vision et fait d’Einstein un mythe. C’est un cas quasiment unique dans la science où une théorie majeure a précédé la pratique. Dans la majorité des autres domaines scientifiques ou techniques, la théorie a suivi et non précédé avec un ou plusieurs siècles de retard. Dans le cas de la machine à vapeur - par exemple - les machines de Newcomen ont précédé de 150 ans la thermodynamique de Sadi Carnot… La théorie finale de la RG a été déduite d’une succession de théoriques en cascade, s’emboitant comme des poupées russes. Au centre on trouve les équations de Maxwell s’appuyant sur les équations expérimentales de l’électrodynamique, elles-mêmes proches de celles de la mécanique de Newton. Ces équations ont induit celles de la relativité restreinte, étendues à celles de la relativité générale, ayant finalement abouti à la cosmologie. Pour comprendre les tenants et aboutissants de la cosmologie, il faut donc comprendre chacune des étapes théoriques ayant précédé : la relativité générale (RG), la relativité restreinte (RR), les équations de Maxwell, la mécanique newtonienne. Comprendre ces principes impose accessoirement de comprendre a minima les concepts mathématiques sous-jacents, puisque tout s’appuie sur des raisonnements mathématiques ; concepts qu’il convient donc d’évoquer avant toute autre chose. A. A. A. A. 3 3

PLAN La relativité restreinte : RR La relativité générale : RG
Principe général de la RR Dilatation du temps Contraction des longueurs La notion d’espace-temps Masse et énergie Preuves de la théorie La relativité générale : RG Concepts de la RG Equivalence gravité-accélération Les espaces courbes Déformation de l’espace-temps L’équation de champ d’Einstein Les trous noirs La cosmologie Nécessité de supercalculateurs Expansion de l’univers Big Bang Fond diffus cosmologique Ondes gravitationnelles Matière noire Rotation de l’univers Défauts le la théorie Conclusion générale Conclusion prospective Bibliographie Certains placent le début de la cosmologie scientifique à la publication de la RG, d’autres en 1917 lorsqu’Einstein a ajouté la constante cosmologique à la théorie ; mais la majorité considèrent que le véritable début de la cosmologie se situe à la confrontation de la RG avec les observations de Hubble sur la récession (éloignement) des galaxies, c’est–à-dire en 1929. A cette époque, il n’y avait pas encore de poste de cosmologiste. Ils apparaitront petit et petit, et leur nombre ne fera qu’augmenter par la suite sans jamais s’arrêter jusqu’à aujourd’hui, à l’image de l’expansion de l’univers. A. A. A. A. 4 4

Présentation générale
La représentation en 3D de notre superamas « Laniakea » est le dernier grand succès de la cosmologie (septembre 2014), permis grâce à l’exploitation de la RG. Ce travail a nécessité sept ans d’observations sur une demi-douzaine de télescopes (dont les Keck I et II du mont Mauna Kea) répartis sur la planète ainsi que l’utilisation de la grille de calcul civile française « Curie », neuvième grille mondiale par sa puissance et première en Europe (puissance d’environ PC) du TGCC (Très Grand Centre de Calcul situé près de Saclay). Les mesures ont permis de calculer les trajectoires des galaxies du superamas vers le « Grand Attracteur » à une vitesse moyenne de 630 km/s. Ceci nous permet de dire que notre adresse dans notre univers est : superamas Laniakea, superamas de la Vierge, groupe local, système solaire, etc. On peut noter que la dynamique de ce superamas se présente comme un bassin versant hydrographique. Cette dynamique est liée à la constante Λ de la RG. A une échelle inférieure ou égale à celle des galaxies, Λ n’a que très peu d’influence et on constate alors une dynamique différente ; différente aussi de celle des systèmes planétaires déterminée par la dynamique de Newton. A. A. A. A. 5 5

La tâche suprême du physicien consiste à rechercher les lois élémentaires à partir desquelles, par pure déduction, on peut acquérir l’image du monde. Albert Einstein A. A. A. A. 6 6

D’après la relativité générale, l’univers peut être elliptique, hyperbolique ou plat. En 1917 Einstein ajoute la constante cosmologique L pour rendre l’univers statique. Edwin Hubble établit en 1929 que l’univers est en expansion, l’espace devient alors elliptique et fini, L disparait. En 1998 la découverte de l’accélération de l’expansion de l’univers suggère l’existence d’une énergie sombre négative, L réapparait…l’univers devient presque plat. L’équation de champ d’Einstein - qui sera approfondie plus loin - dit en gros que le tenseur d’Energie-Impulsion est proportionnel au tenseur de courbure de l’espace-temps, au décalage de la constante Λ très faible près ; constante baptisée « constante cosmologique ». La complexité de l’équation est masquée par l’utilisation de tenseurs, concept mathématique de haut niveau qu’Einstein a du apprendre de ses confères mathématiciens. Les tenseurs seront présentés par la suite. La théorie – telle qu’établie au départ – ne contenait pas la constante cosmologique Λ (annulée délibérément par Einstein) ; paramètre qui influe sur la forme globale de l’espace-temps et sur son évolution. En gros, elle fixe l’énergie du vide. La petitesse de sa valeur l’empêche d’agir à une échelle inférieure à celle des amas de galaxies. Einstein n’étudie qu’en 1917 la courbure de l’espace-temps au niveau de l’univers dans son ensemble et s’aperçoit qu’il est en expansion. Comme c’est en opposition avec la vision de l’époque, il réintroduit Λ et lui donne une valeur telle que l’univers devient statique. On s’apercevra plus tard que c’était un équilibre instable, donc impossible à maintenir. Selon la wikipédia : Quand Friedmann découvre la théorie de la relativité générale d'Einstein en 1922, il entreprend dès lors d'en chercher les solutions exactes. Il entrevoit le premier que cette théorie mêlant gravitation, temps et espace, permet l'étude de la structure de l'univers dans son ensemble. Il découvre que les équations d'Einstein permettent la description d'un univers en évolution et introduit pour la première fois l'idée d'un univers en expansion. L'article fondateur de la cosmologie non-statique est publié en juin Une violente controverse oppose à distance Friedmann à Albert Einstein, qui refusera longtemps un univers non-statique. Les équations de Friedmann, décrivant la dynamique de l'expansion de l'Univers dans le cas où celui-ci serait homogène et isotrope, sont nommées en son honneur. Après discussion avec Hubble en 1929 qui vient de découvrir la récession des galaxies proportionnelle à leur distance, Einstein supprime à nouveau Λ, ce qui conduit à un univers en expansion et un espace-temps elliptique, c’est-à-dire fini comme la surface d’une sphère, mais sans borne. C’est la théorie qui a prévalu pendant presque tout le reste du XXème siècle. Les galaxies qui s’éloignent et dont le spectre est décalé vers le rouge pourraient avec cette conception de l’univers réapparaitre à l’opposé dans le ciel avec un décalage dans le bleu…comme l’armada de Fernand de Magellan partie à l’ouest est réapparue à l’est. Depuis 1998 on pense – suite aux mesures - que Λ est presque nul et que notre univers est en expansion accélérée. Mais on ne sait plus dire si notre univers est elliptique, hyperbolique ou plat (donc infini). Cette valeur rend l’énergie du vide – renommée énergie sombre - négative ; c’est ce qui induit l’accélération de l’expansion. De plus en plus de cosmologistes pensent que l’univers est en moyenne strictement plat, donc infini. Mais cette thèse n’est pas encore reconnue officiellement. A. A. A. A. 7 7

Genèse inverse Relativité Générale
Point de départ de la cosmologie en association avec les travaux de Hubble. Elle s’impose à partir de l’échelle des galaxies, mais elle nécessite de gros calculateurs… Seul le système à un objet sphérique unique est résolu de façon analytique… Elle s’appuie : sur l’espace-temps de la RR, la notion de champ des équations de Maxwell, et l’équivalence inertie/gravité des équations de Newton. Relativité Générale RG Les observations d’Edwin Hubble prouvant la récession (éloignement) des galaxies explicable uniquement par la RG marquent le début d’une association qui dure toujours. La théorie de « L’atome primitif » déduite de l’expansion de l’univers et du modèle qui l’accompagne par Georges Lemaître au début des années est bientôt rebaptisée « théorie du Big Bang » avant de devenir le « modèle standard de la cosmologie ». La confiance dans la RG vient de la capacité qu’elle a eu à prévoir la précession du périhélie de l’orbite de Mercure et la déviation des rayons lumineux par le soleil. Elle s’impose donc comme modèle physique pour l’étude de l’univers au-delà du système solaire. Elle ne sert d’ailleurs qu’à ça ! Cette théorie est une extension de la relativité restreinte (RR) dont elle est la généralisation. Elle s’appuie aussi sur la notion de champ des équations de Maxwell et l’équivalence sous-tendue inertie/gravité de la dynamique de Newton. A. A. A. A. 8 8

Genèse inverse Relativité Restreinte
1ère version de la relativité publié en 1905 qui n’autorise que les déplacements à vitesse constante. Elle implique la dilatation du temps et la contraction des longueurs, induit la notion d’espace-temps, et (un peu plus tard) l’équivalence masse/énergie. Elle explique l’invariance de la vitesse des ondes électromagnétiques dont l’existence est issue des équations de Maxwell. Relativité Restreinte RR La RR fait partie des quatre publications audacieuses d’Einstein de 1905, année baptisée « année miraculeuse ». L’article sur la photoélectricité de cet ensemble prouvant la nature corpusculaire de la lumière vaudra par ailleurs à Einstein le prix Nobel. La RG qui en est l’extension à un référentiel non inertiel - par le Big Bang qu’elle suppose - reliera finalement l’infiniment grand à l’infiniment petit, tous les deux dévoilés par Einstein. Elle montre que notre espace n’est pas euclidien, que le temps et les longueurs dépendent de la vitesse de l’observateur et que l’espace et le temps sont imbriqués. Elle montre a posteriori l’équivalence masse/énergie essentielle pour la RG et la mécanique quantique. Son propos initial était d’expliquer le paradoxe des équations de Maxwell, c’est-à-dire la constance de la vitesse de la lumière quelle que soit la vitesse de l’observateur. A. A. A. A. 9 9

Genèse inverse Equations De Maxwell
Synthèse le l’électromagnétisme, introduit la notion de champ, en particulier les champs électriques et magnétiques repris en RG. Prédit l’existence des ondes électromagnétiques Impliquerait l’existence d’un référentiel absolu et la présence d’un éther luminifère. Mais l’existence de cet l’éther est contredite par l’expérience de Michelson et Morley. Rien ne va plus ! Equations De Maxwell Les équations de Maxwell sont une synthèse des équations de champ de l’électricité et du magnétisme établies à la fin du XVIIIème siècle et au début du XIXème. A la grande surprise du monde scientifique, elles ont prédit l’existence des ondes électromagnétiques inconnues à l’époque. Ces ondes ont suggéré l’existence d’un éther luminifère qu’il a été finalement été impossible de mettre en évidence. Ces équations, très différentes de celles de Newton sont pourtant basées sur des lois quasiment identiques ! N. B. : l’éther a pour la première fois été évoqué par les philosophes grecs pour supporter les étoiles à la place des sphères de cristal. A. A. A. A. 10 10

Genèse inverse Mécanique Newtonienne
Explique et généralise les formules de Kepler Donne des lois précises pour le mouvement des planètes Impose l’invention du calcul infinitésimal A la même formulation que les lois d’électrostatique qui suivront Ne résout que le problème des deux corps… Est nécessairement fausse selon Einstein ! Pourtant elle s’impose jusqu’à l’échelle du système solaire. Mécanique Newtonienne Les équations de Newton sur la mécanique permettent enfin d’expliquer les orbites elliptiques des planètes et les autres lois de Kepler. Elles sont à la base des lois qui ont suivi : équations de Maxwell, RR et RG. Pourtant, Einstein a prouvé qu’elles étaient nécessairement fausses ! Elles nécessitent la compréhension de la notion de référentiel, et du calcul infinitésimal (rebaptisé différentiel) inventé conjointement et indépendamment par Newton et Leibnitz. A. A. A. A. 11 11

Prérequis mathématique
Le principe fondamentalement créateur se trouve dans la mathématique. Albert Einstein A. A. A. A. 12 12

Mésopotamie : théorème de Pythagore Pour comprendre les trois théories à la base de la RG il faut un vernis mathématique présenté ci-après. La première loi importante est le théorème de Pythagore. La tablette Plimpton 322, datant d'environ 1800 av JC, prouve que ce théorème était connu bien avant la naissance de Pythagore et de l’avènement de la Grèce classique. Ce théorème a une valeur universelle, il est suffisant pour trouver les équations de la RR et on en utilise encore une extension dans la RG. A. A. A. A. 13 13

Mésopotamie : calcul de la racine carrée La racine carrée était aussi connue dans la haute antiquité. Pourtant elle ne se calcule pas simplement ! Heureusement on peut l’approximer avec un ordinateur en utilisant les séries de Taylor. Le théorème de Pythagore permet de trouver le carré de la longueur du carré de l’hypoténuse d’un triangle rectangle. Mais en général, on s’intéresse plutôt à la longueur elle-même qu’à son carré, ce qui suppose de savoir calculer la racine carrée. La tablette YBC 7289 datant de prouve qu’en Mésopotamie on savait aussi calculer les racines carrées. Pourtant, c’est une fonction transcendante ! Un ordinateur ne peut pas l’obtenir directement car il ne sait faire que des additions, soustractions, multiplications et divisions. Pour calculer une racine carrée, il faut donc trouver une formule approchée composée uniquement des quatre opérations de base. On sait le faire en utilisant les séries et un algorithme informatique, mais ça demande un temps de calcul relativement important. A. A. A. A. 14 14

Théorème de Pythagore : exemple x 4 3 A. A. A. A. 15 15

Grèce classique Sont à l’origine de la philosophie et ses écoles, dont celle de Pythagore. Mais Pythagore n’a peut-être jamais entendu parler de son théorème… Euclide, plus tardif que les philosophes peut être considéré comme le premier mathématicien. Son cinquième postulat affirme que par un point on ne peut faire passer qu’une parallèle à une droite… Archimède – grand mathématicien – peut aussi être considéré comme le premier physicien. é Les grecs anciens ont formalisé et diffusé la philosophie, l’astronomie, les mathématiques et la physique. Ils ont cassé des croyances fausses, comme la terre plate et ont calculé les distances et diamètres de nombreux astres, dont la terre. On peut opposer deux écoles parmi les diverses écoles : les idéalistes dont faisait partie Aristote, admettant les actions divines, les matérialistes dont faisait partie Aristarque de Samos, rejetant catégoriquement l’influence de toute action divine. Les deux écoles ont débattu, et les idéalistes ont imposé le géocentrisme malgré l’argumentation du matérialiste Aristarque de Samos convaincu de l’héliocentrisme. Les idéalistes - convaincus de l’influence des dieux - ont petit à petit pris le dessus et fait décliner la pensée grecque. Mais ils ont considérablement marqué le christianisme… Si on doit aux grecs anciens - en particulier à travers Euclide - de nombreux concepts universellement acceptés encore aujourd’hui, en particulier la géométrie descriptive ; on leur doit aussi deux notions toujours parfaitement acceptées, mais pourtant fausses - et toujours difficile à remettre en cause : les concepts de longueur et temps absolus. Albert Einstein a été fortement influencé par les méthodes de raisonnement utilisées dans les « Eléments d’Euclide » qui l’ont fasciné. Ce sont les méthodes qu’il a reprise pour trouver la RR et la RG. A. A. A. A. 16 16

Espace euclidien Celui considéré comme le nôtre Aussi faux que la terre est plate et que le soleil tourne autour Euclide s’intéressait à la géométrie des points, des droites des triangles et des cercles. En géométrie euclidienne, les segments de droite ont une longueur, mais pas de position ni d’orientation. Les mathématiques des grecs anciens sont constituées essentiellement de géométrie (affine et dite euclidienne) et d’un type de raisonnement bien précis et systématique. On part d’axiomes : vérités évidentes et de postulats : vérités pas tout à fait évidentes, mais auxquelles ont croit fortement et pour lesquels ont pense qu’on trouvera une démonstration ultérieurement. Les théorèmes sont démontrés à partir d’autres théorèmes, axiomes et postulats par une succession de déductions - raisonnements logiques élémentaires - nommés parfois inférences. Ainsi, de déduction en déduction et de théorème en théorème on arrive à prouver des choses finalement très complexes. C’est strictement la méthode – très puissante – suivie par Einstein pour aboutir à la RG. Par exemple : les ombres des objets ont des formes semblables aux objets eux-mêmes. Or l’ombre de la terre sur la lune est ronde, donc la terre est ronde. Ou, la coque d’un bateau disparait petit à petit sous l’horizon lorsqu’il s’éloigne. C’est donc qu’il descend. C’est donc que la terre est ronde. La géométrie euclidienne s’intéresse principalement aux triangles, ce qui a permis – par triangulation - de calculer les diamètres et les distances des principales planètes (dont la terre) et de la lune. C’est aussi ce qui a permis de trouver que la terre était ronde et à Aristarque de Samos de penser que le soleil beaucoup plus gros que les planètes devait être le centre de notre petit monde. C’est la même triangulation qui a permis au cours des deux derniers siècles de calculer la distances des étoiles visibles à l’œil nu. Le cinquième postulat de la géométrie euclidienne postule que par un point on peut faire passer une et une seule parallèle à une droite. C’est cette propriété mathématique qui définit l’espace euclidien : notre espace tel qu’on l’imagine traditionnellement. Johann Carl Friedrich Gauss ( ), considéré comme un des plus grands mathématiciens de tous les temps, était aussi passionné de physique et d’astronomie. Il dirigea l'Observatoire de Göttingen et ne travailla jamais comme professeur de mathématiques. Il encouragea un de ses étudiants Bernhard Riemann à travailler sur les espaces courbes, c’est-à-dire ceux ne respectant pas le cinquième postulat d’Euclide ; notamment les espaces elliptiques baptisés ultérieurement variétés de Riemann. Einstein a utilisé les travaux de Riemann sur les espaces courbes pour la RG. A. A. A. A. 17 17

Nous admirons la Grèce antique parce qu’elle a donné naissance à la science occidentale. Là, pour la première fois, à été inventé ce chef d’œuvre de la pensée humaine, un système logique, c’est-à-dire tel que les propositions se déduisent les unes des autres avec une telle exactitude qu’aucune démonstration ne provoque de doute. Albert Einstein A. A. A. A. 18 18

Repère cartésien On passe de la géométrie à l’algèbre analytique par projection sur les axes La métrique met en œuvre le théorème de Pythagore. Descartes a inventé le repère cartésien qu’on appelle aussi repère orthonormé. Il fonctionne dans un plan. On dit alors qu’on est en 2D, mais il fonctionne aussi dans l’espace à trois dimensions dit euclidien, c’est-à-dire en 3D. En 3D, il consiste à définir trois plans perpendiculaires de l’espace et trois axes gradués également perpendiculaires. Les graduations doivent être parfaitement linéaires et égales sur les trois axes. La projection de points sur les axes permet de définir leur position absolue numériquement avec trois nombres : x, y et z. Cela permet de passer de la géométrie euclidienne à la géométrie analytique et donc de transformer les figures géométriques en équations mathématiques, c’est-à-dire de faire des calculs sur les éléments géométriques. Par exemple, la projection d’un segment de droite sur les axes donne leur longueur projetée sur chacun des axes, et le théorème de Pythagore permet alors de trouver la longueur de ce segment dans l’espace. La géométrie euclidienne permettait de calculer la longueur d’un segment (coté d’un triangle). Avec les repères cartésiens on pourra aussi donner l’orientation de chaque segment, voire si c’est utile sa position absolue dans l’espace. Le théorème de Pythagore est l’équation de la métrique car il permet de mesurer les longueurs, ce qui sera très utile en relativité. On notera que l’utilisation d’un référentiel n’est qu’un moyen de décrire une géométrie. La géométrie – réalité physique – ne change pas si on change de référentiel, seules les projections sur les axes changent. Les longueurs déduites du théorème de Pythagore ne changent pas si on change de repère. Elles sont donc un invariant. A. A. A. A. 19 19

Les vecteurs Ce sont des segments de droite orientés. Ils peuvent représenter des longueurs, des vitesses, des accélérations, etc. Ils peuvent être représentés dans une matrice par la longueur de leurs projections sur un repère cartésien. Le théorème de Pythagore permet de calculer leur longueur. Les vecteurs sont des segments de droite orientés. Un vecteur est défini par sa longueur et son orientation. Un vecteur est typiquement défini par trois nombres (deux si on est dans un plan et quatre si on est dans l’hyperespace de la relativité) : la longueur de la projection du segment sur chacun des axes d’un repère cartésien. Ceci donne la longueur et l’orientation du vecteur. Souvent, on représente les trois nombres placés dans une matrice colonne par commodité. La matrice regroupe les trois nombres qui ne font alors plus qu’un : une grandeur vectorielle. Typiquement, on ne s’intéresse pas à la position absolue dans l’espace des vecteurs, qui sont alors dits libres. Ils peuvent dans ce cas être déplacés ad libitum. Mais parfois on exige qu’ils soient situés sur une droite. On parle alors de vecteurs glissants. Ce dernier concept indispensable en mécanique du solide n’est pas utilisé en relativité. La relativité n’exploite quasiment que des vecteurs. Elle définit ainsi les longueurs, les vitesses et les accélérations. Mais la relativité s’étudie essentiellement en quatre dimensions, le premier étant le temps. On parle alors de quadrivecteurs. A. A. A. A. 20 20

Les vecteurs On peut les additionner, les multiplier (produit scalaire et produit vectoriel) Exemple : vecteur vitesse avec accélération linéaire constante : à t= 0 : v = 100 à t=0,01 : v= 101 à t=0,02 : v= 102 à t=0,03 : v= 103 à t=0,04 : v= 104 Exemple d’accélération dû à la gravité dans le cas d’un déplacement linéaire incliné par rapport à l’axe y vertical. Les vecteurs représentent la vitesse : u = vitesse initiale, du1, du2, du3, du4 = augmentations de vitesse successives v = vitesse finale On note que la vitesse augmente linéairement avec le temps sans changer de direction. C’est le problème étudié par Galilée. A. A. A. A. 21 21

Les vecteurs Exemple : vecteur vitesse avec accélération perpendiculaire constante : à t= 0 : |v| = 100 à t=0,01 : |v| = 100 à t=0,02 : |v| = 100 à t=0,03 : |v| = 100 à t=0,04 : |v| = 100 Exemple d’accélération dû à la gravité dans le cas où la gravité est centrale (attraction par une planète ou le soleil) et le vecteur vitesse perpendiculaire à cette gravité. Les vecteurs représentent la vitesse : u = vitesse initiale, du1, du2, du3, du4 = augmentations de vitesse successives v = vitesse finale On note que la vitesse ne change pas d’amplitude (module) avec le temps mais change progressivement de direction. C’est le cas d’un satellite artificiel en orbite circulaire autour de la terre. A. A. A. A. 22 22

Equations de courbes Permettent de représenter mathématiquement des droites, des courbes, des surfaces, etc. Exemples : droite : x + 2y = 4 cercle centré en zéro : l’équation d’une droite dans le plan peut être représentée par une équation de la forme x + 2y = 4. Cette droite passera par l’axe des x à la coordonnée 4 et par l’axe des y à la coordonnée 2. Un cercle centré sur les axes et de rayon R pourra être représenté par une équation de la forme x2 + y2 = R2. C’est une application directe du théorème de Pythagore. Toutes les coniques (hyperboles, paraboles, ellipses et cercles) ont des équations bien connues qui dérivent de celle du cercle et donc du théorème de Pythagore. Ce sera bien utile à Newton lorsqu’il étudiera les orbites des planètes… A. A. A. A. 23 23

Calcul infinitésimal (ou différentiel) On raisonne sur de toutes petites variations spatiales (dx, dy, dz) ou temporelles (dt). On fait les calculs de proche en proche ce qui nécessite un ordinateur, ou on cherche une solution analytique qui fournit une équation non différentielle globale. La loi du mouvement d’un corps matériel soumis à la gravité peut s’exprimer sous la forme suivante : La gravité g appliquée pendant un temps très court dt sur un corps massique provoque une variation de vitesse infinitésimale dv indépendante de la forme et la nature de l’objet. La lettre d (pour différentiel) indique qu’il s’agit de très petites variations. On peut ainsi calculer de proche en proche l’évolution de la vitesse, et donc la position du corps. Les équations comportant des différences infinitésimales en position ou en temps sont appelées équations différentielles. Ces équations peuvent s’étudier de deux façons : soit par calcul numérique de proche en proche, ce qui est très laborieux et impraticable sans ordinateur, soit en trouvant une solution analytique, c’est-à-dire une équation non différentielle décrivant complètement le mouvement. Dans le cas de la chute d’un corps on trouve que la hauteur de chute parcourue augmente avec le carré du temps. Elle décrit une parabole dans le diagramme plan de longueur/temps. Newton a du inventer le calcul différentiel, c’est-à-dire les méthodes mathématiques pour trouver des solutions analytiques aux équations différentielles puisqu’il n’avait pas d’ordinateur. C’est assez compliqué et dans de nombreux cas on ne trouve pas de solution. Les ordinateurs aident à trouver des solutions analytiques en utilisant des logiciels appelés résolveurs. Ainsi, Newton n’a pu résoudre que le problème des deux corps et ainsi montrer que les orbites d’un corps autour d’une sphère peuvent être des hyperboles, paraboles, ellipses ou cercles ; selon le cas. Sa solution est beaucoup plus générale que le cas particulier découvert par Kepler (ellipse) à partir des mesures de Tycho Brahé. A. A. A. A. 24 24

Les tenseurs sont des objets mathématiques qui décrivent des relations linéaires entre vecteurs ou d’autres tenseurs. Permet un passage linéaire simple d’un référentiel curviligne à un référentiel cartésien. Marcel Grossmann, camarade de promotion d’Einstein, l’a initié au calcul tensoriel inventé par Ricci. Notion de tenseur David Hilbert a solutionné la RG avec les tenseurs, et a devancé Einstein… L’idée d’Einstein pour la RG est de dire que la gravité n’existe pas, et que c’est une simple déformation de l’espace-temps. Déformer l’espace-temps peut être obtenu en déformant le référentiel qui passe alors de cartésien à un « mollusque de référence » de forme variable, selon l’expression même d’Einstein. Riemann (élève de Gauss) avait déjà travaillé un siècle plus tôt sur ce problème et fourni une base de connaissance initiale. L’ami mathématicien d’Einstein Marcel Grossmann l’a beaucoup aidé dans ce domaine qui le dépassait. C’est toutefois Hilbert, mathématicien et relation professionnelle de Minkowski (professeur de mathématique d’Einstein, décédé en 1909) qui a trouvé le premier la solution à la RG. Einstein a aussi profité de l’aide du mathématicien contemporain Gregorio Ricci-Curbastro, qui a inventé le calcul tensoriel et sa notation (mais pas les tenseurs eux-mêmes qui étaient déjà connus). La solution est d’utiliser un référentiel déformé défini par un tenseur. Un tenseur est typiquement représenté par une matrice sur laquelle on peut faire des opérations prédéfinies qui génèrent également des tenseurs. La particularité d’un tenseur est qu’il permet le passage d’un référentiel vers un autre (courbe ou plat) par une transformation linéaire prédéfinie. Il n’y a que deux possibilités : transformation contravariante ou covariante. Un index haut (exposant) sur un tenseur détermine une composante contravariante, un index bas (indice) détermine une composante covariante. Selon Sean M. Carroll, les tenseurs sont des objets géométriques indépendants du système de coordonnées choisi. Un vecteur est un tenseur de type particulier (matrice 1x3). Le tenseur métrique (matrice 3x3) permet de calculer la longueur d’un vecteur et d’effectuer un changement de référentiel. Par exemple : le produit matriciel d’un vecteur d’un repère cartésien par le tenseur métrique représenté sur le transparent permet d’obtenir le même vecteur mais représenté en coordonnées sphériques. Les techniques de représentation des tenseurs sortent du cadre présent, mais il faut savoir que cet outil a été l’outil mathématique principal de la RG. En RG, presque tout est représenté sous forme de tenseur. Sans tenseur, pas de RG. Mais il faut rappeler que derrière les tenseurs il y a essentiellement des additions, soustractions, multiplications et divisions de nombres scalaires ; donc rien de magique. Mais il y a aussi bien souvent des équations différentielles très ardues à résoudre…voire insolubles analytiquement ! A. A. A. A. 25 25

La dynamique de Newton Lois de Newton (1687) Principe d’équivalence 26
Newton a énoncé dans son ouvrage Phylosophae naturalis principia mathematica en 1687 plusieurs lois, dont deux qui lui ont permis de vérifier les lois de Kepler et aller au-delà. La première : la loi de gravitation universelle Elle stipule que deux corps s’attirent en raison proportionnelle au produit de leurs masses et en raison inverse du carré de la distance qui les sépare. Cette loi a été déduite de la loi sur la force centrifuge de Christian Huygens. A l’époque, la notion de masse était simple, c’était ce que mesurait une balance romaine, et c’était censé représenter la quantité de matière. Avec la relativité les choses vont singulièrement se compliquer. La seconde : le principe d’inertie Elle stipule qu’un corps dans un milieu isolé (comprendre dans l’infini de l’espace profond) maintient sa vitesse (et par voie de conséquence aussi direction) de déplacement. Si une force est brièvement appliquée sur le corps, sa vitesse varie en raison proportionnelle à l’amplitude de cette force dans la direction d’application de la force, en raison proportionnelle au temps d’application et en raison inversement proportionnelle à la masse du corps. Cette seconde loi est une équation différentielle car elle prend en compte une durée temporelle très petite. Elle avait été ébauchée par Galilée, mais sous forme non différentielle. Principe d’équivalence A. A. A. A. 26 26

La dynamique de Newton Exemple d’attraction par la météorite de Hoba
Après 10 s 1,5 kg 1,5 m Une masse de 1,5 kg (bouteille de champagne) est à 1,5 m d’une masse de kg (météorite Hoba). Quelle est la force d’attraction mutuelle ? F = 6, x1,5x60000/1,5x1,5 = 2, Newton, soit environ 0,26 milligrammes, une valeur faible mais mesurable. De combien la bouteille va elle s’accélérer vers la météorite en 10 secondes ? dv = 2, x10/1.5 = 17, m/s soit environ 64 mm/heure… Le résultat n’est correct que parce que la distance n’a pas eu le temps de changer significativement pendant les 10 s de l’expérience. A. A. A. A. 27 27

La dynamique de Newton Référentiel inertiel
Un référentiel inertiel (ou galiléen) est celui dans lequel les lois de Newton s’appliquent ! Si un référentiel est inertiel, tout référentiel en translation par rapport à celui-ci est aussi inertiel. Le référentiel héliocentrique d’orientation constante par rapport à la sphère des fixes est considéré comme inertiel. Un référentiel qui tourne sur lui- même par rapport aux étoiles n’est pas inertiel. Hormis les problèmes de définition des masses, les lois de Newton posent deux problèmes fondamentaux : le problème de l’action à distance, le problème du référentiel dans lequel les lois sont valides. Pour Newton il y a un référentiel absolu, celui de l’espace rempli de la « conscience omniprésente de Dieu ». C’est le bon référentiel. Newton admet par ailleurs que l’action à distance est inconcevable, mais l’accepte malgré tout, faute d’être capable de l’expliquer. Un référentiel inertiel (ou galiléen) est par définition un référentiel où les lois de Newton s’appliquent. Si un référentiel est inertiel, tout référentiel en translation à vitesse constante par rapport à celui-ci est aussi inertiel. Si on prend un référentiel héliocentrique dont un des axes passe par exemple par Mercure, Mercure ne tourne plus, toutes les vitesses de rotation des autres planètes sont modifiées, et les lois de Newton deviennent fausses. Si on prend un référentiel héliocentrique dont les trois axes passent par des étoiles fixes (à condition d’en trouver…) les lois de Newton fonctionnent. Comment se fait il que notre système solaire soit au courant de la position des étoiles lointaines qui n’ont quasiment aucune influence sur lui ? L’orientation d’un référentiel et sa position absolue dans l’espace n’ont aucune importance. Par contre, un référentiel inertiel ne doit donc pas tourner par rapport au fond du ciel et doit avoir une vitesse de déplacement linéaire fixe. Comment la mesurer ? Par rapport à quel référence ? Peut on considérer le système solaire comme fixe ? Pourquoi ? Parce qu’il est au centre de l’univers ? D’un point de vue mathématique, un référentiel inertiel est un référentiel non accéléré par rapport à un autre référentiel inertiel. A. A. A. A. 28 28

La dynamique de Newton Problème des deux corps
Explique et précise les 3 lois de Kepler. Seul problème complètement résolu analytiquement… Les objets tournent autour de leur centre de masse commun. Les orbites peuvent être hyperboliques, paraboliques, elliptiques ou circulaires. Le modèle a eu beaucoup de succès car il a expliqué le problème des marées. Les lois de Newton sont très simples, et si on oublie les « difficultés » évoquées, promettent d’être une réponse idéale à la cosmologie. Elles résolvent parfaitement le problème des deux corps dans toute sa généralité. Contrairement à une croyance datant de Kepler, les planètes ne tournent pas plus autour du soleil que l’inverse. D’après les lois de Newton, les deux corps célestes tournent autour de leur centre de masse commun. Cette évidence explique le problème des marées, et c’est cette découverte qui a fait le succès du modèle de Newton. A. A. A. A. 29 29

La dynamique de Newton Cas général et difficultés
Le cas général n’est résolu que numériquement, mais Le Verrier a pu utiliser le principe des perturbations. Les lois de Newton n’expliquent pas le décalage du périhélie de l’orbite de Mercure. Elles ne prennent pas en compte l’évolution des orbites et des vitesses de rotation des planètes sur elles mêmes. Elles ne prennent pas en compte la gravité due aux autres étoiles. Malheureusement, aucun astronome n’a réussi à résoudre l’équation différentielle d’inertie pour un systèmes à plus de deux corps… Le Verrier et d’autres astronomes professionnels ont pu faire des études approchées au-delà de deux corps en utilisant le principe des petites perturbations, mais les résultats restent limités. En particulier, il a été totalement impossible d’expliquer la précession du périhélie de Mercure de 43" par siècle qui est restée une énigme jusqu’à l’avènement de la RG. Le Verrier avait tenté d’expliquer le décalage par une planète à découvrir entre Mercure et le soleil baptisée prématurément Vulcain qui ne fut jamais trouvée... C’est pourtant d’une façon analogue que Le Verrier avait découvert Neptune : en observant la trajectoire perturbée d’Uranus par Neptune. De plus, Newton précise que ses lois sont valides pour un système isolé, or il n’existe pas de système isolé. Ab initio, Newton a affirmé que pour que sa dynamique fonctionne il fallait un univers infini et homogène pour éviter que les corps finissent par s’agglutiner… A contrario, selon Einstein, avec une densité de masse répartie uniformément dans l’univers, l’action cumulée des étoiles sur notre système solaire devrait dépasser l’action du soleil. Pour que les lois de Newton fonctionnent, il faudrait un univers fini en forme de lentille avec une densité de masse maximum au centre et diminuant progressivement vers le bord. Donc les lois de Newton sont fausses ! Les lois de Newton traitent le problème des mouvement par le petit bout de la lorgnette : des éléments tous seuls isolés du reste de l’univers. La RG prend le problème par le grand bout, en considérant d’emblée l’univers dans son ensemble. Ceci explique pourquoi la RG traite parfaitement les superamas et la structure générale de l’univers, alors que la dynamique de Newton excelle à petite échelle, c’est-à-dire à l’échelle des systèmes planétaires et plus petits. A. A. A. A. 30 30

Formation du système solaire
La dynamique de Newton Le matériau initial vient de l’explosion d’une supernovae condensée en protoplanètes. Les gaz se sont fixés principalement sur le soleil et Jupiter. Les planètes sont le résultat de l’accrétion initiale de métaux. Les gros corps absorbent les petits, les corps de tailles comparables s’entredétruisent. Les corps hors du plan et aux orbites inadaptées sont éjectés ou ramenés petit à petit dans le plan. Les perturbations mutuelles tendent à circulariser les orbites petit à petit. Formation du système solaire Si les lois de Newton ne sont exploitables dans le cas général que par le calcul numérique de proche en proche sans chercher à résoudre les équations différentielles, ce n’est pas grave puisqu’on possède les ordinateurs pour ça. Les calculs sont lourds, car si on considère qu’on raisonne dans un cube spatial de 1000 unités de côté il faut faire les calculs dans 1000x1000x1000 cubes élémentaires, c’est-à-dire un milliard de petits cubes ! Mais c’est à la portée de l’informatique. Ainsi, la simulation de la formation du système solaire a pu être faite. Ceci a permis de comprendre son évolution vers l’aspect actuel de notre système. A. A. A. A. 31 31

Les équations de Maxwell
Loi de Coulomb La loi de Coulomb est semblable à la loi d’attraction de Newton, mais les masses sont remplacées par les charges électriques, la constante de gravité G et remplacée par la constante de Coulomb ke, et le sens de la force F peut être attractive ou répulsive en fonction des polarités des charges. Charles-Augustin Coulomb a énoncé la première loi de d’électrostatique similaire à la loi d’attraction universelle de Newton en Son travail, comme celui de ses nombreux confrères (voir équations de Maxwell) s’est situé environ un siècle après le travail de Newton à une mauvaise période de l’histoire. Lui et Ampère n’ont dû leur survie qu’à une prudente retraite à la campagne. Par contre, le père d’Ampère plus audacieux, comme Lavoisier, a succombé à la guillotine. Logiquement, la formulation des lois de Newton et de l’électricité devraient être similaires, mais ça n’a pas du tout été cas car les scientifiques du XVIIIème siècle avaient beaucoup progressé par rapport à ceux du XVIIème, et leur approche s’est révélée fort différente. N. B. : l’expression des lois dans les deux domaines seront reformulées avec des tenseurs suite à l’apport de la RG. A. A. A. A. 32 32

Notion de champ Notion introduite par Faraday pour simplifier l’exploitation de la loi de Coulomb. On utilise couramment le champ électrique E, le champ magnétique B et le champ gravitationnel G. Devient fondamental en relativité, qui démontre sa réalité physique, et supprime le principe d’action instantanée à distance. La loi de Coulomb peut se décomposer en deux parties (on aurait pu faire la même chose avec la loi d’attraction universelle) : ce qui est général et lié à la première charge électrique est supposé fixe, ce qui est lié strictement à la seconde charge est supposé être de passage. On veut savoir comment cette seconde charge est influencée par le système (défini ici par la première). La partie de la loi de Coulomb comprenant les éléments : kc.q1/r2 est cette première partie fixe. On la nomme champ électrique, marqué E. Comme elle est fixe on peut la représenter graphiquement, même en l’absence d’une seconde charge. Une fois le champ électrique parfaitement défini, connaitre l’action de la charge q2 est facile puisqu’il suffit alors de multiplier la charge q2 par la valeur locale du champ électrique E. Les champs sont très utilisés en physique car ils permettent de simplifier la résolution des problèmes. Cette notion est due à Faraday vers Il s’agit au départ d’un simple artifice mathématique, mais Einstein a démontré son existence physique. Un champ contient de l’énergie et a donc une masse. La RG est basée sur cette notion de champ. Si on considère l’action d’un champ sur un objet, l’objet et le champ étant au même endroit, il n’y a plus d’action à distance (ni instantanée, ni retardée), idées qui troublaient déjà Isaac Newton. Or Albert Einstein a justement rejeté la possibilité d’une action instantanée à distance. A. A. A. A. 33 33

Je pense à la notion du champ électromagnétique grâce à laquelle Faraday et Maxwell ont repensé les bases d’une physique nouvelle. La relativité…s’efforce de rendre la physique du champ à tous les phénomènes, gravitation comprise. Albert Einstein A. A. A. A. 34 34

Identité inertie et gravité La masse représente en principe la quantité de matière. Les masses inertielles mi et graves mg correspondent à des phénomènes physiques différents. mi et mg sont identiques à près (exp. Eöt-Wash 1987). En RG, la gravité n’existe pas, donc mi et mg sont une seule et même chose, et la masse correspond à l’énergie interne. Ce transparent met en évidence l’analogie entre la mécanique newtonienne et la loi de Coulomb qui vient d’être présentée. On peut déplacer un corps en utilisant une force électrostatique ou gravifique, les lois étant les mêmes. On peut remarquer que dans les deux cas la force impose une variation de vitesse proportionnelle à la masse. Par contre, les lois d’attraction font intervenir dans un cas à nouveau la masse et dans l’autre la charge électrique sans rapport avec la masse. En y réfléchissant bien, il faudrait distinguer deux types de masses : la masse grave mg pour la loi d’attraction et la masse inertielle mi pour la masse inertielle car elles interviennent dans deux phénomènes totalement différents. Il n’y a pas de raison qu’elles soient identiques (en réalité proportionnelles car l’égalité ne résulte que d’un choix d’unité de mesure). Galilée a été le premier à affirmer l’égalité dans sa célèbre expérience (probablement imaginaire) de chute de corps depuis la tour de Pise. C’est cette égalité qui fait que tous les corps tombent à la même vitesse. Newton a fait des mesures au millième près avant de décider d’assimiler ces deux grandeurs. Plus récemment, on a fait des mesures à près sans découvrir de différence. Et des expériences avec une précision de sont en cours… C’est la RG qui explique cette identité, en RG il n’y a qu’un et un seul phénomène, l’inertie. Il n’y a pas de gravité. La gravité est en fait l’expression de la déformation de l’espace-temps. De plus, en RG la masse cesse d’être constante. Elle varie - entre autre – en fonction de la vitesse. En RG en raisonnera en terme d’énergie-impulsion et non en terme de masse, cette dernière notion devenant obsolète. A. A. A. A. 35 35

La théorie de la relativité générale se fonde essentiellement sur la correspondance numérique vérifiable et vérifiée de la masse inerte et de la masse pesante des corps. Cette théorie doit en première ligne sa naissance à l’effort de comprendre l’égalité de la masse inerte et de la masse pesante. Albert Einstein A. A. A. A. 36 36

Equations de Maxwell Les équations de Maxwell généralisent les lois du champ électrique E de la loi de Coulomb à des charges réparties. Elles font de même avec le champ magnétique B. Maxwell a ajouté un terme en ∂E/∂t dans la quatrième équation pour des raisons de symétrie. Cet ajout aura des conséquences EXTRAORDINAIRES ! Maxwell a regroupé les équations de champ électrique et magnétique définies par ses prédécesseurs Gauss, Faraday et Ampère ; le tout étant basé initialement sur la loi de Coulomb. Les premières équations expérimentales datent de la révolution française. Elles ont induit une révolution scientifique plus utile que la révolution politique concomitante ! Les deux premières équations - dues à Gauss - indiquent qu’une densité de charge électrique ρ est source de champ électrique et qu’il n’y a pas de source de champ magnétique. On peut voir (de façon très grossière) la source comme une source d’eau. Les charges positives définissent alors des points hauts et les charges négatives des points bas. La troisième équation - due à Faraday - indique qu’une variation de champ magnétique provoque une circulation de champ électrique. On peut (de façon très grossière) imaginer le champ guidé dans des canaux refermés sur eux-mêmes et formant des sortes de circuits en anneau. La circulation est alors ce qui fait circuler le fluide (champ) dans ces canaux. Tous les moteurs électriques, générateurs électriques et transformateurs sont basés sur cette loi. Certains considèrent de ce fait que Faraday est le père des moteurs et donc de l’électricité domestique et industrielle. La dernière équation est celle d’Ampère complétée et dit qu’un courant électrique ou une variation de champ électrique provoquent une circulation de champ magnétique. Le premier terme de cette équation définit le principe de l’électroaimant. Le second terme est un ajout de Maxwell pour des raisons de symétrie par rapport à la troisième équation. Cette modification aura des conséquences considérables. Le formalisme de la géométrie différentielle utilisant des dérivées vectorielles est ultérieur (1884) et est dû à Heaviside à la fin du XIXième siècle. Il permet de décrire des équations différentielles spatiales de façon très compacte et en faisant abstraction de tout référentiel. Naturellement, il ne modifie pas les concepts qui sont antérieurs. A. A. A. A. 37 37

L’onde électromagnétique La résolution des équations de Maxwell met en évidence l’existence d’une onde électromagnétique qui se déplace à la même vitesse que la lumière. Les équations ne disent pas par rapport à quel référentiel cette vitesse est définie. La combinaison de la troisième avec la quatrième équation de Maxwell conduit a deux équations différentielles du second ordre identiques pour le champ électrique et le champ magnétique. Ces équations sont très connues, ce sont celles d’une onde progressive sinusoïdale se déplaçant à vitesse fixe. La vitesse de déplacement c étant dans le cas présent celle de la lumière. La valeur de la vitesse c résulte de la permittivité électrique du vide et de la perméabilité magnétique du vide, constantes physiques connues. On peut donc déduire la vitesse c de la mesure de ces deux constantes. La valeur de la vitesse c peut donc se déduire de la mesure des caractéristiques d’un condensateur. Le calcul a permis de trouver que cette vitesse était la même que celle de la lumière, déjà connue à l’époque par les expériences d’Hippolyte Fizeau en Ce constat surprenant a conduit à penser que la lumière était une onde électromagnétique, ce qui a été prouvé par la suite. Ce qui est plus étrange c’est que le référentiel dans lequel cette vitesse est donnée est a priori , selon les équations, le référentiel des expériences. Or, la lumière est supposée se déplacer dans l’éther luminifère qui devrait donc plutôt être le référentiel de référence. Or comme pour la lumière, il a été impossible de trouver de variation de vitesse en fonction du référentiel. Les ondes électromagnétiques ne respectent pas la relativité de Galilée ! A. A. A. A. 38 38

L’onde électromagnétique : petit aparté Dans sa thèse de 1924 qui lui donnera le prix Nobel, Louis de Broglie met en évidence les ondes de matière Ψ dont l’équation (postulat) très célèbre est donnée en 1925 par Erwin Schrödinger. On peut remarquer la troublante ressemblance avec l’onde électromagnétique ! Dès 1926, selon Max Born et les adaptes du modèle standard, il ne s’agit que d’une équation de probabilité, car selon Born, la matière ne crée pas de champ ! Selon Albert Einstein : Dieu ne joue pas aux dés ! Dans le cadre de la mécanique quantique, la fonction d’onde de Schrödinger met en évidence l’aspect dual de la matière : corpuscule et onde. Mais ça n’a pas plu aux adeptes du modèle standard représentés par Niels Bohr qui considéraient que la fonction d’onde était une simple loi de probabilité. Les adeptes de la dualité, et au premier rang David Bohm ont donc été définitivement marginalisés, bien que soutenus par Albert Einstein ! On notera l’éternelle opposition entre adeptes de l’existence physique des champs et leurs opposants. Dans la RG c’est les adeptes qui ont gagné, et on cherche donc l’énergie sombre négative ! Dans la mécanique quantique c’est les opposants qui ont gagné et on refuse donc l’existence physique des paquets d’onde (onde de matière). Ce qui oblige à chercher l’introuvable graviton dont la RG démontré la non existence ! Cette opposition devra forcément se dénouer un jour, car on a affaire à la même chose à deux échelles différentes. A. A. A. A. 39 39

Problème posé Il faut trouver le support de l’onde et comment elle se déplace dans l’espace. Ce support est baptisé éther luminifère en souvenir de l’éther des anciens grecs. Michelson et Morley ne trouvent rien. Michelson obtient pourtant le prix Nobel de physique en 1907 ! Les physiciens Michelson et Morley ont mis au point un dispositif expérimental permettant de mesurer la vitesse de l’éther luminifère par rapport à la terre qui tourne sur son orbite à la vitesse de 30 km/s. Après six ans d’expériences, en 1887, il est définitivement admis dans les milieux autorisés (non français) que l’éther n’existe pas. La lumière, onde électromagnétique se déplace à la même vitesse quelque soit le référentiel et sa vitesse de translation. Une rencontre entre Michelson (prix Nobel de physique en 1907) et Einstein aux US en 1921 conduit Michelson à renoncer à reprendre ses expériences sur la propagation de la lumière… Le hollandais Hendrik Lorentz et le polytechnicien Henri Poincaré chercheront des explications mais ne trouveront que des justifications peu convaincantes. Einstein donnera la bonne explication en Néanmoins, du fait du chauvinisme français, la non existence de l’éther n’est pas encore admise en France en 1914 ! Au XXIème siècle il y a encore quelques polytechniciens pour prétendre que la paternité de la relativité revient à Poincaré (voir leur revue de liaison) ! A. A. A. A. 40 40

La radio Heinrich Hertz met en évidence les ondes de Maxwell le 15 mars 1888. Edouard Branly atteint en1890 une portée de plusieurs dizaines de mètres grâce à son cohéreur. Guglielmo Marconi invente l’antenne et un détecteur magnétique et obtient une portée transatlantique en 1901. La RR démontre une portée infinie. Malheureusement, au XXIème siècle cette onde devient nuisible à la santé physique comme mentale à cause de la télévision et du smartphone. Heinrich Hertz met en évidence en 1888 l’onde électromagnétique prévue par Maxwell décédé prématurément à 48 ans. L’expérience permet une portée de quelques mètres. Il ne continue pas les expériences car il décède aussi prématurément à 36 ans. Deux ans plus tard, Edouard Branly, décuple la portée grâce à son détecteur (le cohéreur) beaucoup plus sensible. Mais c’est finalement Guglielmo Marconi qui grâce à de très nombreuses expériences suivies chacune d’améliorations du dispositif expérimental qui finit en 1901 à atteindre une portée transatlantique… La radio et toutes les communications sans fil étaient nées grâce à un ∂H/∂t ajouté pour des raisons de symétrie (et donc d’esthétique) dans une équation de champ en 1864 ! A. A. A. A. 41 41

Principe général de la RR
La relativité restreinte : RR Principe général de la RR Einstein en 1905 La vitesse de la lumière appelée c est la même dans tous les repères inertiels. A faible vitesse la relativité galiléenne s’applique, c’est-à-dire : soit v la vitesse d’un objet dans un repère inertiel donné, soit u la vitesse d’un second repère inertiel par rapport au premier. La vitesse de l’objet dans le second repère devient : v' = v + u v‘  c En 1905 Einstein, inspecteur des brevets de troisième classe à Berne, publie un article qui résout le paradoxe dit des « équations de Maxwell ». Selon son article baptisé ultérieurement « Relativité Restreinte » il n’y a plus de temps ni de longueur absolue. Ces deux grandeurs dépendent du référentiel inertiel choisi. En fait, ces deux grandeurs viennent de l’intuition humaine, trompeuse en l’occurrence. Dans la réalité, il n’y a pas de temps et de longueur, il n’existe que la mesure de temps et de longueur, ce qui est tout à fait différent, car ça leur fait perdre leur caractère absolu. Einstein utilisait des pendules et des réglettes matérielles dans ses explications pour mettre en évidence la différence. Il utilisait aussi toujours des observateurs qui définissaient le référentiel de référence. Une longueur et un temps donnés peuvent à chaque mesure, selon les conditions locales et le moment donner des résultats différents ! Pour les petites vitesses tout se passe selon la relativité galiléenne, c’est-à-dire que les vitesses s’ajoutent. Aux grandes vitesses, toutes les vitesses tendent vers une constante impossible à dépasser : la vitesse c de la lumière. On peut noter que tous les animaux utilisent l’intuition pour solutionner leurs problèmes. Malheureusement, l’intuition conduit parfois à des erreurs. Mais l’animal (donc l’homme) est capable – en principe – de modifier son intuition lorsqu’il y découvre la preuve qu’elle est fausse. La logique euclidienne est beaucoup plus puissante que l’intuition dont nous a pourvu la nature. Mais ceux qui se figent sur leur intuition sont capables d’éliminer physiquement leurs contradicteurs car ils ont le sentiment qu’on viole leur intégrité. C’est la logique euclidienne qui a conduit Einstein à la relativité. Et c’est les idéalistes de la Grèce antique de Platon et Aristote qui ont étouffé cet outil fantastique durant des siècles. Einstein obtient les relations par raisonnement logique, mais propose un raisonnement simplifié dans ses conférences qui permet d’arriver au résultat beaucoup plus rapidement. Ce raisonnement est présenté dans les deux transparents suivants. A. A. A. A. 42 42

La relativité restreinte : RR
La loi de constance de la vitesse de la lumière…incline tout d’abord à penser que la notion de temps doit être relative puisque chaque système d’inertie doit avoir son temps particulier. Albert Einstein A. A. A. A. 43 43

Dilatation du temps Pour faire l’étude de la dilatation du temps, on imagine deux observateurs qui vont analyser le temps entre deux évènements ayant lieu dans un wagon. L’un d’eux est dans le wagon et dispose d’une horloge « lumière », horloge spéciale qui génère des tics en mesurant le temps mis par une impulsion lumineuse réfléchie par un miroir et qui parcourt un trajet fixe vertical dans le wagon. On choisit comme premier évènement le départ du rayon lumineux et comme second évènement l’instant de retour du même rayon. L’observateur du wagon peut facilement calculer le temps propre entre les deux évènements du wagon en "lisant" la distance parcourue par le rayon lumineux vertical. On parle de temps propre lorsqu’il s’agit du temps mesuré dans le référentiel des évènements. Le second observateur voit du quai les deux évènements et l’horloge qui se déplace avec le wagon. Il va lire un temps supérieur car pour lui l’horloge lumière émet une impulsion inclinée et non plus verticale. C’est la dilatation du temps due à la vitesse du wagon par rapport au second observateur. Le calcul de la dilatation du temps est donné dans le transparent suivant. A. A. A. A. 44 44

Dilatation du temps A gauche, l’horloge vue par l’observateur du wagon. Pour lui, le temps mesuré entre les deux évènements est celui mis pas la lumière pour monter du sol au plafond (distance w) et se réfléchir jusqu’au sol. On va toutefois raisonner sur la moitié de ce temps appelé tm. A droite, l’horloge vue par l’observateur du quai. Pour lui, l’horloge met plus de temps car elle doit parcourir une distance plus grande : l’hypoténuse du triangle rectangle de hauteur w et largeur vt, v étant la vitesse du wagon par rapport au quai. On en déduit directement, grâce au théorème de Pythagore, le coefficient γ de dilatation du temps. γ est supérieur ou égal à 1. Attention : la dilatation du temps en fonction de la vitesse ne s’applique que pour un parcours rectiligne et sans accélération. Dans le cas des satellites GPS qui gravitent autour de la terre on est dans le cadre de la RG. La vitesse ralentit les horloges embarquées de 7 µs par jour, tandis que la diminution de gravité les accélère de 45 µs par jour. Le bilan est donc une accélération de 38 µs par jour des horloges, effet inverse de celui attendu par la RR ! A. A. A. A. 45 45

Contraction des longueurs Par réciprocité, la vitesse vue du repère fixe est la même que celle vue du repère mobile, donc : On peut en déduire Comme la vitesse du quai vue du wagon est la même que la vitesse du wagon vue du quai, la longueur de tout objet mobile doit se contracter en fonction inverse de la dilatation du temps. Ainsi, l’observateur du quai voit le wagon mobile raccourci du facteur γ de dilatation du temps. La longueur de tout objet est plus courte que sa longueur au repos vu d’un l’observateur mobile par rapport à cet objet. A. A. A. A. 46 46

Dilatation du temps et contraction des longueurs Soit un muon de demi-vie 2,5 µs formé à m d’altitude et allant jusqu’au sol à la vitesse de 0,99c On peut en déduire la distance qu’à parcourue par le muon La demi-vie du muon vue du sol devient : Les assertions d’Einstein résolvaient le paradoxe dit des « équations de Maxwell », mais n’ont pas reçu d’autre preuve immédiate. Ce qui explique qu’il n’ait pas reçu de prix Nobel pour ce travail. Le résultat de ces travaux ne s’est que peu étendu autour de l’Allemagne. Une preuve indiscutable a été obtenue bien plus tard avec des muons qui se forment dans la haute atmosphère vers m suite au choc de rayons cosmiques avec les molécules de l’atmosphère. La demi-vie de 2,5 µs de ces particules ne devrait pas leur permettre – sauf exception – d’arriver jusqu’au sol avant désintégration, ce que contredit l’expérience. La RR explique le paradoxe. Le facteur γ pour ces particules est d’environ 7. De leur point de vue elles ne parcourent que 2116 m, distance à laquelle elles ne se sont pas encore – en général – désintégrées. Vu du sol, en raison du facteur γ, la durée de demi-vie est passée de 2,5 µs à 17,7 µs, temps suffisant pour que les particules puissent rejoindre le sol avant désintégration, CQFD. Le cas extrême est le photon qui se déplace exactement à la vitesse de la lumière. Pour lui, tous les temps et les distances sont nuls. De son point du vue la traversée de l’univers prend un temps nul et la distance parcourue est nulle aussi. Cela explique accessoirement la stabilité du photon ; il ne peut pas se désintégrer puisqu’il n’en a pas le temps ! Cela explique aussi la portée infinie des ondes radio et de la lumière. A. A. A. A. 47 47

Notion d’espace-temps En mécanique euclidienne Le temps est un invariant La longueur est un invariant ou En mécanique relativiste Il n’y a plus de temps ni de longueur universelle l’espace-temps est un invariant On distingue les évènements σ de type longueur et ceux τ de type temps. Les évènements sont définis par des quadrivecteurs. La simultanéité dépend du référentiel Le problème posé par la RR est que les temps et les longueurs n’ont plus de valeur fixe (ils ne sont plus invariants). Leurs valeurs dépendent du référentiel. Deux évènements simultanés dans un référentiel ne le sont plus dans un autre. Par contre, un nouvel invariant apparait - qu’on appelle en RR évènement -. Il s’agit en fait de couples d’évènements. Ces évènements sont une combinaison de temps et longueur. On distingue deux types d’évènements : les évènements de type longueur et les évènements de type temps selon que c’est l’un ou l’autre paramètre qui domine. Dans le cas d’un évènement type temps, il existe un référentiel dans lequel les deux évènements ont lieu au même endroit. On mesure dans ce référentiel le temps propre entre les deux évènements. Dans le cas d’un évènement type longueur, il existe un référentiel dans lequel les deux évènements sont simultanés. On mesure dans ce référentiel la distance entre les deux évènements. Un évènement est défini par un quadrivecteur. Le premier paramètre est le temps et les suivants les trois longueurs selon les trois directions classiques de l’espace. Comme en ne peut plus séparer espace et temps, on parle d’espace-temps. Cette notion d’espace-temps a été caractérisée et mise en équation par Hermann Minkowski, professeur de mathématiques d’Einstein qui a défini l’hyperespace de dimension quatre. On notera que dans cet espace le temps est multiplié par la vitesse c ; il s’exprime alors en mètre temps, ce qui rend les quatre dimensions homogènes. On remarquera aussi que le temps dans cette conception est imaginaire car il a un carré négatif. A. A. A. A. 48 48

Masse et énergie Equation issue de la combinaison de la RR et des équations de Maxwell Masse et énergie sont équivalents La masse n’est pas une constante Tout apport d’énergie (vitesse, énergie de liaison, chaleur, etc.) augmente la masse. En relativité on raisonne en général en terme d’énergie et on oublie la notion de masse trop simpliste. La RR a un effet secondaire très important. Il a fallu à Einstein plusieurs mois après la première publication pour le mettre en évidence. Lorsqu’on accélère une masse pour lui donner de l’énergie cinétique, cela devient d’autant plus difficile qu’on s’approche de la vitesse de la lumière. A la limite, même en fournissant une énergie infinie, il est impossible d’atteindre la vitesse de la lumière ; sauf avec une particule de masse nulle, c’est-à-dire un photon. On peut considérer que la masse augmente proportionnellement au coefficient γ, mais en relativité on préfère renoncer à la notion de masse. Le raisonnement permet d’établir qu’il y a équivalence entre masse et énergie. Il est alors plus simple de ne plus raisonner qu’en fonction de l’énergie. Cela permet de prendre en compte naturellement la variation de la masse avec l’énergie accumulée. Grâce à la physique corpusculaire on a vérifié qu’une énergie peut se transformer en matière et réciproquement. Les bombes atomiques ont également fait cette démonstration, mais dans un sens unique ! A. A. A. A. 49 49

Preuves de la théorie Pas de preuve initiale, donc pas de prix Nobel Muons Horloges atomiques des GPS Les accélérateurs de particules démontrent chaque jour la validité de la théorie. Le magnétisme est une conséquence directe de la relativité La relativité démontre l’existence du magnétisme Aujourd’hui la validité de la RR est largement démontrée. La preuve la plus directe est le décalage des horloges atomiques dans les satellites GPS. Les accélérateurs de particules démontrent tous les jours la validité de la RR car tout s’y passe à une vitesse très proche de celle de la lumière et avec des énergies énormes. Une preuve indirecte mais énorme, passée inaperçue au début est l’existence du champ magnétique. Il a été démontré que le champ magnétique ne pouvait pas exister dans un univers euclidien (il n’a pas de source). Le champ magnétique résulte directement de la relativité. Quand la vitesse d’un système augmente, le champ électrique se transforme au fur et à mesure en champ magnétique et réciproquement. A la vitesse de la lumière le champ magnétique est devenu électrique et réciproquement ! Avec le formalisme des tenseurs, le champ magnétique apparait automatiquement. S’il n’avait pas été découvert avant, la RG l’aurait mis en évidence. A. A. A. A. 50 50

La relativité générale : RG
Concepts de la RG L’idée de départ est de prendre en compte les référentiels accélérés. Einstein considère que la masse inertielle et la masse gravifique sont une seule et même chose. Donc la gravité n’existe pas, c’est simplement l’espace- temps qui est déformé par les masses. Un objet suit une géodésique de l’espace-temps courbe entre deux points, c’est tout. La RG est l’extension de la RR qui prend en compte les référentiels accélérés et la gravité. La RR ne traitait que des référentiels inertiels où aucune gravité n’existait. L’intégration de la gravité permet de prendre en compte le mouvement des étoiles, planètes et autres objets spatiaux. Par contre, la RG est typiquement trop compliquée pour traiter les objets terrestres. La RG se base sur les concepts suivants : la gravité en tant que telle n’existe pas, elle est assimilable à une accélération. La matière-énergie détermine la chronogéométrie de l'espace-temps. L’espace-temps est donc déformé par la matière-énergie. Tous les objets suivent des géodésiques de cet espace courbe. (N. B. : selon jacques Fric de la SAF, Einstein n’aurait définitivement adopté l’idée de l’espace courbe que vers 1913) Une géodésique peut être définie comme le chemin le plus court entre deux points d’un espace courbe (grand cercle sur la terre), ou comme le chemin naturel de moindre effort. En ce qui concerne la représentation de la déformation de l’espace-temps, T. Damour critique l'image classique qui traîne dans de nombreux ouvrages ou articles, à savoir : Celle d'une balle massive posée sur une toile élastique, et la déformant sous son poids ... [Cette image] suggère que la déformation de la toile ne peut se penser que comme une courbure dans un espace extérieur à la toile, et aussi que cette déformation n'existe que grâce à un champ gravitationnel extérieur s'exerçant sur la balle. Or, justement, ce qui fait tout le sel de la théorie d'Einstein, c'est que la déformation de l'espace-temps est une affaire purement interne à cet espace-temps, et n'a pas besoin de dimensions extérieures pour être pensée. Contrairement à la RR, la RG a été immédiatement prouvée par précession du périhélie de Mercure et en 1919 par déviation de la lumière par le soleil. Ceci a définitivement assis la réputation d’Einstein. L’exploitation de la RG se passe en deux temps : dans un premier temps on fait le bilan des énergies (qui représentent les masses) que l’on représente sous forme de champ dans l’espace-temps. On en déduit la déformation de cet espace-temps. Dans un second temps on utilise une méthode de calcul de géodésique, par exemple en cherchant de proche en proche le chemin de moindre action. Malheureusement, on est typiquement face à des équations différentielles insolubles. Il faut donc faire appel à l’informatique. Mais c’est beaucoup plus compliqué qu’en mécanique newtonienne, d’abord parce que les équations sont beaucoup plus complexes et ensuite parce qu’on est dans l’hyper-espace. Dans ce cas, si on divise chaque dimension par 1000 unités, on se retrouve face à 1000x1000x1000x1000, c’est-à-dire face à un billion d’hyper-volumes élémentaires. Avec dix équations différentielles non linéaires à résoudre au lieu de trois équations linéaires ! Grille de calcul de plusieurs milliers de serveurs indispensable ! A. A. A. A. 51 51

Concepts de la RG : exemples de trajectoires Avant d’aller plus avant dans la RG, une petite étude de cas mérite d’être faite pour fixer quelques idées. Imaginons un ballon envoyé de A à B (distance 10 m) à la vitesse de 5 m/s (partie gauche de la figure). Le ballon suit une trajectoire parabolique de 5 m de hauteur. Supposons maintenant un fusil qui tire une balle également de A à B. La vitesse est cette fois de 500 m/s et la hauteur de la trajectoire de 0,5 mm. Selon la RG, les deux allant du point A au même point B devraient suivre une géodésique, donc la même trajectoire, or ce n’est pas le cas. Pourquoi ? Une erreur fondamentale a été commise. La RG s’entend dans l’espace-temps à quatre dimensions. Il faut donc intégrer le temps. Ici c’est facile car le mouvement est en deux dimensions. On peut donc attribuer la troisième au temps (voir la partie droite de la figure). Pour que ce soit cohérent, il faut la même échelle pour le temps que pour les longueurs. Pour obtenir ceci on multiplie le temps par la vitesse de la lumière, on obtient donc une longueur. Un mètre correspond à 3,33 ns ; on parle de mètre-temps comme on parle d’année lumière. En RG les distances d’expriment en années et les temps en mètres… En refaisant le graphe des trajectoires, on s’aperçoit que la balle et le ballon ne vont plus du tout au même endroit. Le ballon va à 6000 km tandis que la balle va à km. Il est donc normal que les trajectoires ne se superposent pas. Accessoirement on peut observer que les trajectoires ont des rayons de courbure d’environ une année lumière ; il s’agit donc de droites presque parfaites. A. A. A. A. 52 52

Equivalence gravité-accélération Une accélération dans l’espace intersidéral crée le même effet qu’être immobile à la surface de la terre. Etre au repos dans l’espace intersidéral crée le même effet que de tomber vers la terre. Donc la gravité n’existe pas, c’est simplement une déformation de l’espace-temps. Selon la RG, la gravité n’existe pas, il s’agit d’une déformation de l’espace-temps. Selon Einstein, gravité et accélération sont une seule et même chose, c’est ce qui explique qu’on n’ait jamais pu distinguer la masse inertielle de la masse grave. Pour justifier ses affirmations, Einstein a utilisé selon son habitude une expérience de pensée. Un observateur est placé dans une cage d’ascenseur sans hublot. Il ne peut pas distinguer gravité et accélération comme montré dans la figure. C’est parce qu’il n’y a pas de différence. A. A. A. A. 53 53

La théorie de la relativité générale, fondée sur l’égalité de l’inertie et de la pesanteur, permet aussi une théorie du champ de gravitation. Albert Einstein A. A. A. A. 54 54

Equivalence gravité-accélération : démonstration L’expérience de Pound-Rebka à l’université de Harvard en a démontré le décalage vers le bleu d’une onde électromagnétique dirigée vers le sol. On a mesuré le décalage vers le bleu des rayons gamma émis par du 57FE vers le sol d’une tour de 22,5 m de hauteur. L’effet était conforme à celui prévu par la RG. L ’équivalence accélération/gravité a été montrée par une expérience de pensée : un ascenseur soumis à la gravité. Dans cette même situation, une source de photons émis par le plafond de la cage d’ascenseur placée à la surface de la terre doit être accélérée en s’approchant du plancher de l’ascenseur, ce qui doit être perceptible. Tout se passe comme si la cage était accélérée vers le haut. Donc les photons touchent dans ce cas un sol qui remonte, on a donc un effet Doppler qui fait décaler la fréquence vers le bleu si on fait la mesure sur le plancher de la cage d’ascenseur. L’expérience a été réalisée avec succès dans une tour de 22,5 m de haut à l’université de Harvard en 1959 par Pound et Rebka en exploitant l’effet Mössbauer ! C’est cette expérience qui a relancée la recherche sur la RG. A. A. A. A. 55 55

Les espaces courbes Gauss ( ) a fait étudier à son étudiant Riemann les espaces courbes, c’est-à-dire ceux qui ne respectent pas le 5ème postulat de la géométrie d’Euclide. Exemple : surface d’une sphère deux méridiens ne restent pas parallèles Le rayon d’un parallèle est égal à son périmètre divisé par π, mais pas si on mesure ce rayon sur la surface de la sphère. Une autre expérience de pensée l’a conduit à faire tourner un observateur autour d’un axe. Ceci crée une force centrifuge, donc une accélération normale à la vitesse de déplacement. En même temps, la vitesse contracte la longueur, donc le périmètre parcouru devient inférieur à 2πR. Ceci n’est pas possible, à moins d’être sur une surface sphérique dont le grand cercle sous-tendant le rayon le rallonge. Conclusion : la gravité (accélération) raccourcissent les longueurs comme la vitesse. Il faut donc que l’espace soit courbe. L’espace courbe de Riemann en est la formulation la plus simple. Sur un espace elliptique comme celui d’une sphère, deux méridiens sont parallèles à l’équateur, mais convergent vers le pôle. On ne peut pas faire passer de parallèle à une droite par un point de l’espace. Le cinquième postulat d’Euclide n’est plus respecté ! Comme déjà signalé, les espaces courbes (non euclidiens) avaient déjà été étudiés par le passé. Riemann, élève de Gauss ( ), a étudié les espaces elliptiques et Lobatchevski ( ) a étudié les géométries hyperboliques (celles où on peut faire passer plusieurs parallèles par un point). A. A. A. A. 56 56

Déformation de l’espace-temps Les géométries courbes de Riemann peuvent s’étendre à l’espace-temps. Einstein considère que l’espace est déformé par la vitesse (conséquence de la RR), les accélérations (ou rotations) et par la gravité (principe d’équivalence). L’utilisation d’un référentiel courbé rend le théorème de Pythagore inapplicable. Les géométries courbes sont souvent décrites sous la forme de la déformation d’une surface plane. Malheureusement, ça ne donne qu’une idée grossière du concept car il ne faut pas oublier qu’en RG on est en dimension 4 et que le temps est déformé comme les autres dimensions. De plus, la déformation est intrinsèque et non extrinsèque. En RG on parle habituellement de chronogéométrie pour préciser qu’on est dans une géométrie incluant le temps. La description 2D fait néanmoins apparaitre le fait que si un objet massif déforme l’espace-temps, un autre objet mobile sous son influence le déforme aussi. La déformation est donc dynamique, ce qui complique énormément les calculs. A. A. A. A. 57 57

Vision plus juste de la déformation de l’espace- temps
La relativité générale : RG Vision plus juste de la déformation de l’espace- temps Les peintures de Vasarely donnent une idée plus exacte de la déformation de l’espace- temps. La peinture est strictement en 2D. Mais elle donne l’impression de relief, c’est-à-dire d’être en 3D Les peintures de Vasarely donnent une idée plus exacte de la déformation de l’espace-temps. La peinture est strictement en 2D, c’est-à-dire un plan, même si la déformation de la grille donne une impression – fausse – de relief. La déformation de la grille n’impose pas le passage dans une dimension supplémentaire dans le cas d’une déformation intrinsèque. A. A. A. A. 58 58

Déformation de l’espace-temps La déformation de l’espace-temps est définie par le tenseur métrique. Le tenseur métrique permet également de calculer les géodésiques. L’équation de champ d’Einstein doit donc servir à trouver ce tenseur. Une des grosses difficultés de principe rencontrée par Einstein est de parvenir à faire les calculs dans un référentiel non cartésien. Les tenseurs fournissent une méthode linéaire pour passer d’un référentiel à un autre quelque soit son type et que l’espace soit plat ou courbe. Le théorème de Pythagore ne s’applique plus dans un référentiel non cartésien (dans un espace plat ou courbe). Mais les tenseurs fournissent l’alternative. Les tenseurs permettent aussi de faire des mesures de distance - et donc de trouver des géodésiques - quelque soit le type de référentiel et d’espace. A. A. A. A. 59 59

L’équation de champ d’Einstein Le tenseur d’énergie-impulsion Tµv impose la courbure de l’espace-temps définie par le tenseur d’Einstein Gµv. Le tenseur d’Einstein Gµv est défini par 10 équations différentielles du second ordre non linéaires… On n’a de solution analytique que pour la sphère isolée et l’univers isotrope… Une trajectoire est une géodésique définie de proche en proche en cherchant la direction de moindre action. Les tenseurs en RG sont définis par une lettre et des indices (hauts, bas ou mixtes). Chaque indice peut prendre quatre valeurs (les axes de l’hyperespace). Ainsi Gμν définit un tenseur (tenseur d’Einstein) donc une matrice 4x4. Ce tenseur a donc 16 paramètres, mais seulement 10 différents car la matrice est symétrique. Chaque paramètre donne une équation différentielle du second ordre non linéaire. Les indices bas indiquent un tenseur covariant. Si les indices avaient été en haut, on aurait eu affaire à un tenseur contravariant. gμν est le tenseur métrique, il remplace le théorème de Pythagore et règle le changement de référentiel. Il sert ici à répartir la constante cosmologique sur le tenseur d’Einstein Gμν. En fait, il est l’élément central de la théorie, car le tenseur d’Einstein Gμν est lui-même indirectement une combinaison des dérivées premières et secondes du tenseur métrique. Le tenseur Tμν contient aussi bien l’énergie que l’impulsion et les tensions. L’ensemble permettant de calculer une énergie indépendante du référentiel. On peut interpréter l’équation dans les deux sens : de gauche à droite : la courbure de l’espace-temps induit un mouvement des énergies (ou masses). de droite à gauche : les masses (ou énergies) courbent l’espace-temps. Selon Fabien Dournac : D'une part, on sait que l'espace-temps euclidien peut exister dans la nature à grande distance de toute matière exerçant une attraction gravitationnelle. Les équations cherchées doivent donc conduire à une gravitation nulle, donc une courbure nulle, lorsque les coordonnées tendent vers l'infini. D'autre part, il faut que les équations chrono-géométriques permettent de retrouver la gravitation newtonienne en présence de champs peu intenses. De plus, le champ de gravitation et la matière doivent ensemble satisfaire à la loi de conservation de l'impulsion-énergie. Les conditions précédentes ainsi que les grands principes de base, si vagues en apparence, sont suffisantes pour déterminer d'une manière presque univoque les équations cherchées. Les équations d'Einstein s'appliquent à tous les problèmes dans lesquels intervient la gravitation ; chute des corps, orbites des planètes et des satellites naturels ou artificiels, mouvement des étoiles dans une galaxie, des galaxies dans un amas, etc. Ces équations permettent d'envisager une cosmologie non pas fondée sur des hypothèses hasardeuses mais comme une étude de l'espace-temps dans l'ensemble de l'Univers. Il est remarquable que la théorie des champs de gravitation édifiée sur la base de la théorie de la relativité générale ait été construite par Einstein par voie purement déductive. C'est seulement par la suite qu'elle a été confirmée par des test tirés d'observations astronomiques. A. A. A. A. 60 60

L’équation d’Einstein : le tenseur énergie-impulsion On retrouve en ligne et en colonne le quadrivecteur d’énergie-impulsion. T00=énergie T01-T03 = quantité de mouvement On retrouve dans les composantes spatiales l’équivalent d’un tenseur de contraintes. T11, T22, T33 = pression T13, T13, T23 = cisaillement Les composantes spatiales peuvent servir aux effets électromagnétiques. Selon Sean M. Carroll, une définition générale de Tmn est le flux de la quadri-impulsion pm à travers une surface définie par xn constant. A. A. A. A. 61 61

L’équation d’Einstein : Tenseurs d’Einstein, de Ricci et courbure scalaire Rµν = tenseur de Ricci. Définit la courbure de l’espace-temps : contraction du tenseur de Riemann. Il contient les 10 paramètres de variation de l’hyper-volume du référentiel local et il est suffisant pour déterminer la géodésique. R = courbure scalaire : contraction du tenseur de Ricci. gµν = tenseur métrique de passage des coordonnées courbes vers les coordonnées plates Le tenseur d’Einstein se décompose en deux parties : un tenseur de courbure de l’espace temps Rµν appelé tenseur de Ricci (du nom de son inventeur). Ce tenseur est une contraction du tenseur de courbure de Riemann. un tenseur construit à partir de la courbure scalaire R de l’espace-temps et du tenseur métrique gμν . Le tenseur de Riemann (d’ordre 4) est défini par des symboles de Christoffel, combinaisons de dérivées partielles premières et secondes du tenseur métrique. Le tenseur de Ricci (d’ordre 2) est obtenu par contraction du tenseur de Riemann. Le tenseur de Riemann contient 20 paramètres non nuls, alors que le tenseur de Ricci n’en contient que 10. Il y a donc perte d’information dans la contraction. A. A. A. A. 62 62

L’équation d’Einstein : le tenseur de Riemann Définit la courbure de l’espace-temps S’obtient par le résultat du transport parallèle d’un vecteur sur une surface infinitésimale Résulte de la combinaison de symboles de Christoffel Le tenseur de Riemann contient les 20 paramètres qui définissent entièrement la courbure de l’espace-temps. Il est le résultat du transport parallèle d’un vecteur sur des surfaces infinitésimales locales. Il s’obtient par combinaison de symboles de Christoffel (connexions de Levy-Civita), dérivées partielles locales du tenseur métrique. Autrement dit, le tenseur métrique définit l’espace-temps. Le tout est donc de trouver une métrique qui correspond au tenseur d’énergie-impulsion… A. A. A. A. 63 63

Un exemple en 2D : sous un coin du voile… Les trois composantes indépendantes du tenseur de Ricci dans le cas d’un système à coordonnées sphériques en deux dimensions particulier… On peut noter que les trois composantes du tenseur sont bien des dérivées partielles du premier et second ordre comme prévu ; et avec des composantes non linéaires. Cela permet de bien appréhender ce que certains entendent par complexité diabolique. Heureusement, les ordinateurs ne sont pas effrayés lorsqu’il s’agit de faire des billiards d’opérations. A. A. A. A. 64 64

Un exemple en 2D : suite A. A. A. A. 65 65

Un exemple en 2D : suite et fin A. A. A. A. 66 66

Les trous noirs Cygnus X-1 1er candidat trou noir Karl Schwartzschild ( ) trouve la première solution à l’équation de champ d’Einstein pour les corps sphériques sans rotation. A partir d’une certaine densité de matière, même la lumière de passage est absorbée si elle passe la ligne d’horizon. C’est le trou noir. En 1963 Roy Kerr trouve la solution analytique pour le trou noir en rotation. Le trou noir est une prédiction fondamentale de la RG pas encore universellement admise dans le modèle standard de la cosmologie. Les trous noirs avaient été envisagées du temps de la mécanique newtonienne en étudiant les vitesses des orbites newtoniennes, près d’un siècle avant la RG, mais ils n’avaient aucune base théorique. Lorsque la vitesse d’une orbite autour d’une étoile dépassait celle de la lumière on pensait que l’étoile orbitante devenait sombre. La RG fournit la base théorique aux trous noirs, mais les trous noirs sont restés du domaine de la théorie jusqu’en 1964 et ne sont pas encore universellement reconnus en 2015. La wikipédia à propos de Cygnus X1 : En 1965, les premières observations dignes d'intérêt eurent lieu : une étoile (HD ) fut repérée dans le ciel, en orbite autour d'une source de rayons X. On appela ce système binaire présumé Cygnus X-1 (1re source X répertoriée dans la constellation du Cygne). Un peu plus tard, en 1971, Tom Bolton identifia Cygnus X-1 comme un trou noir, en utilisant le télescope de l'observatoire David Dunlap à l'université de Toronto au Canada. En 1971, le satellite Uhuru permit de déterminer avec précision la période de révolution : 5,6 jours. Ainsi fut précisé la valeur de 6 masses solaires comme masse minimale pour le corps invisible. Cette valeur est au-dessus de la masse limite maximale pour les étoiles à neutrons, et est donc considérée comme la "preuve" que l'objet compact de Cygnus X-1 est un trou noir. L’absorbsion en direct d’une étoile par un trou noir vient d’être observée en 2015. A. A. A. A. 67 67

Les trous noirs On n’a jamais pu observer de trou noir qu’indirectement (rayonnement X et radio (quasars), orbites rapides, disques d’accrétion lumineux). On distingue les trous noirs stellaires, intermédiaires et super massifs situés au centre de certaines galaxies. Un trou noir est d’autant plus en déséquilibre avec l’univers qu’il est gros, alors que les trop petits s’évaporent. Les trous noirs peuvent s’absorber mutuellement. Tout finit sous forme d’une énergie infinie au centre du trou noir. Néanmoins, la réalité des trous noirs est aujourd’hui presque totalement acceptée par la communauté scientifique. On a identifié de nombreux candidats de trous noirs stellaires depuis On a aussi identifié des trous noirs supermassifs au centre de nombreuses galaxies, dont la Voie Lactée qui contiendrait un trou noir de plus de quatre millions de masses solaires. De nombreuses étoiles s’y dirigent selon une trajectoire elliptique, dont une à 5000 km/s… L’émission de rayons X, ou dans certains cas de rayons γ, est considérée comme l’indice de la présence d’un trou noir. De nombreux physiciens estiment maintenant que les quasars sont la région compacte qui entoure un trou noir supermassif. Ces trous noirs auraient une masse de l’ordre de un milliard de masses solaire. 3C 273 (magnitude apparente de 12,9) est le seul quasar à portée des télescopes d’amateur. Sa vitesse de récession est de km/s. Selon la wikipédia : Un quasar (source de rayonnement quasi-stellaire, quasi-stellar radiosource en anglais, ou plus récemment « source de rayonnement astronomique quasi-stellaire », quasi-stellar astronomical radiosource), qui peut se traduire en français par presqu'étoile, est une galaxie très énergétique avec un noyau galactique actif. Les quasars sont les entités les plus lumineuses de l'univers. Bien qu'il y ait d'abord eu une certaine controverse sur la nature de ces objets jusqu'au début des années 1980, il existe maintenant un consensus scientifique selon lequel un quasar est la région compacte entourant un trou noir supermassif au centre d'une galaxie massive. Leur taille est de 10 à 10 000 fois le rayon de Schwarzschild du trou noir. Leur source d'énergie provient du disque d'accrétion entourant le trou noir. Selon B. Schutz : Since quasars were much more plentiful in the early universe than they are today, it seems that these ultra-massive black holes had to form very early, while their more modest counterparts like that, in the Milky Way might have taken longer. This suggests that the black holes in quasars did not form by the growth of holes like our own; this is another of the unanswered questions about supermassive black holes. A. A. A. A. 68 68

Preuves de la théorie A sa publication, la théorie a permis d’expliquer la précession de 43" par siècle du périhélie de Mercure, inexpliquée pendant 60 ans. En 1919 Eddington vérifie la déviation des rayons lumineux par le soleil de 1,7" d’arc prévu par la théorie. De nombreuses autres preuves ont été trouvées depuis. La précession de l’orbite de Mercure était un mystère insoluble depuis des décennies. La RG prévoit cette précession. Ceci a immédiatement donné à la RG les lettres de noblesse qui manquaient à la RR. En 1919, lors d’une éclipse solaire, on a pu vérifier la déviation des rayons lumineux par le soleil prévue par la RG. Cette seconde preuve a définitivement assis la réputation de la théorie. Il y a eu ensuite en 1925 la mesure du décalage spectral gravitationnel vers le rouge, dans les naines blanches. Ensuite la théorie est passée dans l’ombre, pour revenir peu à peu à la lumière avec la théorie du Big Bang déduite de la détection de la récession des galaxies en 1929, et surtout les nombreuses preuves établies à partir des années 50. En fait, principalement après le décès d’Einstein… A. A. A. A. 69 69

En 2005 la sonde spatiale Gravity Probe B démontre l’effet d’entrainement de la rotation de la terre. C’est la preuve de l’existence du gravitomagnétisme. Preuves de la théorie De nombreuses preuves étayent maintenant régulièrement la théorie. Une des plus poussée est la vérification de l’existence du gravitomagnétisme (effet Lense-Thirring) – correspondant du magnétisme dans le domaine de la gravité – établie par la sonde spatiale Gravity Probe B en 2005. On notera au passage que si les GPS sont obligés d’avancer leurs horloges à cause de la RR de 7 µs/j, ce qui prouve la justesse de cette théorie, ils sont aussi obligés d’ajouter une correction en sens inverse de 45 µs/j pour tenir compte de la diminution de la gravité avec l’altitude, phénomène prévu par la RG, et qui démontre la validité de cette dernière théorie. A. A. A. A. 70 70

Preuves de la théorie Les nombreuses lentilles gravitationnelles trouvées sont autant de preuves de la validité de la RG. La preuve la plus spectaculaire de la RG est probablement la découverte des lentilles gravitationnelles prévues par la théorie. Elles ont fait l’objet d’innombrables photographies plus spectaculaires les unes que les autres. A. A. A. A. 71 71

La cosmologie Nécessité de supercalculateurs
La cosmologie – basée principalement sur la RG – ne peut pas se contenter des rares solutions analytiques obtenues. Elle doit exploiter les solutions numériques. La résolution numérique est très lourde : 6 équations différentielles du second ordre non linéaires à traiter. Il faut faire le calcul dans un espace de dimension 4, c’est-à-dire avec typiquement : 1000x1000x1000x soit mille milliards de points de l’hyperespace. Aucun ordinateur hormis les très grosses grilles de calcul ne peuvent faire ça, même avec des approximations. La cosmologie (scientifique) – étude du cosmos -, a réellement décollé en 1929 lors de la rencontre entre Einstein et Hubble, lorsque ce dernier a pu montrer dans le télescope Hooker de 2,5 m la récession (éloignement) des galaxies. Depuis la RG est restée indissociable de la cosmologie et n’a pu trouver d’application dans aucun autre domaine. Malheureusement, du fait de sa complexité, on n’a pas l’exploiter que très partiellement durant le reste du XXème siècle. On ne commence à en extraire la quintessence que depuis le XXIème siècle avec l’avènement des très grosses grilles de calcul ( PC ou plus en parallèle). A. A. A. A. 72 72

Expansion de l’univers
La cosmologie Expansion de l’univers La valeur de la constante cosmologique implique que l’univers est parti d’un point d’énergie gigantesque ayant explosé. Big Bang ! L’univers aurait 13,77 milliards d’années L’expansion s’accélère à cause de l’énergie sombre négative. L’expansion de l’univers est induite par la RG. Le Big Bang en est l’origine. L'article fondateur de la cosmologie non-statique est publié en juin Friedmann y décrit trois types d'évolution dans le temps de l'Univers, impliquant notamment une singularité initiale. Selon Jacques Fric de la SAF : pas sectaire, en 1927 Einstein attirera l'attention de Lemaitre [qui vient de trouver une solution exacte pour un univers en expansion] sur les travaux de Friedmann. Il s'accrochera à sa solution statique jusqu'en 1929, jusqu'à ce que Eddington [observateur de l’éclipse solaire de 1919] montre que la solution statique est instable et que la moindre fluctuation de paramètres la fait diverger [en 1927]. Et aussi que les observations de Hubble de 1925 mettent en évidence que l'univers est plus étendu qu'on ne le pensait. (autres nombreuses galaxies et le décalage vers le rouge..) On suppose qu’au départ il n’y avait que de l’énergie concentrée en un point qui a éclaté en fines gouttelettes d’énergie gélifiée ; les particules élémentaires. Les particules ont ensuite formé des atomes, puis des molécules…pour former finalement des étoiles, des galaxies et en fin de compte notre univers. A. A. A. A. 73 73

La cosmologie Big Bang Après 1µs les premières particules (protons) se forment, suivies par bientôt par les atomes d’hydrogène (au bout de 1 centième de seconde). Après ans l’univers devient transparent et observable. Les étoiles et galaxies peuvent se former. Les premières particules sont apparues après environ 1 µs dans une soupe dense et opaque. Ces particules sont restées – en raison de l’opacité - en équilibre thermique avec les photons ; particules les plus élémentaires. Après ans l’univers est devenu transparent, laissant s’échapper les photons. Les premiers atomes - exclusivement de l’hydrogène - se sont regroupées en étoiles qui ont permis l’obtention d’hélium grâce à la fusion nucléaire. Ce n’est que l’explosion de ces étoiles (supernovae) qui ont permis la production d’atomes plus lourds. Nous sommes le résultat de la répétition de ce processus. On peut remarquer accessoirement que l’infiniment grand a rejoint l’infiniment petit. Selon Jacques Fric de la SAF : dans l'expansion de l'univers, conséquence de la RG, (Il n'y a pas de solution statique stable) ce ne sont pas les galaxies qui s'éloignent les unes des autres par rapport a un cadre spatial de référence (référentiel), mais que c'est ce cadre spatial qui gonfle. Ce qui fait que deux points éloignés peuvent avoir une vitesse de récession bien supérieure à la vitesse de la lumière, des dizaines voire des centaines de fois, (en particulier au début quand la constante de Hubble avait une valeur très élevée) sans que cela viole en quoi que ce soit le principe qui dit qu'on ne peut pas dépasser la vitesse de la lumière (par rapport au cadre spatial). A. A. A. A. 74 74

La cosmologie Fond diffus cosmologique
Le fond diffus cosmologique est un rayonnement électromagnétique de corps noir à 2,7 °K prévu par la théorie du Big Bang. L’homogénéité de la température implique la période d’inflation. Sans l’inflation, l’expansion de l’univers plus lente aurait provoqué une hétérogénéité beaucoup plus forte. Les photons échappés lorsque l’univers est devenu transparent forment ce qu’on appelle aujourd’hui le fond cosmologique diffus. Sa grande homogénéité observée implique l’inflation (à environ 1000 fois la vitesse de la lumière) ; expansion accélérée du début de la formation de l’univers. Sans l’inflation, l’hétérogénéité de la température du fond cosmologique serait beaucoup plus grande. La vitesse du soleil par rapport au fond diffus cosmologique est d’environ 270 km/s. La direction de la vitesse donne une idée de la direction du centre initial de notre univers observable. Selon la wikipédia : Le scénario du Big Bang explique pourquoi nous pouvons observer le FDC aujourd'hui, alors que le passage de l'univers à la transparence est un événement temporellement ponctuel. Comment se fait-il que les photons du FDC atteignent la Terre précisément aujourd'hui afin que nous puissions les observer ? L'explication est que les photons du FDC sont présents en tout point de l'Univers primordial et que celui-ci, bien que plus dense que l'Univers actuel, était également très étendu spatialement (la question de savoir si l'univers est ou n'est pas spatialement infini n'est pas encore résolue à l'heure actuelle). Dans ces conditions, il existe toujours, centrée autour de notre planète, une sphère où des photons FDC ont été diffusés à l'époque de la transparence. C'est pourquoi le rayonnement FDC a toujours été, et sera toujours, observable. Selon Jacques Fric de la SAF (en 2002) : par exemple, dans l'hypothèse d'un univers de densité critique, les photons du RFC que nous captons maintenant ont été émis à T ans, lorsque le facteur d'échelle "e" de l'univers était de 1/1000 , la constante de Hubble ** valait 2,1 millions de km/s par méga parsec ( fois sa valeur actuelle) ce qui veut dire que deux objets distants de a.l avaient une vitesse de récession égale à "c". Comme le point qui dans le futur (après expansion) allait abriter la terre était distant de 29 Millions d'années lumière à cette époque, la vitesse de récession était supérieure 60 "c". Ce qui fait qu'ils ont commencé à s'éloigner emportés par l'expansion , avant de commencer à se rapprocher lorsque le rythme d'expansion s'est ralenti. Ils sont aujourd'hui distant de 29 milliards d'années lumière (facteur d'échelle de1000). N'oublions pas le facteur 3 entre l‘âge de l'univers T ***et sa dimension**** liée à l'expansion: facteur d'échelle***** e = (t/ta)2/3 qui implique D (Gal)= 30 (1-e1/2 ) et d= e.D avec D distance actuelle à la réception de la lumière, d distance au moment de l'émission de la lumière Aujourd'hui toutes les galaxies situées à plus de 15 milliards années lumière ont une vitesse de récession supérieure à "c", ce qui ne veut pas dire qu'on ne verra pas, en particulier si la densité est critique car l'expansion ralentit. **H crit= (8πGρ/3)1/2 ***Age de l'univers T = 2/3Hcrit ****avec comme conséquence que l'horizon s'accroît plus vite que la taille de l'univers s'il est critique ( on en voit une partie de plus en plus grande, la limite étant la brume cosmique avant le découplage pour la lumière. *****Pendant l'ère radiative cette loi était : e= (t/ta)1/2 A. A. A. A. 75 75

Ondes gravitationnelles
La cosmologie Ondes gravitationnelles Prévues par la RG. Une preuve indirecte est fournie par la perte d’énergie du pulsar binaire PSRB découvert en 1974. La mission ELISA devrait permettre d’en observer directement. Les recherches actuelles sont fortement axées vers les ondes gravitationnelles prévues par la RG et dont on a vérifié indirectement en 1974 l’existence par la perte d’énergie du pulsar binaire PSRB La mission spatiale européenne ELISA (Evolved Laser Interferometer Space Antenna) devrait les détecter. Elle sera opérationnelle en Le lancement du satellite Pathfinder devant valider les technologies retenues a eu lieu le 2 décembre 2015 Des détecteurs terrestres existent depuis de nombreuses années, mais trop peu sensibles dans les basses fréquences, ils n’on rien pu détecter. A. A. A. A. 76 76

La cosmologie Matière noire
Les étoiles extérieures des galaxies devraient être rejetées par la force centrifuge. On pense que c’est de la matière noire qui garantit la cohésion des galaxies. La matière noire qui représente 27 % de l’énergie de l’univers est qualifiée de WIMPS actuellement. Elle reste à découvrir ! La cosmologie a du affronter un problème majeur. Les étoiles à l’extrémité des bras des galaxies tournent trop vite. Elles devraient être éjectées par la force centrifuge. La solution du problème acceptée par le modèle standard consiste à dire qu’il y a de la matière indétectable (non baryonique) qui assure la cohésion des galaxies. On nomme aujourd’hui cette matière WIMPS pour « Weakly Interacting Massive Particles ». On n’a aucune idée aujourd’hui de ce à quoi peuvent ressembler ces particules. Il ne faut pas confondre la matière noire avec l’énergie sombre. L’énergie sombre est une énergie négative qui agit en sens contraire de la matière noire. Elle est prévue par la RG. Elle est l’explication de l’accélération de l’expansion de l’univers. Ensemble, ces deux énergies représenteraient 95 % de l’énergie de l’univers. Selon B. Schutz it appears that most of the matter in the universe is in an unknown form, which physicists call dark matter because it radiates no light. Even more strangely, the universe seems to be pervaded by a relativistic energy density that carries negative pressure and which is driving the expansion faster and faster; physicists call this the dark energy. The mysteries of dark energy and of inflation may only really be solved with a better understanding of the laws of physics at the highest energies, so theoretical physicists are looking more and more to astronomical answers for clues to better theories. Modern cosmology is already providing answers to some of these questions, and the answers are becoming more precise and more definite at a rapid pace. A. A. A. A. 77 77

La cosmologie Rotation de l’univers
Si l’univers est en rotation à la vitesse de rad/an : Cela explique naturellement que les galaxies forment des bras spirale, et explique aussi la formation des murs de galaxies. Dans les travaux récents, on peut noter l’étude de l’effet d’un univers en rotation. Phénomène capable d’expliquer de nombreuses observations. A. A. A. A. 78 78

La cosmologie Défauts de la théorie
Il y a un fort déficit de pulsars au centre de notre galaxie. Il y a une émission de rayons X inexpliquée dans le milieu interstellaire. Les géantes rouges oscillent beaucoup trop dans la galaxie. Les galaxies se déplacent trop vite. Le bulbe des centres de galaxie est anormalement petit. Les galaxies naines sont anormalement alignées. Certains amas de galaxies sont anormalement grands. Les étoiles à neutrons émettent d’étranges bouffées d’ondes radio. Les nuages de gaz sont trop brillants. Etc. La RG a prouvé sa validité et est à l’origine du modèle standard de la cosmologie, mais elle nécessiterait d’être appliquée de façon beaucoup plus générale et intensive pour expliquer un certain nombres d’observations inexpliquées par le modèle cosmologique actuel. Selon la wikipédia : En cosmologie le modèle ΛCDM (prononcer « Lambda CDM », pour Lambda Cold Dark Matter) désigne un modèle cosmologique représentant un univers homogène et isotrope, dont la courbure spatiale est nulle, et qui contient de la matière noire et de l’énergie sombre en plus de la matière ordinaire. La lettre grecque Λ est usuellement le symbole de la constante cosmologique, qui est la forme la plus simple d'énergie sombre. Un tel modèle est aujourd'hui considéré comme le modèle cosmologique le plus simple pouvant décrire l’univers observable. Il est à la base du modèle standard de la cosmologie. Comparison of the model with observations is very successful on large scales (larger than galaxies, up to the observable horizon), but may have some problems on sub-galaxy scales, possibly predicting too many dwarf galaxies and too much dark matter in the innermost regions of galaxies. These small scales are harder to resolve in computer simulations, so it is not yet clear whether the problem is the simulations, non-standard properties of dark matter, or a more radical error in the model. A. A. A. A. 79 79

Conclusion générale La cosmologie n’a jamais été autant en effervescence. Les découvertes se multiplient comme les chercheurs, stimulés par l’arrivée de télescopes et d’ordinateurs de plus en plus puissants. Le modèle standard pourrait bientôt évoluer. De plus en plus de chercheurs considèrent que l’univers est nécessairement globalement plat et infini dans l’espace. D’autres recherches et calculs sont en cours pour vérifier si une mise en œuvre plus fine de la RG – supposant un univers hétérogène – ne pourrait pas permettre de se passer de la matière noire. De nombreuses réflexions sont en cours pour essayer de mieux appréhender la constante cosmologique et lui trouver une valeur définitive. Par ailleurs, la matière noire et l’énergie sombre ne sont pas des réponses très satisfaisantes pour corriger la dynamique du cosmos. Des recherches pour trouver d’autres réponses que ces énergies mystérieuses seraient bienvenues. Certains chercheurs mettent en doute le modèle standard et pensent qu’une mise en œuvre plus précise de la RG pourrait démontrer l’inutilité de la matière noire et l’énergie sombre. A. A. A. A. 80 80

Conclusion prospective
Si l’univers est infini dans l’espace, plusieurs univers physiques peuvent alors se partager cet espace. Il peut aussi être infini (en fait cyclique) dans le temps. Il semble de plus en plus clair que l’énergie finit par se regrouper dans des trous noirs de plus en plus massifs, qui pourraient être à l’origine des Big Bang avec un cycle de l’ordre du trilliard d’années. Ces hypothèses nouvelles permettent d’imaginer des scénarios alternatifs. L’internet en propose à foison ! Avec la logique du transparent précédent, on en revient a ce qui a prévalu jusqu’au début du XXème siècle ; à savoir un univers infini dans l’espace et dans le temps ! L’univers pourrait alors être des Big Bangs locaux multiples et répétitifs comme des bulles de savon qui éclatent à la surface de l’eau d’une baignoire. La période de répétition serait de l’ordre du trilliard d’années. A moins qu’on en revienne à l’univers fini dans le temps et l’espace du XXème siècle ? Wait and see ! A. A. A. A. 81 81

Bibliographie abrégée
Jean-Jacques Greif, « Einstein, l’homme qui chevauchait la lumière », L’Archipel 2005. Walter Scheider, « Maxwell’s conundrum, a serius but not ponderous book about relativity », Cavendisch Press Ann Arbor 1996, 2000. Moore, « Relativité Générale », De Boek 2014. E. F. Thaylor, J. A. Wheeler, « Spacetime Physics », Freeman & Company San Francisco. Bernard Schutz, « A first course in General Relativity », Cambridge University Press Albert Einstein, « La théorie de la relativité restreinte et générale », Dunod 2004, Albert Einstein, « Comment je vois le monde », Flammarion 1979. Azar Khalatbari, « Le mystère de la matière noire », Sciences & Avenir, février 2015, pp « Voyage au frontières du superamas Laniakea », Sciences & Avenir, novembre 2014, pp Benoît Rey, Mathilde Fontez, « Les anomalies dans l’univers », Sciences & Vie, avril 2015, pp Li-Xin Li, “Effect of the Global Rotation of the Universe on the Formation of Galaxies” Cornell University Library, 12 Mar 1997. Les ouvrages cités ici sont ceux qui ont été utilisés pour cette présentation. La première biographie est la plus recommandée tout public. Il y a aussi le site de la Société Astronomique de France (SAF du Maitre opticien Jean Texereau) très fourni, mais réservé à un public très averti. Il n’est pas dans la liste car la SAF est un concurrent de la 4A, et on ne va quand même pas faire la publicité d’un concurrent ! Vous pouvez quand même y aller si vous avez été major à l’agrégation de physique, avez été reçu à l’Ecole Normale Supérieure ou taillé un miroir d’au moins 2 m de diamètre à λ/8 comme Texereau. N. B. : le paragraphe précédant est une note d’humour. A. A. A. A. 82 82

Bibliographie multimédia
Wikipédia…Référence multilingue universelle ! Pas toujours facile ! Introduction à la relativité générale : Relativity : Astronomie et astrophysique : Vidéo Théorie de la relativité d'Einstein : La lumière selon Albert Einstein : g_RJXrmeE 10 Things You Didn't Know About Albert Einstein: E=mc² - Une biographie d'une équation d'Einstein : Einstein : De l'enfant rebelle à l’année du miracle, à 26 ans : La wikipédia a fourni la majorité des informations. Elle est très recommandée ! La première vidéo est un documentaire d’ARTE de 30 mn également très recommandé tout public. A partir de Youtube et Daily Motion on trouve de très nombreuses vidéo sur Einstein et la relativité dont quelques unes sont citées ici. A. A. A. A. 83 83

Cours de l’université de Stanford « The Theoretical Minimum »
Multimédia pour les matheux qui veulent approfondir L’équation de champ en 2 heures ! “Einstein Field Equations for beginners” Cours de l’université de Stanford « The Theoretical Minimum » Ce cours de vulgarisation du Pr. Susskind (200 h) couvre l’essentiel de la physique moderne : rappels de maths et mécanique, mécanique quantique, théorie des cordes relativité restreinte et générale. Cours ancienne mode : que des équations mathématiques au tableau, pas de texte ! Le cours de deux heures nécessite un niveau baccalauréat scientifique ancienne mode (sans plus) ou un niveau préparatoire scientifique ou niveau licence scientifique nouvelle mode. La démarche est un peu simplificatrice mais explicite bien le cheminement logique remarquable d’Albert Einstein. On y trouve l’explication des tenseurs, des changements de référentiel et de la mesure de la courbure de champ (symboles de Christoffel et transport parallèle). L’anglais est facile : élocution lente, vocabulaire simple, bonne articulation. Pr. Susskind propose un cours plus complet sur la relativité générale en environ 20 heures dans sa série appelée « The Theoretical Minimum » disponible sur : N. B. : Pr. Susskind – directeur du laboratoire de physique théorique de Stanford University - est un des pères de la théorie des cordes. Comme Feynman, c’est un amoureux de la vulgarisation et propose plusieurs cours de vulgarisation dans une série baptisée « The Theoretical Minimum » très accessibles. Ils portent sur la mécanique générale, la mécanique statistique, la mécanique quantique, l’électromagnétisme, la relativité restreinte, la relativité générale et la cosmologie. Il y a aussi un ensemble de cours plus anciens, assez divers, toujours dans le domaine de la physique théorique. A. A. A. A. 84 84

La cosmologie et son origine

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