Enquête intradisciplinaire sur une extension praxémique. Le cas des relatifs Alain Mercier Equipe ACADIS Approches Comparatives et Anthropologiques du Didactique et du Scolaire Je remercie les équipes du projet AMPERES, ainsi que Yves Matheron et Maggy Schneider, qui ont fait tout le travail pratique didactique et mathématique dont j’expose les résultats AIX-MARSEILLE UNIVERSITE, IFE ENS-Lyon Equipe D'Accueil Mixte ADEF Apprentissage Didactique Evaluation Formation

La clé du travail proposé : la notion de programme de calcul et l’extension praxémique qu’elle permet AIX-MARSEILLE UNIVERSITE, IFE ENS-Lyon Equipe D'Accueil Mixte ADEF Apprentissage Didactique Evaluation Formation

Les assemblages bien formés dénotent, ils doivent donc être interprétés Serfati (2005) décrit ainsi les pratiques relatives aux symboles algébriques : « ce que nous appelons écriture ou expression est un assemblage symbolique ; l'assemblage bien formé de trois signes chiffrés comme dénote un nombre, dont le signe chiffré est 42. (2p–1) + (2p+1) ne dénote aucun nombre mais peut être réduit à 4p. Cette réduction démontre que la somme de deux impairs consécutifs (…) est multiple de 4. » AIX-MARSEILLE UNIVERSITE, IFE ENS-Lyon Equipe D'Accueil Mixte ADEF Apprentissage Didactique Evaluation Formation

Éléments caractéristiques de la démarche : mise en œuvre Le mouvement d’étude de certains programmes de calcul produit d’abord un usage, puis des routines. On cherche alors les conditions de définition d’algorithmes normés de traitement des divers cas de figure de programmes de calcul. C’est un point majeur de cette production. AIX-MARSEILLE UNIVERSITE, IFE ENS-Lyon Equipe D'Accueil Mixte ADEF Apprentissage Didactique Evaluation Formation

Éléments caractéristiques de la démarche: le travail du professeur L’auto enfermement des professeurs dans le corset du « programme » est un phénomène central. Ainsi, ils considèrent que la démonstration du théorème : « Ajouter -3 c’est soustraire 3. » est impossible, parce que « les élèves ne manipulent pas des parenthèses »… AIX-MARSEILLE UNIVERSITE, IFE ENS-Lyon Equipe D'Accueil Mixte ADEF Apprentissage Didactique Evaluation Formation

Éléments caractéristiques de la démarche : mise en œuvre Or, la logique du travail engagé conduit à écrire d’abord que +5 est équivalent à 5 puisque l’assemblage peut aussi bien être interprété comme la somme 306 et de 5 que comme l’application à 306 du programme réduit +5. Puis cette logique conduit à écrire : 367+(-3)=367+(2-5)= =369-5=364=367-3 Ainsi, « ajouter -3 c’est équivalent à enlever 3 » et on peut conclure que +3+(-3)=3-3=0. AIX-MARSEILLE UNIVERSITE, IFE ENS-Lyon Equipe D'Accueil Mixte ADEF Apprentissage Didactique Evaluation Formation

Origines et fondements de la méthode Sans la dialectique de la formulation qui conduit les élèves à travailler sur des représentations (les formes réduites des programmes de calcul) et non pas dans le monde de l’action avec les programmes de calcul (Brousseau, 2005), le « inquiry-based teaching » est frappé dès sa naissance d’empirisme radical et de constructivisme (social?) naïf. AIX-MARSEILLE UNIVERSITE, IFE ENS-Lyon Equipe D'Accueil Mixte ADEF Apprentissage Didactique Evaluation Formation

Aspects transversaux de la démarche Le réel de l’enquête n’est pas nécessairement le concret de l’opposition concret/abstrait, il est ici « pratique mathématiques sur les nombres »; et l’enquête ne produit donc pas de l’abstrait. De plus, le théorique n’est pas la visée du travail; l’enquête cherche ici « l’algorithmisation d’une routine d’action ». AIX-MARSEILLE UNIVERSITE, IFE ENS-Lyon Equipe D'Accueil Mixte ADEF Apprentissage Didactique Evaluation Formation

Aspects transversaux de la démarche La question de la mémoire des pratiques symboliques portée par un système de signes (Matheron, 2010) est ici essentielle. Dans l’invention d’un sens nouveau les signes qui portent la mémoire pratique permettent d’anticiper des pratiques nouvelles et produisent des notions inouies. AIX-MARSEILLE UNIVERSITE, IFE ENS-Lyon Equipe D'Accueil Mixte ADEF Apprentissage Didactique Evaluation Formation

Trois questions : Aspect transversal de la démarche On peut comprendre comment la recherche de la généricité du phénomène sur lequel nous appuyons notre proposition d’enseignement nous conduit à des travaux comparatistes. Notre hypothèse est que le phénomène vaut pour toutes les sciences et fonde leurs usages des mathématiques. AIX-MARSEILLE UNIVERSITE, IFE ENS-Lyon Equipe D'Accueil Mixte ADEF Apprentissage Didactique Evaluation Formation

Trois questions auxquelles je ne répondrai pas : 1- Et « les boites flottantes », alors ? Ben oui bien sûr, mais c’est pas « de la physique », c’est une enquête mathématique sur un phénomène physique. 2- Et les PER, encore ? Ben oui bien sûr et on repense les situations fondamentales déclinées en suites de situations. 3- Faut-il la TACD pour penser cela ? Le professeur ne peut faire le travail pour les élèves, et les élèves ne peuvent le faire sans la direction du professeur, ce qui suppose… AIX-MARSEILLE UNIVERSITE, IFE ENS-Lyon Equipe D'Accueil Mixte ADEF Apprentissage Didactique Evaluation Formation

Pour que ce type d’enseignement ait des effets positifs il faut que les professeurs et les élèves puissent agir de concert dans des situations ayant pour eux un sens partagé, dans le but explicite de produire des systèmes symboliques qui rendent compte de leur action Ce qui suppose une analyse a priori des attendus épistémologiques et anthropologiques de l’objet d’enseignement, et c’est ce que je fais pour vous expliquer ca par le menu depuis plus d’un quart d’heure ! Une théorie de ce type d’enseignement est donc indispensable et son implémentation pratique doit être accompagnée très précisément. AIX-MARSEILLE UNIVERSITE, IFE ENS-Lyon Equipe D'Accueil Mixte ADEF Apprentissage Didactique Evaluation Formation

Productions d’élèves, en exemple du processus de modélisation algébrique d’un problème : Bernadette (3e) UMR P3 Apprentissage Didactique Evaluation Formation

Bernadette (3e) Travail pour le second problème posé UMR P3 Apprentissage Didactique Evaluation Formation

Albert (3e) Travail commencé sur le deuxième problème UMR P3 Apprentissage Didactique Evaluation Formation

La nécessité des formules modélisant le problème : Albert (3 e) entre dans la modélisation par l’algèbre UMR P3 Apprentissage Didactique Evaluation Formation

L’entrée dans le modèle algébrique: travail sur les formules : Albert (3e) UMR P3 Apprentissage Didactique Evaluation Formation

L’évolution rapide du le travail algébrique sur les formules qui modélisent le problème : Albert (3e) UMR P3 Apprentissage Didactique Evaluation Formation