Triangles et parallèles Exercices mathalecran d'après www.mathsenligne.com

Exercice 1.1 ABC M est le milieu de [AB] (MN) // (BC) J ABC A M est le milieu de [AB] N M (MN) // (BC) N est le milieu de [AC] B C DEF D P est le milieu de [EF] Q Q est le milieu de [DF] P (PQ) // (DE) E F IJK I M est le milieu de [IJ] N M (MN) // (JK) N est le milieu de [IK] J K

Exercice 1.1 DEF P est le milieu de [EF] Q est le milieu de [DF] (PQ) // (DE) E F IJK I M est le milieu de [IJ] N M (MN) // (JK) N est le milieu de [IK] J K RST T X est le milieu de [RT] Y X (XY) // (RS) Y est le milieu de [ST] R S LMN M L' est le milieu de [MN] L' M' est le milieu de [LN] M' (L'M') // (LM) L N

ABCD est un parallélogramme de centre O et M est le milieu de [AB]. Exercice 1.2 ABCD est un parallélogramme de centre O et M est le milieu de [AB]. Démontrer que (OM) est parallèle à (BC). A B C D O M RÉDIGEONS

DEF est un triangle équilatéral de côté 6 cm. M est le milieu de [EF]. Exercice 1.3 DEF est un triangle équilatéral de côté 6 cm. M est le milieu de [EF]. On trace la parallèle à [DE] passant par M, qui coupe [DF] en N. Démontrer que N est le milieu de [DF]. E D F RÉDIGEONS M N

Démontrer que I est le milieu de [EH]. Exercice 1.4 EFGH est un parallélogramme de centre O. La droite (d) est la parallèle à (EF) passant par O. Elle coupe [EH] en I. Démontrer que I est le milieu de [EH]. E F G H O I RÉDIGEONS

Exercice 1.5 IJKL est un rectangle de centre O tel que IJ = KL = 10 cm et JK = LI = 6 cm. A est le milieu de [IL]. Démontrer que OA = 5 cm. RÉDIGEONS I J K L O A

[AB] est un segment de longueur 3 cm. Exercice 1.6 [AB] est un segment de longueur 3 cm. O est un point n’appartenant pas à [AB]. a. Construire les points M et N, symétriques de O par rapport à A et B. b. Démontrer que (AB) et (MN) sont parallèles. c. Démontrer que MN = 6 cm O A B N M

b. Tracer la parallèle à (IJ) passant par M. Elle coupe (d’) en N. Exercice 1.7 (d) et (d’) sont deux droites sécantes en A. On place les points I et J respectivement sur (d) et (d’), puis M est le milieu de [AI]. a. Faire une figure. b. Tracer la parallèle à (IJ) passant par M. Elle coupe (d’) en N. c. Que peut-on dire du point N ? Expliquer. J (d) (d') N A M I RÉDIGEONS

Exercice 2.1 Les droites en pointillés sont parallèles. Retrouver pour chaque figure les deux triangles et les deux droites parallèles, puis écrire l’égalité de rapports correspondante : Petit triangle : Grand triangle : Droites : ( ) // ( ) A N M C B D E F I J    AMN ABC DEF ABC AMN DIJ MN BC BC MN EF IJ AM AB = AN AC = MN BC AB AM = AC AN = BC MN DE DI = DF DJ = EF IJ

Exercice 2.1 Les droites en pointillés sont parallèles. Retrouver pour chaque figure les deux triangles et les deux droites parallèles, puis écrire l’égalité de rapports correspondante : Petit triangle : Grand triangle : Droites : ( ) // ( ) I J K L A B C M N O    LAB KAB OMN LMN KLI OIJ AB MN AB LI MN IJ LA LM = LB LN = AB MN KA KL = KB KI = AB LI OM OI = ON OJ = MN IJ

Compléter les pointillés pour que les rapports soient égaux : Exercice 2.2 Compléter les pointillés pour que les rapports soient égaux : 6 a. 4 5 = …… 7,5 b. 9 12 = 6 …… 3,33 c. …… 4 ≃ 5 6 d. 7 …… = 10,5 15 8 10 4×7,5 5 6×12 9 4×5 6 7×15 10,5 9 e. 6 8 = …… 12 f. 2,4 3 = 4 …… 10 g. …… 14 = 7,5 10,5 h. 2,1 …… = 3 7 5 4,9 6×12 8 3×4 2,4 14×7,5 10,5 7×2,1 3 6,3 i. 7 11 = …… 9,9 j. 7,8 …… = 6 6,5 24,44 k. 4,5 6 = 36 …… l. 4,7 6,3 = …… 32,76 8,45 48 9,9×7 11 6,5×7,8 6 36×6 4,5 32,76×4,7 6,3

Exercice 2. 3 En se référant à l’Exercice 2 Exercice 2.3 En se référant à l’Exercice 2.1, écrire puis résoudre l’équation permettant de retrouver le côté manquant. A N M C B D E F I J    AM AB = AN AC = MN BC AB AM = AC AN = BC MN DE DI = DF DJ = EF IJ AM=5 ; AB=6 ; AC=7,2 Retrouver AN. AB=2 ; AC=2,5 ; AM=8 Retrouver AN. DE=7 ; DF=8 ; DI=8,4 Retrouver DJ. 7 8,4 = 8 DJ 5 6 = AN 7,2 2 8 = 2,5 AN donc AN = 6 donc DJ = 9,6 donc AN = 10

Exercice 2. 3 En se référant à l’Exercice 2 Exercice 2.3 En se référant à l’Exercice 2.1, écrire puis résoudre l’équation permettant de retrouver le côté manquant. I J K L A B C M N O    KA KL = KB KI = AB LI LA LM = LB LN = AB MN OM OI = ON OJ = MN IJ KA=9; KL=11; LI=16,5 Retrouver AB. OI=6 ; OM=1,5 ; IJ=4,4 Retrouver MN. LB=3 ; LN=18 ; AB=2 Retrouver MN. 3 18 = 2 MN 9 11 = AB 16,5 1,5 6 = MN 4,4 12 donc AB = 13,5 donc MN = donc MN = 1,1

Exercice 3.1 ABC est un triangle tel que : AB = 6 cm ; AC = 7,5 cm ; BC = 4,5 cm M est un point de [AB] tel que AM = 2 cm. On trace la parallèle à (BC) passant par M. Elle coupe [AC] en N. a. Faire une figure à main levée : B M C A N

Alors d’après le théorème de Thalès : B C M N Exercice 3.1 AB = 6 cm ; AC = 7,5 cm ; BC = 4,5 cm ; AM = 2 cm. b. Compléter Dans le triangle ABC, M est un point de [AB] N est un point de [AC] Puisque (MN) // (BC) Alors d’après le théorème de Thalès : AM AB = AN AC = MN BC c. Déterminer la longueur AN : 2×7,5 6 = 2 6 = AN 7,5 = MN 4,5 donc AN = 2,5 cm.

Exercice 3.2 DEF est un triangle tel que : DE = 25 cm ; DF = 35 cm ; EF = 50 cm I est un point de [DF] tel que DI = 28 cm. On trace la parallèle à (DE) passant par I. Elle coupe [EF] en J. a. Faire une figure à main levée : D I E F J

Alors d’après le théorème de Thalès : F D E I J Exercice 3.2 DE = 25 cm ; DF = 35 cm ; EF = 50 cm ; DI = 28 cm. b. Compléter Dans le triangle DEF, I est un point de [DF] J est un point de [EF] Puisque (IJ) // (DE) Alors d’après le théorème de Thalès : FI FD = FJ FE = IJ DE c. Déterminer la longueur IJ : FI = DF – DI = 35 – 28 = 7 cm 7 35 = FJ 50 = IJ 25 7×25 35 = donc IJ = 5 cm.

J  [OK] et B  [OC] Exercice 3.3 a. Les droites (1), (2), et (3) sont parallèles. OA=4 ; OB=2 ; OC=5 ; OK=4,5 ; JB=1 Déterminer les longueurs OJ et KC (On arrondira le résultat au dixième). O A I J K B C (1) (2) (3) Dans le triangle OKC, J  [OK] et B  [OC] Puisque (JB) // (KC) Alors d’après le théorème de Thalès : OJ OK = OB OC = JB KC D'une part, 2×4,5 5 = OJ = 1,8 cm. OJ 4,5 = 2 5 = 1 KC D'autre part, 1×5 2 = KC = 2,5 cm.

I  [OA] et J  [OB] Exercice 3.3 a. Les droites (1), (2), (3) et (4) sont parallèles. OJ=2,5 ; OB=4,8 ; IJ=1,6 MN=4,5 ; RS=1,2 ; BM=12,1 Déterminer les longueurs AB et OR (On arrondira le résultat au dixième). O A B I R S N (1) (2) (3) M J (4) Dans le triangle OAB, I  [OA] et J  [OB] Puisque (IJ) // (AB) Alors d’après le théorème de Thalès : OI OA = OJ OB = IJ AB OI OA = 2,5 4,8 = 1,6 AB 1,6×4,8 2,5 ≃ Donc AB = 3,1 cm.

R  [OM] et S  [ON] Exercice 3.3 a. Les droites (1), (2), (3) et (4) sont parallèles. OJ=2,5 ; OB=4,8 ; IJ=1,6 MN=4,5 ; RS=1,2 ; BM=12,1 Déterminer les longueurs AB et OR (On arrondira le résultat au dixième). O A B I R S N (1) (2) (3) M J (4) Dans le triangle OMN, R  [OM] et S  [ON] Puisque (RS) // (MN) Alors d’après le théorème de Thalès : OR OM = OS ON = RS MN OR 7,3 = OS ON = 1,2 4,5 OM = BM – OB 1,2×7,3 4,5 ≃ Donc OR = 1,9 cm. OM = 12,1 – 4,8 OM = 7,3 cm

M  [BC] et N  [AC] Exercice 3.4 ABC est un triangle tel que AB=6, AC=7 et BC=8. B A C b. Placer sur le segment [BC] le point M tel que : a. Faire une figure (l’unité est le cm). c. La parallèle à (AB) passant par M coupe [AC] en N. Calculer les longueurs CN et MN. BM= 3 4 BC BM= 3 4 ×8= N Dans le triangle ABC, 6 M  [BC] et N  [AC] Puisque (MN) // (AB) M Alors d’après le théorème de Thalès : CM CB = CN CA = MN AB 2 8 = CN 7 = MN 6 D'une part, CM = CB – BM 7×2 8 = CN = 1,75 cm. CM = 8 – 6 = 2 D'autre part, 6×2 8 = MN = 1,5 cm.

Exercice 3.5 Le joueur s’apprête à tirer un coup franc à 20 m du but. Le gardien de but adverse a placé un mur de joueurs à 9,15 m du ballon. Le tireur va botter le ballon si fort que sa trajectoire sera considérée comme rectiligne. a. Quelle devrait être la taille maximale des joueurs composant le mur pour que le tir soit cadré ? 2,44m 9,15m 20m h b. Si les joueurs mesuraient 1,80m, combien devrait mesurer la cage pour que le tir soit cadré ? c. A quelle distance du but devrait se trouver le tireur si le mur mesure 1,80m et la cage 2,44m ?

Exercice 4.1 - Ouest 2004 1. Construire le triangle EFG tel que EF = 12 cm, EG = 5 cm et FG = 13 cm. 2. Placer le point B sur le segment [EF] tel que EB = 7 cm. Tracer la droite passant par B et parallèle au coté [FG]. Elle coupe le coté [EG] en M. 3. Calculer la valeur exacte de BM, puis en donner l'arrondi au millimètre près.

Exercice 4.2 - Ouest 2005 Dans tout cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre. On considère la figure ci-dessous. Ses dimensions ne sont pas respectées et on ne demande pas de la représenter. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Les points O,B,D sont alignés, ainsi que les points O,A,C. On donne les mesures suivantes: OA = 8 ; OB = 6 ; OE = 10. O B D A C Calculer la longueur BD . La démarche suivie sera expliquée sur la copie.

Exercice 4.3 - Sud 2005 Sur le dessin ci-contre, les droites (AB) et (CD) sont parallèles, les points A, C, O, E sont alignés ainsi que les points B, D, O et F. (On ne demande pas de faire le dessin). De plus, on donne les longueurs suivantes : CO = 3 cm, AO = 3,5 cm, OB = 4,9 cm, CD = 1,8 cm, OF = 2,8 cm et OE = 2 cm. Calculer (en justifiant) OD et AB. B A C D O E F

Exercice 4.4 - Nantes 2000. La figure ci-dessous représente un champ rectangulaire ABCD traversé par une route de largeur uniforme (partie grise). On donne : AB = 100 m BC = 40 m AM = 24 m Les droites (AC) et (MN) sont parallèles. Calculer : 1.La longueur MB. 2.La longueur BN. A N D M B C

Exercice 4.5 - Grenoble 2000. L’unité est le centimètre. On considère le triangle ABC. Soit E un point du segment [AB] ; la parallèle à la droite (BC) passant par E coupe le segment [AC] au point D. On donne AE = BC = 3 et EB = AD = 2. Montrer que ED = 1,8. B E D C A

Exercice 4.6 - Paris 2000. ABCD est un parallélogramme : AB = 8 cm AD = 4,5 cm ; E est le point de la droite (AD) tel que AE=1,5cm et E n’est pas sur le segment [AD] ; La droite (EC) coupe le segment [AB] en M. Calculer AM. Exercice 4.6 - Paris 2000. ABCD est un parallélogramme : AB = 8 cm AD = 4,5 cm ; E est le point de la droite (AD) tel que AE=1,5cm et E n’est pas sur le segment [AD] ; La droite (EC) coupe le segment [AB] en M. Calculer AM. E D C B A M