APPROXIMATION DE PI   : Battre 3,14 ?

LE SUJET Trouver des méthodes permettant de trouver des valeurs approchées de pi les plus fines possibles et donc de battre l'approximation classique de 3,14 ou même celle de la calculatrice qui nous donne 9 décimales.

SOMMAIRE 1 – Nos premières recherches. 2 – Avec des polygones et un cercle. 3 – Avec des racines carrées. 4 – Avec un quadrillage.

1 – Nos premières recherches. Pour trouver une approximation de π, nous nous sommes dits qu'il fallait trouver une approximation du demi-périmètre d'un cercle de rayon 1 En effet, ce demi- périmètre vaut : Nous nous sommes donc tournés tout d'abord vers les polygones réguliers car nous savons que le périmètre d'un cercle est compris entre le périmètre d'un polygone inscrit et le polygone circonscrit à ce cercle. Puis nous avons trouvés d'autres méthodes : les quadrillages puis les racines carrées. Nous allons commencé par vous présenter la méthode des polygones.

2 – Avec des polygones réguliers On a cherché à calculer le périmètre d'un polygone circonscrit et inscrit ( notés respectivement P 1 et P 2 ) à un cercle en fonction du nombre de côtés. Nous choisissons un cercle de rayon 1 et nous l'appelons C. Le demi- périmètre de ce cercle vaut soit π  Donc, puisque R=1: P 1 <  P 2 < π <

Commençons par le polygone inscrit Appelons n le nombre de côtés du polygone inscrit à C. Soit A un sommet du polygone, B le centre de C et C le milieu d'un côté du polygone d'extrémité A.

L'angle mesure : = AB=1 donc dans le triangle rectangle ABC: Sin( ) = = AC P 1 = 2n x AC Donc : P 1 = 2n x sin( ) Donc : = n x sin( )

Etudions maintenant le polygone circonscrit au cercle Appelons n le nombre de côtés du polygone circonscrit à C. Soit A un sommet du polygone, B le centre de C et C le milieu d'un coté du polygone d'extrémité A.

L'angle mesure : = BC=1 donc dans le triangle rectangle ABC: Tan( ) = = AC P 2 = 2n x AC Donc : P 2 = 2n x tan( ) Donc : = n x tan( )

Méthode 1: formule Soit n un entier naturel strictement supérieur à 2: Plus n est grand et plus l'encadrement est précis

Nous avons rentré ces formules sur tableur, voici une partie de nos résultats :

3 - Avec des racines carrées Méthode 2 La chercheuse qui s'occupe de nous nous a alors demandé d'arriver au même résultat en utilisant le moins possible la trigonométrie. Nous nous sommes donc réorientés vers les figures pour trouver une nouvelle méthode.

On part toujours d'un cercle de rayon 1. Les diagonales du carré ABCD de centre O sont perpendiculaires donc AOB est rectangle en O. Soit E le milieu de [AB]. Selon le théorème de Pythagore: AB²=AO²+BO²=1+1=2 (AE=OE puisque la médiane issue de l'angle droit d'un triangle rectangle mesure la moitié de l'hypoténuse ; donc, ici : OE=AB/2=AE. De plus AEO est rectangle en E puisque ABO est isocèle en O)

On calcule maintenant la longueur du côté de l'octogone régulier inscrit dans le cercle et formé à partir du carré ABCD. Soit H le point d'intersection entre (OE) et le cercle. H appartient à la médiatrice de [AB] donc : AH=HB et donc H est un sommet de l'octogone. Le demi-périmètre de cet octogone régulier est : 4 Ce qui donne environ : 3,06

Le but ensuite sera de trouver la longueur du côté du polygone inscrit avec deux fois plus de côtés que le polygone précédent. Pour un polygone régulier à 16 côtés, on suit la même démarche.

D'après le théorème de Pythagore : OF 2 + AF 2 = OA 2 donc : OF 2 = = OF = IF = 1 – AI 2 = IF 2 + FA 2 après simplification : AI 2 = AI =

Le demi-périmètre de ce polygone régulier à 16 côtés est : Nous avons ensuite calculé la longueur du côté du polygone régulier inscrit à 32 côtés et il mesure : Ainsi nous avons supposé que quand on multiplie par deux le nombre de cotés on rajoute un sous la dernière racine. Restait à le démontrer...

Pour généraliser cette formule, on part d'un polygone inscrit dont la longueur d'un côté est : On démontre avec le théorème de Pythagore que le polygone ayant de fois plus de côtés aura alors la longueur d'un de ses côtés valant :

Démonstration : avec les notations de la figure précédente :

Généralisation ● Carré : ● Octogone : ● Polygone à 16 côtés : ● Polygone à 32 côtés : ● Polygone à 64 côtés :...

m-1 nombres 2 Soit m un entier strictement supérieur à 1 tel que : Le demi-périmètre du polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle est :

Procédons de même avec les polygones circonscrits avec toujours un cercle de rayon 1 Le côté du carré vaut 2 et le demi- périmètre : 4

Les calculs étant vraiment très longs nous sommes revenus à la trigonométrie.

L'encadrement supérieur m-1 racines carrées

L'encadrement supérieur m-1 racines carrées

Formule finale m-1 racines carrées

Nous avons rentré ces formules sur tableur, voici une partie de nos résultats :

4 – La méthode du quadrillage

Calculs ● Côté carré bleu = 10cm ● Côté carré jaune = 10/5 = 2cm ● Aire carré jaune = 2² = 4cm² ● Aire tri. rectangle = (2x4)/2 = 4cm² ● Aire carré bleu = 10² = 100cm² ● Aire totale de la surface coloriée = 100+4x4+4x8 = 148cm²

Pour trouver il nous suffit de diviser cette surface par le rayon du cercle élevé au carré. Ce rayon est la demi-diagonale d'un carré de côté 10, c'est à dire La valeur approchée de est donc ici de : ce qui fait Environ 2,96.

Avec un quadrillage plus « fin »

R = 10 Aire de disque : Aire quadrillage intérieur: =304 Aire quadrillage extérieur : =332 Donc : 304 < < 332 Donc : 3,04 < < 3,32

Diaporama proposé par : Colin Davallo, Antoine Logghes et Adrien Garriguès du collège Alain Fournier d'Orsay. Diaporama proposé par : Colin Davallo, Antoine Logghes et Adrien Garriguès du collège Alain Fournier d'Orsay. Merci à Nina Aguillon notre chercheuse, pour l'aide qu'elle nous a apportée.