Résolution de problèmes cycle 2 et cycle 3

Qu’est-ce qu’un problème?  Par problème, il faut entendre toute situation dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités d’exploration, d’hypothèse et de vérification, pour produire une solution. »  G. Vergnaud – Psychologie du développement cognitif et didactique des Mathématiques 1986  « Il y a problème lorsque le sujet ne dispose pas immédiatement d’une réponse de routine applicable à la situation. » M. Richelle, R. Droz

Quels sont les obstacles rencontrés par les élèves pour résoudre un problème ?  La lecture et compréhension de la consigne  Le sens global du problème  Passage des informations aux notions ou outils  Mise à disposition et utilisation convenablement des notions et outils mathématiques

TypeFonction Pour construire des connaissances Problème pour apprendre Situation-problème Situation de découverte Construction d’une connaissance nouvelle ou d’un nouvel aspect d’une connaissance déjà abordée Pour réinvestir des connaissances Problème d’entrainement Problème d’application directe Entraînement à la maîtrise du sens d’une connaissance nouvelle Problème de transfert ou de réinvestissement Utilisation d’une (de)connaissance(s) dans un contexte différent de celui où elle a été abordée Pour intégrer des connaissances Problème pour chercher Problème complexe Apprendre à chercher (étapes, déductions) lorsque les connaissances nécessaires sont en place Problème ouvert Apprendre à chercher (objectif surtout méthodologique) Indépendant des apprentissages du moment

Démarche pédagogique et connaissances scientifiques  Un apprentissage progressif par catégories de problèmes  La construction d’automatismes Les performances arithmétiques des élèves Le fonctionnement de la mémoire

Les performances arithmétiques  Des capacités primitives  Des difficultés

Mettre en correspondance les quantités avec des systèmes de symboles 4 4

Passer des transformations (analogique) aux opérations (symbolique) Paul a 3 billes et je lui en donne 4. Combien en a-t-il maintena nt? Paul avait des billes. Il en a perdu 4 à la récréation. Il lui en reste 3. Combien en avait-il avant de commencer à jouer? = 7

Construire des automatismes Mémoriser des connaissances et automatiser des procédures pour réserver l’attention aux activités qui ne peuvent être automatisées

Le rôle de la mémoire dans la résolution de problèmes D O N A L DD = 5 + G E R A L D = R O B E R T Ex : problème des cryptogrammes

Quels types d’automatismes peut-on développer?  Le développement d’habiletés calculatoires par le calcul mental  Le développement de « schémas de résolution» ou procédures.

La résolution de problèmes dans les nouveaux programmes au cycle 2  Au centre des activités mathématiques développant leurs capacités à chercher, raisonner et communiquer.  Permet d’aborder des notions nouvelles, de consolider des acquisitions, de provoquer des questionnements  Les problèmes seront issus de situation de vie de classe, de situations rencontrées dans d’autres enseignements, souvent un caractère ludique  Les quatre opérations sont étudiées à partir de problèmes qui contribuent à leur donner du sens en particulier pour grandeurs et mesures  Attendus de fin de cycle: Résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et le calcul

Repères de progressivité:  Au CP, les élèves commencent à résoudre des problèmes additifs et soustractifs auxquels s’ajoutent des problèmes multiplicatifs dans la suite du cycle. L’étude de la division est initiée au cours du cycle 2 dans des situations simples de partage ou de groupement.  Au CE1, les élèves sont amenés à résoudre des problèmes plus complexes, éventuellement à deux étapes, nécessitant par exemple l’exploration d’un tableau ou d’un graphique, ou l’élaboration d’une stratégie de résolution originale.  Le réinvestissement dans de nombreux problèmes arithmétiques élémentaires permet ensuite aux élèves d’accéder à différentes compréhensions de chaque opération.

Résolution de problèmes au cycle 3 dans les nouveaux programmes  Critère principal de la maitrise des connaissances dans tous les domaines mathématiques  Moyen d’en assurer une appropriation qui en garantit le sens.  Démontre comment des notions mathématiques peuvent être des outils pertinents pour résoudre certaines situations  La résolution de problème intervient dans les 6 compétences à travailler en mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer et communiquer  Attendus de fin de cycle: Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul.

La progressivité, outre la structure mathématique du problème, repose sur :  les nombres mis en jeu : entiers (tout au long du cycle) puis décimaux,  le nombre d’étapes de calcul et la détermination ou non de ces étapes par les élèves  les supports envisagés pour la prise d’informations : la collecte des informations utiles peut se faire à partir d’un support unique en CM1 (texte ou tableau ou représentation graphique) puis à partir de deux supports complémentaires pour aller vers des tâches complexes mêlant plusieurs supports en 6e.  La communication de la démarche et des résultats prend différentes formes et s’enrichit au cours du cycle.  Des le début du cycle, les problèmes proposés relèvent des quatre opérations, l’objectif est d’automatiser la reconnaissance de l’opération en fin de cycle 3.

Les problèmes additifs  Composition de deux états  Transformation d’un état  Comparaison d’états  Composition de transformation à partir du CE2 Mettent en jeu une addition ou une soustraction.

1. Composition de deux états Schéma général :

? a. Recherche du composé b. Recherche d’une partie A midi, j’ai bu 2 verres d’eau et 1 verre de jus d’orange. Combien de verres ai-je bu en tout ? ? ? ou Dans notre cour, nous avons 5 bancs. Pendant la récréation, 3 bancs sont occupés par des enfants. Combien de bancs sont vides?

2. Transformation d’un état Schéma général :

a. Recherche de l’état final b. Recherche de la transformation c. Recherche de l’état initial ? ? ? Tu avais 2 petites voitures. Je t’en donne encore une. Combien en as-tu maintenant? Pose 5 cubes sur la table. Que dois-tu faire pour en avoir 7? J’ajoute 3 bonbons dans la boîte. Maintenant j’en ai 5. Combien la boîte contenait-elle déjà de bonbons? ?

4. Comparaison d’états Schéma général :

a. Recherche de l’un des états b. Recherche de la comparaison ou ? ? Alexis a 3 ans. Il a 1 an de plus (ou de moins) que sa sœur. Quel est l’âge de sa sœur? ? Sur une assiette, il y a 2 gâteaux. Sur une autre, il y en a 5. Combien y a-t-il de gâteaux de plus sur la 2 ème assiette?

Les problèmes multiplicatifs  Mettent en jeu une multiplication ou une division.  Problèmes ternaires ( relations entre 3 nombres) n fois plus ou n fois moins « produits cartésiens » « configuration rectangulaire »  Problèmes quaternaires ( relations entre 4 nombres) multiplication division quotition division partition Quatrième de proportionnelle

Problèmes ternaires : n fois plus ou n fois moins a. Recherche de la quantité finale b. Recherche de la quantité initiale c. Recherche du nombre de fois X nX n ? Pierre a 9 ans et son père est 4 fois plus âgé que lui. Quel âge a son père? X nX n ? J’ai 100 €. Mon frère a 2 fois moins d’argent que moi. Combien mon frère a-t-il d’argent? X ?X ? Anita veut s’acheter 2 bagues. L’une vaut 6 euros, l’autre vaut 18 euros. Combien de fois plus coûte la 2 ème bague?

Problèmes ternaires : produit cartésien Il y a 4 filles et 3 garçons. Combien peuvent-ils former de couples de danseurs?  4 X 3 = 12 Peau d'Ane possède 3 jupons et 2 corsets : un jupon bleu couleur du temps un jupon gris couleur de lune un jupon jaune couleur du soleil un corset vert couleur de la forêt un corset violet couleur des mûres de son jardin Chaque jour, elle met un jupon et un corset. Peux-tu donner toutes les tenues possibles qu'elle peut porter?  3X2= 6

Problèmes de configuration rectangulaire Quel est le nombre de carreaux de chocolat que contient une tablette de 3 sur 4 ?

Problèmes quaternaires problèmes de proportionnalité Schéma général : 4 classes de structures mathématiques  4 classes de problèmes  La multiplication  La division-quotition même schéma général  La division-partition  La quatrième de proportionnelle

Multiplication/division-quotition/ division-partition Schéma général : n fois b aaa 1 a n b a valeur d’une part/nb éléments par part n nombre de parts b nombre total d’éléments Recherche du nombre total d’éléments multiplication Recherche du nombre de parts division-quotition Recherche de la valeur d’1 part/nb d’éléments par part division-partition

Multiplication Il y a 4 élèves. La maitresse distribue 3 jetons à chaque élève. Combien distribue-t-elle de jetons en tout? Nombre d’élèvesNombre de jetons 13 4?

Division-quotition recherche du nombre de paquets La maitresse a 12 jetons. Elle les distribue à un groupe d’élèves. Chaque élève reçoit 3 jetons. Combien y a-t-il d’élèves ? Nombre d’élèvesNombre de jetons 13 ?12

Division-partition recherche de la valeur d’un paquet La maitresse a 12 jetons. Elle les distribue à 4 élèves. Chaque élève a le même nombre de jetons. Combien de jetons a chaque élève ? Nombre d’élèvesNombre de jetons 1? 412

Quatrième de proportionnelle  4 albums coûtent 6 €.  Combien coûtent 10 albums? ?

C’est à vous! Dans la boulangerie il y a 42 pains : des pains longs et des pains ronds. Il y a 35 pains longs. Combien y a-t-il de pains ronds?

Dans la vitrine, Yann installe 35 soldats de plomb. Dans le coffre à jouets, il en trouve d’autres. Il les range dans la vitrine. Maintenant il compte 50 soldats de plomb. Combien de soldats Yann a-t-il trouvés dans le coffre à jouets?

Pour aider son ami, l’écureuil a pris 17 noisettes dans sa réserve. « Il m’en reste encore 41 », dit-il. Combien de noisettes avait-il dans sa réserve?

Chaque jour, le lion de Zouzi mange 7 kilogrammes de viande. Quelle quantité de viande son dompteur doit- il prévoir pour 6 jours?

Lors d’une promenade en forêt, 5 enfants ont ramassé ensemble 35 kilogrammes de châtaignes. Chaque enfant a ramassé la même quantité. Quelle quantité de châtaignes chacun a-t-il ramassée?

Célia est arrivée à l’école avec 67 billes et a joué 2 parties. A la première partie, elle a perdu 13 billes. A la seconde, elle a gagné 18 billes. Combien Célia a-t-elle gagné ou perdu de billes après ces 2 parties?

Pour son anniversaire Stéphanie prépare une boisson avec du sucre et des oranges. Pour 7 oranges il faut 12 morceaux de sucre. Elle utilise 35 oranges. Combien lui faut-il de morceaux de sucre ?

Léa, Loïc et Olivier veulent faire un cadeau à leur papa. Léa a 5 euros, Loïc a 4 euros et Olivier a 7 euros. Combien ont-ils en tout? Ils veulent acheter un stylo à 15 euros. Ont-ils assez d’argent? Si oui combien leur restera-t-il? Si non, combien leur manque-t-il?

Documents utilisés pour l’animation pédagogique :  Calculs additifs et soustractifs, G.Gerdil, IUFM de Grenoble, 2006  Un essai de classification possible des problèmes numériques à une opération, D. Pernoux, IUFM d’Alsace  Le nombre au cycle 2, SCEREN  Le calcul mental entre sciences et techniques, D. Butlen, 2008  Résoudre des problèmes aux cycles 2 et 3, Groupe départemental mathématiques, IA 21  Comprendre des énoncés, résoudre des problèmes, A. Descaves, Hachette Education

Merci!