Comment construire une progression interdegré en mathématiques : l’exemple du dispositif départemental « Déblocamaths » Jérôme VASSEUR, secrétaire général de l’association EJ’N Patricia PLANSON, directrice d’école Ecole élémentaire de CHARLY-SUR-MARNE Maëlle GUIARD, professeur des écoles Ecole élémentaire de CHARLY-SUR-MARNE Carine GRACIOT et Magali LIEGEOIS, professeur de mathématiques Collège François Truffaut à CHARLY-SUR-MARNE Séminaire départemental « Penser l’inter-degré : le nouveau cycle 3 »

SOMMAIRE 5 novembre Le dispositif départemental « Déblocamaths » 2.Articulation Déblocamaths et compétences du socle 3.La formation Déblocamaths 4.Le jeu de Hex et de Nim 5.Une progression cycle 3 Séminaire départemental « Penser l’inter-degré : le nouveau cycle 3 »22 juin 2016

Le dispositif départemental « Déblocamaths » La DSDEN et EJ’N décident de créer les Déblocamaths (des classes de mathématiques) Faire des mathématiques en explorant des problèmes concrets, stimulants et présentant des défis Se constituer des références fiables, accessibles et stables Repères de progressivité « Il est possible, lors de la résolution de problèmes, d’aller au- delà des repères de progressivité identifiés pour chaque niveau » « (…) proposer aux élèves des problèmes pour apprendre à chercher (…) des problèmes qui ne se résolvent pas uniquement avec une ou plusieurs opérations mais par un raisonnement et des recherches par tâtonnements » Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Le dispositif départemental « Déblocamaths » De la place des problèmes dans les mathématiques à l’école Les problèmes sont constitutifs de l’apprentissage des mathématiques, ce que résume l’expression : apprendre par la résolution de problèmes. Savoir chercher, ne pas trouver trivialement, tâtonner et se poser des questions…. En allant jusqu’au bout de l’élaboration d’une procédure nouvelle. Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Articulation Déblocamaths et compétences du socle Domaine 1 : Les langages pour penser et communiquer Comprendre, s'exprimer en utilisant les langages mathématiques, scientifiques et informatiques Objectifs d’apprentissage liés - Apprentissage des principes du système de numération décimal (…) pour effectuer des calculs et modéliser des situations - Lire des plans, se repérer sur des cartes - Produire et utiliser des représentations d'objets, d'expériences … Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Articulation Déblocamaths et compétences du socle Domaine 2 : Les méthodes et outils pour apprendre « (…) permettre à tous les élèves d'apprendre à apprendre, seuls ou collectivement, en classe ou en dehors (…) » Objectifs d’apprentissage liés -Organiser son travail personnel -Se constituer des outils personnels grâce à des écrits de travail -Coopérer et réaliser des projets -Utiliser des outils numériques pour échanger et communiquer Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Articulation Déblocamaths et compétences du socle Domaine 3 : La formation de la personne et du citoyen Objectifs d’apprentissage liés - La règle et le droit - Réflexion et discernement - Responsabilité, sens de l'engagement et de l'initiative Domaine 4 : Les systèmes naturels et les systèmes techniques Objectifs d’apprentissage liés - Démarches scientifiques (mener une démarche d'investigation) Domaine 5 : Les représentations du monde et l’activité humaine Il initie à la diversité des expériences humaines et des formes qu'elles prennent : les découvertes scientifiques et techniques, les diverses cultures, les systèmes de pensée et de conviction, Objectifs d’apprentissage liés Les grandes découvertes scientifiques et techniques et les évolutions qu'elles ont engendrées Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

La formation « Déblocamaths » Exemple : Mise en relation des notions et des programmes sur toute la scolarité obligatoire (construction du nombre - numération – division …) Numération : Construire une numération non décimale de position (et pratiquer des calculs), pour établir la numération décimale de position Décomposition-recomposition, itération de l’unité (nouveaux programmes) / Les compléments / parité / multiples / division / nombres premiers / PPCM etc… Problème pour chercher : Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Le jeu de Hex Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Les origines du jeux de Nim : Les premières traces sont signalées en Chine sous le nom de fan-tan et connus en Afrique sous le nom de tiouk-tiouk. Le nom actuel (tiré du mot Allemand « nimm » qui signifie « prends ! » mais qui pourrait venir également de win = gagne en anglais) Nim a été donné par le mathématicien anglais Charles Léonard Bouton. Le jeu de Nim Nous avons essayé de découvrir le secret pour gagner à tous les coups à ce jeu, et nous avons trouvé… Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Matériel : 25 bâtonnets Nombre de joueurs : 2 joueurs Disposition : Les 2 joueurs se mettent face à face autour d' une table et disposent 25 bâtonnets sur la table l'un à côté de l'autre. Déroulement : Chaque joueur prend 1, 2 ou 3 bâtonnets. Le joueur qui s'empare du dernier bâtonnet a perdu. ( Le jeu de Nim n'est pas un jeu de hasard ) Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

STRATEGIE DU JEU DE N IM Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Cas où c’est notre adversaire qui commence et qu’il ne connait pas le jeu : La stratégie : Il faut, qu’à chaque tour, un paquet de 4 bâtonnets soit enlevé. A la fin ce sera notre adversaire qui prendra le dernier bâton. Il aura donc perdu. Avec cette stratégie on est sûr de gagner quand c’est l’autre qui commence. Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Si notre adversaire enlève 1 bâton, on en prend 3. Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Cas où c’est nous qui commençons : Si l’adversaire connaît la stratégie, nous avons automatiquement perdu. Il va s’arranger pour que 4 bâtons soient retirés à chaque tour. S’il ne connaît pas la stratégie, nous pouvons gagner. Pour cela, il faut compter le nombre de bâtons qui ont déjà été pris. Nous devons faire en sorte d’obtenir un multiple de 4. Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Que devons nous faire pour retourner la situation à notre avantage ? Nous devons en prendre 1 pour aller jusqu’à 4. Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Que devons nous faire pour retourner la situation à notre avantage ? Nous devons en prendre 3 pour aller jusqu’à 12. Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Articulation compétences majeures et programmes Chercher Expérimentation, mobilisation des connaissances, des outils, des procédures déjà rencontrées Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Articulation compétences majeures et programmes Modéliser Utiliser les mathématiques pour résoudre un problème concret Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Raisonner Résoudre par étapes, progresser collectivement, justifier ses affirmations Articulation compétences majeures et programmes Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Représenter, calculer «Pour cela, il faut compter le nombre de bâtons qui ont déjà été pris. Nous devons faire en sorte d’obtenir un multiple de 4. » (diaporama des élèves) Articulation compétences majeures et programmes Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Communiquer Utiliser un vocabulaire adéquat, échanger et expliquer son raisonnement Articulation compétences majeures et programmes Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Déblocamaths et jeu de NIM : progression cycle 3 Domaine : Nombre et calculs Attendus en fin de cycle : Calculer avec des nombres entiers (et des nombres décimaux) Connaissances et compétences associées : Elaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit Travail de l’élève de CM2 et travail de l’élève de 6 ème : Constater par extension (récurrence) la détermination du résultat gagnant. Que se passe-t-il au rang 1 ? allumettes … Poursuivre le raisonnement avec l’ajout des multiples de 4 Repères de progressivité : - Détermination de la démarche - Organisation ou construction de la démarche - Nombre d’étapes de la démarche Evaluation : -Avec 2017 bâtonnets : 2017 = (504 X 4) +1 -Avec la prise de 1,2,3 ou 4 bâtonnets (multiples de 5) Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Déblocamaths et jeu de NIM : progression cycle 3 Domaine : Nombre et calculs Attendus en fin de cycle : Calculer avec des nombres entiers (et des nombres décimaux) Connaissances et compétences associées : Multiples et diviseurs des nombres d’usage courant Exemples de situations, d’activités et de ressources pour l’élève : Encadrer un nombre entre deux multiples consécutifs Travail de l’élève selon le niveau : Repères de progressivité : Généralisation et abstraction Trouver le nombre favorable pour un rang donné CM 26 ème Déterminer le multiple le plus proche 6 X 4 = 24 Encadrer le nombre par deux multiples 24 < 25 < 28 Recherche / écriture avec parenthèsage 1 + (5 x 4) = (6 x 4) = 25 : Ecriture canonique de la division euclidienne 1 + (7 x 4) = 29 Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Déblocamaths et jeu de NIM : progression cycle 3 Domaine : Nombre et calculs Attendus en fin de cycle : Calculer avec des nombres entiers (et des nombres décimaux) Vers les compétences du cycle 4 (pour les 6 ème ) - 2 prises possibles : jusque 11 ou 19 bâtonnets - Choisir le moins de bâtonnets possible pour gagner Pour 12 : Pour 20 : est le plus petit multiple de 12 et 20 On remarque que : 60 = 12 x 5 La réponse étant donc 61 bâtonnets 60 = 20 x 3 60 = ppcm (12,20) continuer avec les diviseurs de 60 Pour les CM2 : commencer avec des prises jusque 3 ou 5 bâtonnets ou faire remarquer que le jeu de Nim fonctionne avec les multiples de 4 ou de 6 (ou 8 ou 12) Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Déblocamaths et jeu de NIM : progression cycle 3 Domaine : Nombre et calculs Attendus en fin de cycle : Calculer avec des nombres entiers (et des nombres décimaux) Connaissances et compétences associées : Calcul en ligne : utiliser des parenthèses dans des situations très simples Exemples de situations, d’activités et de ressources pour l’élève : Utiliser différentes présentations pour communiquer les calculs (formulations orales, calcul posé, en ligne, en colonne, etc.) Travail de l’élève de CM2 et travail de l’élève de 6 ème, selon le niveau de difficulté : Le dessin Le schéma Les calculs additifs et multiplicatifs séparés Le calcul en ligne Repères de progressivité : Différentes formes de la communication de la démarche et des résultats Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3

Déblocamaths et jeu de NIM : progression cycle 3 Domaine : Nombre et calculs Attendus en fin de cycle : Calculer avec des nombres entiers (et des nombres décimaux) Connaissances et compétences associées : Règles d’usage des parenthèses Exemples de situations, d’activités et de ressources pour l’élève : En lien avec la calculatrice, introduire et travailler la priorité de la multiplication sur l’addition et la soustraction ainsi que l’usage des parenthèses. Travail facultatif pour l’élève de CM2 et obligatoire pour l’élève de 6 ème : Le calcul en ligne avec parenthèses Repères de progressivité : Il est possible, lors de la résolution de problèmes, d’aller au-delà des repères de progressivité identifiés pour chaque niveau. Le dispositif Déblocamaths – Articulation Déblocamaths et compétences du socle – Le jeu de Hex et de Nim – Une progression cycle 3