Chapitre 3: Esquisser le graphique d’une fonction MCV4U

3.1: Les fonctions croissantes et décroissantes

Exploration Voir fiche

Fonction croissante/décroissante * La fonction est croissante lorsque: 𝑓′(𝑥)>0 La fonction est décroissante lorsque: 𝑓′(𝑥)<0

Exemple #1 (p.151) RA: Déterminer les intervalles Détermine les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction définie par 𝑓 𝑥 =2 𝑥 3 +3 𝑥 2 −36𝑥+5.

À ton tour! P.156 #2 a-c-e-g

Exemple #2 (p.153) RA: Utiliser la dérivée première pour esquisser une fonction Pour chaque fonction de la p.153, utilise le graphique de 𝑓′(𝑥) pour esquisser un graphique de 𝑓 𝑥 .

À ton tour! p.156 #5 a-c-e-g

Exemple #4 (p.155) RA: Utiliser la dérivée première pour esquisser une fonction. Esquisse le graphique d’une fonction continue pour chaque ensemble de conditions. 𝑓′(𝑥)>0 lorsque 𝑥<0, 𝑓′(𝑥)<0 lorsque 𝑥>0 et 𝑓 0 =4. 𝑓′(𝑥)>0 lorsque 𝑥<−1 et lorsque 𝑥>2, 𝑓′(𝑥)<0 lorsque −1<𝑥<2 et 𝑓 0 =0.

À ton tour! p.157 #6, 7, 9

3.2: Les maximums et minimums

Quelle catégorie pour chaque point? Maximum local Maximum absolu Minimum local Minimum absolu E A C D B

Quelle catégorie pour chaque point? Maximum local Maximum absolu Minimum local Minimum absolu C A, E B, D B E A C D B

Définitions * Maximum local: de croissant à décroissant. Minimum local: de décroissant à croissant. Maximum, minimum absolu: extremums locaux ou bornes de l’intervalle. Nombre critique: lorsque f’(a)=0 ou n’existe pas.

Exemple #1 (p.160) RA: Comparer le maximum local et le minimum local au maximum absolu et au minimum absolu. Soit le graphique d’une fonction sur l’intervalle 0<𝑥<10. Indique les points maximums locaux. Indique les points minimums locaux. Qu’ont en commun tous les points que tu as nommés en a) et en b)? Indique le maximum absolu et le minimum absolu sur l’intervalle 0< 𝑥<10.

À ton tour! p.163 #1

Exemple #2 (p.161) RA: Utiliser les nombres critiques pour déterminer le maximum absolu et le minimum absolu. Détermine le maximum absolu et le minimum absolu de la fonction 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟑 −𝟏𝟐𝒙−𝟑 dans l’intervalle −3≤𝑥≤4.

À ton tour! P.163 #2

Exemple #3 (p.161) RA: Trouver le volume maximal d’un objet. L’aire totale d’un contenant cylindrique est de 100 cm2. Son volume est défini par la fonction 𝑉=50𝑟−5 𝜋 3 , où r représente le rayon du cylindre, en centimètres. Calcule le volume maximal du cylindre dans chacun des cas. Le rayon ne peut dépasser 3 cm. Le rayon ne peut dépasser 2 cm.

À ton tour! p.163-4 #3, 5, 7

3.3: La concavité et le test de la dérivée seconde

Exemple #1 (p.169) RA: Identifier les intervalles de concavité. Détermine les points d’inflexion et les intervalles de concavité du graphique de 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 −6 𝑥 2 −5.

Question Quelle est la différence entre un point critique et un point d’inflexion?

Exemple #2 (p.170) RA: Faire le test de la dérivée seconde. Détermine les nombres critiques. Puis, utilise le test de la dérivée seconde pour déterminer s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum. 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −3 𝑥 2 +2 𝑓 𝑥 = 𝑥 4

À ton tour! p.174 #7 a-c

Exemple #3 (p.172) RA: Interpréter les dérivées pour esquisser le graphique d’une fonction. Esquisse le graphique d’une fonction qui satisfait à chaque ensemble de conditions. 𝑓 ′′ 𝑥 =−2 pour toutes les valeurs de 𝑥 et 𝑓 ′ 3 =0, 𝑓 ′ −3 =9. 𝑓′(𝑥)<0 lorsque 𝑥<−1, 𝑓′′(𝑥)>0 lorsque 𝑥>−1, 𝑓 ′ −3 =0 et 𝑓 ′ 1 =0. * Vous devez aussi être capable d’esquisser f’(x) et f’’(x) à partir de f(x).

À ton tour! P.174 #6 a-c-e

3.4: Les fonctions rationnelles simples

Exemple #1 (p.177) RA: Déterminer les asymptotes verticales. Soit la fonction 𝑓 𝑥 = 1 (𝑥+2)(𝑥−3) . …

Exemple #2 (p.180) RA: Calculer les dérivées des fonctions rationnelles. Soit la fonction définie par 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 2 +1 . Détermine les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction. Détermine tout point d’inflexion. Explique pourquoi le graphique ne croise jamais l’axe des 𝑥 et pourquoi il n’y a pas d’asymptotes verticales. Trace le graphique de la fonction.

Exercices p.183 #3, 4 b-c, 5

Exemple #3 (p.182) RA: Déterminer la concavité des fonctions rationnelles. Détermine les intervalles de concavité de 𝑓 𝑥 = −1 𝑥+2 .

À ton tour! p.183 #4, 5, 6, 9

Billet de sortie 𝑥 3 −6 𝑥 2 +9𝑥 𝑥 𝑥+3 Pour chacune des fonctions ci-dessus, détermine: Les points critiques. Les intervalles de croissance/décroissance. Les maximums/minimums locaux. Les points d’inflexion. les intervalles de concavité. 𝑥 3 −6 𝑥 2 +9𝑥 𝑥 𝑥+3

3.5: Réunir tous les éléments

Étapes pour esquisser le graphique d’une fonction polynôme * Domaine Coordonnées à l’origine Nombres critiques (et trouve si max ou min) Intervalles de croissance et décroissance Points d’inflexion et concavité Esquisse

Exemple #2 (p.187) RA: Analyser une fonction et esquisser son graphique. Analyse les caractéristiques de la fonction suivante, et esquisse son graphique. 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 −5 𝑥 3 + 𝑥 2 +21𝑥−18

Billet de sortie Analyse la fonction et esquisse son graphique: 𝑘 𝑥 =3 𝑥 3 +7 𝑥 2 +3𝑥−1.

3.6: Les problèmes d’optimisation

Exploration P.195 #1 à 6 (15 mins)

Méthode pour résoudre des problèmes d’optimisation Voir p.196.

Exemple #1 (p.196) Une sauveteuse dispose de 200 m de corde et de quelques bouées pour délimiter une aire rectangulaire destinée à la baignade dans un lac. La plage formera l’un des côtés du rectangle, et la corde formera les 3 autres côtés. Détermine les dimensions qui maximiseront l’aire réservée à la baignade: Si les dimensions n’ont aucune restriction. Si l’aire de baignade ne peut pas s’étendre à plus de 40 m de la plage en raison de la profondeur de l’eau.

Exemple #2 (p.198) Une boîte de carton dont la base est carrée a un volume de 8 L (voir figure dans le manuel). Détermine les dimensions qui vont minimiser la quantité de carton nécessaire à sa fabrication.

À ton tour! p.201 #4-5-6-7