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Introduction aux modèles cosmologiques M. Lachièze-Rey Centre dEtudes de Saclay, FRANCE.

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1 introduction aux modèles cosmologiques M. Lachièze-Rey Centre dEtudes de Saclay, FRANCE

2 Cosmologie La cosmologie concerne les propriétés globales du monde. Lunivers possède des propriétés globales. La cosmologie scientifique existe. Cosmologie relativiste : selon la théorie de la relativité générale Univers = espace-temps + contenu énergétique Fondements : Principes Principe cosmologique : Lespace est homogène et isotrope Simplicité La gravitation gouverne la cosmologie Théories La gravitation est décrite par la relativité générale : Toute la physique connue Observations : très nombreuses

3 Relativité générale Le Cadre pour la physique : pas espace + temps, mais espace-temps courbe Métrique g courbure (tenseur de Riemann R) Le tenseur de Riemann représente la gravitation. Les équations dEinstein permettent de calculer R à partir - du contenu énergétique (tenseur dénergie-impulsion T) - et de la constante cosmologique. En général très compliquées Simplifiées par les symétries (symétrie sphérique, cosmologie) Matière et lumière suivent les géodésiques de lespace-temps. Le but de la cosmologie relativiste est de trouver une bonne description de lespace-temps, par exemple par sa métrique.

4 Principe cosmologique Lespace [les sections spatiales de lespace-temps] sont à symétrie maximale (=homogènes et isotropes) 1) lespace-temps est simple = espace * temps Mais les propriétés de lespace varient dans le temps (expansion). 2) description simple du contenu énergétique : Quantités moyennes seulement (densité dénergie, pression p)

5 Le principe cosmologique suffit à déterminer une forme pour la métrique : ds 2 = dt 2 -a(t) 2 d 2, - où d 2 est la métrique dun espace à symétrie maximale : R 3 (k=0), S 3 (k=1) ou H 3 (k=-1). = forme de Robertson - Walker. Dans des « bonnes » coordonnées ; (ceci est indépendant de la théorie de gravitation). Donc ces modèles sont déterminés par la fonction a(t) et la constante k. a(t) est le facteur d échelle : toute longueur cosmique varie proportionnellement à a k est le paramètre de courbure.

6 Temps conforme ds 2 = dt 2 -a(t) 2 d 2 On peut toujours effectuer un changement de variable t --> défini par d =dt /a(t). La métrique sécrit ds 2 = a(t [ ] ) 2 [d 2 -a(t) 2 d 2] - Elle est « conformément plate » - est le temps conforme (sans signification physique).

7 Sections spatiales symétriques

8 Modèles de Friedmann - Lemaître La relativité générale permet de calculer la courbure de lespace-temps à partir du tenseur dénergie-impulsion et de L, par les équations dEinstein. Avec le pc, la courbure se réduit à a(t) et k; Les équations dEinstein se réduisent aux équations de Friedmann. La matière est décrite par sa densité moyenne et sa pression moyenne.

9 Modèles de big bang = ceux pour lesquels le facteur d échelle s annule pour une valeur de t finie : a(t i ) =0. (en fait, cette cosmologie ne tient pas compte des effets quantiques qui pourraient empêcher une telle singularité. Il vaut mieux remplacer la condition par a(t i ) = L planck

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11 Aujourd hui Le taux présent dexpansion H(t 0 ) est la constante de Hubble H 0 Une distance D varie proportionnellement à a, V = D= (a/a) D. On note (a/a) 0 = H 0. De l équation de Friedmann on déduit (H 0 ) 2 + k / (a 0 ) 2 = (8 G) 0 / 3 + /3

12 Un modèle simple On suppose = k= 0. Pas de constante cosmologique, Sections spatiales euclidiennes Ce modèle est appelé Einstein - de Sitter Ceci implique 0 =3 (H 0 ) 2 / (8 G) = critique Cest la définition de la densité critique critique, qui sera utilisé comme unité cosmologique de densité d énergie. Pour toute forme dénergie, on posera = / critique. Par exemple, matière = matière / critique ATTENTION : nest pas une quantité constante ! Dans les années , ceci était considéré comme le meilleur modèle pour décrire notre univers (cdm).

13 Pour une notation harmonieuse, on écrit aussi: / 3 (H 0 ) 2 = = On a donc, de manière générale, 1+ k / (H 0 a 0 ) 2 = contenu + Un univers à sections spatiales euclidiennes vérifie donc contenu + = 0.

14 Contenu On distingue plusieurs formes dénergie dans lunivers qui peuvent être source de gravitation: Matière (baryonique ou non baryonique) : p=0 Rayonnement (électromagnétique ou gravitationnel, neutrinos sils nont pas de masse) : p = - Énergie « exotique » = > 0 (pourquoi ?), p < 0. En particulier « énergie du vide » p = -. Toutes ces formes d énergie se diluent avec l expansion : Matière : a -3 Rayonnement : a -4 Énergie du vide : Ct Rem.: on peut formellement écrire la contribution de la constante cosmologique sous la forme = /8 G, p = -. Doù la confusion.

15 Loi d expansion Elle est exprimée par la fonction a(t). Sa première dérivée (logarithmique) est le taux dexpansion H(t), aujourdhui la constante de Hubble H O. Sa seconde dérivée est exprimée par le paramètre de décélération q= - a a / (a) 2. Son signe indique accélération ou décélération de l expansion. Aujourdhui, 2q O = -2 Les observations donnent H O. Les différents tests cosmologiques fournissent le plus souvent des combinaisons de k et q O.

16 Espace-temps de Minkowski Une solution formelle de la relativité générale. Non physique car : pas de contenu, pas dexpansion. Métrique ds 2 = dt 2 - d 2 d 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = dr 2 + r 2 (d 2 + sin 2 d 2 Géodésiques radiales : r = A t +B Matière (lignes de temps) = A > 0 Lumière A = 1 NB. Par un changement de variable t= cosh r= sinh la même métrique sécrit : ds 2 = d [d 2 + sinh 2 (d 2 + sin 2 d 2 Décrit un univers en expansion, à sections spatiales hyperboliques --> Attention ! (Mizony)

17 Espace-temps complètement symétriques Il en existe trois seulement : Minkowski, de Sitter et anti-de Sitter. de Sitter : expansion, sections spatiales = S3 (3-sphère). Peut-être vu comme un hyperboloïde à 4D dans un espace plat à 5D La solution des équation de Friedmann avec > 0 anti-de Sitter : lignes de temps fermées (!), sections spatiales = H3 (espace hyperbolique). Peut-être vu comme un hyperboloïde à 4D dans un espace plat à 5D

18 de Sitter Métrique canonique : ds 2 = dt 2 - cosh 2 (t/L) d 2 Où = 1/L 2 Où d 2 est la métrique de la 3-sphère S 3 de rayon L. Cest une forme RW : facteur dexpansion a(t) = cosh(t/L) expansion accélérée : bonne approximation de notre univers aujourdhui (la meilleure?) inflation symétrie maximale --> le vide géométrique ? Le même espace-temps (en fait différentes parties) sont décrites par des formes différentes de la métrique -->

19 Changements de variables : 1) sinh(t/L) = sinh(T/L) cosh ( ) cosh(t/L) sin (r) = sinh(T/L) sinh ( ) cosh(t/L) cos (r) = cosh(T/L) Donne ds 2 = dT 2 - sinh 2 (t/L) d 2 Où d 2 est la métrique de lespace hyperbolique H 3 de rayon L. 2) sinh(t/L) = sinh(v/L) + 2 e v/L /2 L 2 cosh(t/L) sin (r) = e v/L / L cosh(t/L) cos (r) = cosh(v/L) - 2 e v/L /2 L 2 Donne ds 2 = dv 2 - e 2v/L d 2 Où d 2 est la métrique de lespace Euclidien R 3. 3) ds 2 = (1- R 2 /3) d 2 - (1- R 2 /3) -1 dR 2 - R 2 d 2 (forme statique).

20 Forme sans dimension des équation de Friedmann Les équation de Friedmann impliquent 2 q 0 = matière + 2 rayonnement - 2 matière + rayonnement + -1 = k / (H 0 2 a 0 2 ) = - courbure On peut les écrire sous une forme sans dimension : En posant x = a/a 0 = 1/(1+z) (x) 2 =F -2 (x), Avec F(x)= mat /x+ ray /x 2 + x 2 + courbure Où x est la seule quantité à varier

21 Âge de l univers Par définition, cest le temps écoulé depuis le moment où a(t) sest annulé : t U = H dx ( mat /x+ ray /x 2 + x 2 + courbure ) -1/2


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