Exercice 2 Soit la série statistique 5 ; 12 ; 4 ; 3 ; 7 ; 10 ; 1 ; 13 ; w. 1°) Déterminez w pour que l’écart-type soit de 5.

Exercice 2 Soit la série statistique 5 ; 12 ; 4 ; 3 ; 7 ; 10 ; 1 ; 13 ; w. 1°) Déterminez w pour que l’écart-type soit de 5. Prend-on la 1ère ou la 2ème formule ?

Prend-on la 1ère ou la 2ème formule ? 1ère formule 2ème formule ∑ ni (xi - µ)² ∑ ni xi² σ = = - µ² N N La …

Prend-on la 1ère ou la 2ème formule ? 1ère formule 2ème formule ∑ ni (xi - µ)² ∑ ni xi² σ = = - µ² N N La 2ème car l’inconnue w n’y sera écrite que 2 fois ( 1 fois dans xi et 1 fois dans µ ), alors que dans la 1ère elle y sera écrite 10 fois ( 1 fois dans xi et 9 fois dans µ qui dépend de w ).

∑ ni xi 5 + 12 + 4 + … + 1 + 13 + w 55 + w µ = = = N 9 9 ∑ ni xi² = 5² + 12² + 4² + … + 1² + 13² + w² = 513 + w² ∑ ni xi² 513+w² 55+w ² donc σ = - µ² = - N 9 9

On doit donc résoudre l’équation : 513+w² 55+w ² σ = - 9 9

On doit donc résoudre l’équation : 513+w² 55+w ² 513+w² (55+w)² σ = - = - 9 9 9 9²

On doit donc résoudre l’équation : 513+w² 55+w ² 513+w² (55+w)² σ = - = - 9 9 9 9² 513+w² 55² + 110w + w² = - 9 9²

On doit donc résoudre l’équation : 513+w² 55+w ² 513+w² (55+w)² σ = - = - 9 9 9 9² 513+w² 55² + 110w + w² = - 9 9² 9(513+w²) 55² + 110w + w² = - 9² 9²

On doit donc résoudre l’équation : 513+w² 55+w ² 513+w² (55+w)² σ = - = - 9 9 9 9² 513+w² 55² + 110w + w² = - 9 9² 9(513+w²) - (55² + 110w + w²) = 9²

On doit donc résoudre l’équation : 513+w² 55+w ² 513+w² (55+w)² σ = - = - 9 9 9 9² 513+w² 55² + 110w + w² = - 9 9² 9×513 + 9w² - 55² - 110w - w² = 9²

On doit donc résoudre l’équation : 513+w² 55+w ² 513+w² (55+w)² σ = - = - 9 9 9 9² 513+w² 55² + 110w + w² = - 9 9² 8w² - 110w + 1592 = 9²

On doit donc résoudre l’équation : 8w² - 110w + 1592 σ = 9²

On doit donc résoudre l’équation : 8w² - 110w + 1592 8w²-110w+1592 σ = σ² = 9² 9²

On doit donc résoudre l’équation : 8w² - 110w + 1592 8w²-110w+1592 σ = σ² = 9² 9² 9² σ² = 8w² - 110w + 1592

On doit donc résoudre l’équation : 8w² - 110w + 1592 8w²-110w+1592 σ = σ² = 9² 9² 9² σ² = 8w² - 110w + 1592 8w² - 110w + 1592 - 9² 5² = 0

On doit donc résoudre l’équation : 8w² - 110w + 1592 8w²-110w+1592 σ = σ² = 9² 9² 9² σ² = 8w² - 110w + 1592 8w² - 110w + 1592 - 9² 5² = 0 8w² - 110w – 433 = 0

On doit donc résoudre l’équation w tel que 8w² - 110w - 433 = 0 Δ = (- 110)² - 4 (8) (- 433) = 25956 ( qui n’est pas un carré ) Δ > 0 donc deux racines ( non rationnelles ). w1 = ( - (- 110) + √25956 ) / ( 2(8) ) = ( 110 + √25956 ) / 16 ≈ 16,944… et w2 = ( 110 - √25956 ) / 16 ≈ - 3,194…

2°) Déterminez w pour que l’écart-type soit minimal. On a déterminé à la question précédente : 8w² - 110w + 1592 σ = 9² On peut définir une fonction f définie par f(w) = σ car …

2°) Déterminez w pour que l’écart-type soit minimal. On a déterminé à la question précédente : 8w² - 110w + 1592 σ = 9² On peut définir une fonction f définie par f(w) = σ car chaque antécédent w est associé à une unique image σ

2°) Déterminez w pour que l’écart-type soit minimal.

2°) Déterminez w pour que l’écart-type soit minimal. σ = u u est appelée « la variance de la série » ( inutile en 1ère ).

2°) Déterminez w pour que l’écart-type soit minimal. σ = u u est appelée « la variance de la série » ( inutile en 1ère ). Elle existe toujours ( comme l’écart-type ) car …

2°) Déterminez w pour que l’écart-type soit minimal. σ = u u est appelée « la variance de la série » ( inutile en 1ère ). Elle existe toujours ( comme l’écart-type ) car c’est une somme de carrés ( formule n° 1 ).

2°) Déterminez w pour que l’écart-type soit minimal. σ = u u est appelée « la variance de la série » ( inutile en 1ère ) Elle existe toujours ( comme l’écart-type ) car c’est une somme de carrés ( formule n° 1 ). σ’ = fct fct dérivée x 1/( 2 x ) v ( x ) v ‘( x ) v ( u ) v ‘( u ) × u’

2°) Déterminez w pour que l’écart-type soit minimal. σ = u u est appelée « la variance de la série » ( inutile en 1ère ) Elle existe toujours ( comme l’écart-type ) car c’est une somme de carrés ( formule n° 1 ). 1 σ’ = × u’ 2 u fct fct dérivée x 1/( 2 x ) v ( x ) v ‘( x ) v ( u ) v ‘( u ) × u’

2°) Déterminez w pour que l’écart-type soit minimal. σ = u u est appelée « la variance de la série » ( inutile en 1ère ) Elle existe toujours ( comme l’écart-type ) car c’est une somme de carrés ( formule n° 1 ). 1 σ’ = × u’ u existe … ? 2 u

2°) Déterminez w pour que l’écart-type soit minimal. σ = u u est appelée « la variance de la série » ( inutile en 1ère ) Elle existe toujours ( comme l’écart-type ) car c’est une somme de carrés ( formule n° 1 ). 1 σ’ = × u’ u existe toujours car c’est σ 2 u

2°) Déterminez w pour que l’écart-type soit minimal. σ = u u est appelée « la variance de la série » ( inutile en 1ère ) Elle existe toujours ( comme l’écart-type ) car c’est une somme de carrés ( formule n° 1 ). 1 σ’ = × u’ u existe toujours car c’est σ 2 u et … ?

2°) Déterminez w pour que l’écart-type soit minimal. σ = u u est appelée « la variance de la série » ( inutile en 1ère ) Elle existe toujours ( comme l’écart-type ) car c’est une somme de carrés ( formule n° 1 ). 1 σ’ = × u’ u existe toujours car c’est σ 2 u et n’est nulle que pour ... ?

2°) Déterminez w pour que l’écart-type soit minimal. σ = u u est appelée « la variance de la série » ( inutile en 1ère ) Elle existe toujours ( comme l’écart-type ) car c’est une somme de carrés ( formule n° 1 ). 1 σ’ = × u’ u existe toujours car c’est σ 2 u et n’est nulle que pour une série constante.

2°) Déterminez w pour que l’écart-type soit minimal. σ = u u est appelée « la variance de la série » ( inutile en 1ère ) Elle existe toujours ( comme l’écart-type ) car c’est une somme de carrés ( formule n° 1 ). 1 σ’ = × u’ u existe toujours car c’est σ 2 u et n’est nulle que pour une série constante. 1, 2 et une racine sont positives

2°) Déterminez w pour que l’écart-type soit minimal. σ = u u est appelée « la variance de la série » ( inutile en 1ère ) Elle existe toujours ( comme l’écart-type ) car c’est une somme de carrés ( formule n° 1 ). 1 σ’ = × u’ u existe toujours car c’est σ 2 u et n’est nulle que pour une série constante. 1, 2 et une racine sont positives donc σ’ est du signe de u’

σ’ est du signe de u’ u = ( 8w² - 110w + 1592 ) /9² donc u’ = ( 16w – 110 )/9² qui s’annule en 110/16 w - ∞ 110/16 + ∞ σ’(w) - 0 +

σ’ est du signe de u’ u = ( 8w² - 110w + 1592 ) /9² donc u’ = ( 16w – 110 )/9² qui s’annule en 110/16 Théorème de la monotonie : w - ∞ 110/16 + ∞ σ’(w) - 0 + σ(w)

σ’ est du signe de u’ u = ( 8w² - 110w + 1592 ) /9² donc u’ = ( 16w – 110 )/9² qui s’annule en 110/16 Théorème de la monotonie : Donc l’écart-type est minimal pour w = 110/16 = 55/8 w - ∞ 110/16 + ∞ σ’(w) - 0 + σ(w)

Cette valeur 55/8 n’a-t-elle pas déjà été vue dans cet exercice ? C’est …

Cette valeur 55/8 n’a-t-elle pas déjà été vue dans cet exercice ? C’est la moyenne de la sous-série ( la série dont on a enlevé w ).

Cette valeur 55/8 n’a-t-elle pas déjà été vue dans cet exercice ? C’est la moyenne de la sous-série ( la série dont on a enlevé w ). ∑ ni xi 5 + 12 + 4 + … + 1 + 13 + w 55 + w µ = = = N 9 8 + 1

Cette valeur 55/8 n’a-t-elle pas déjà été vue dans cet exercice ? C’est la moyenne de la sous-série ( la série dont on a enlevé w ). ∑ ni xi 5 + 12 + 4 + … + 1 + 13 + w 55 + w µ = = = N 9 8 + 1 55 µs/s = 8

Trouve-t-on dans tous les exercices w = µs/s ? C’est l’objet du DM suivant … Soit une série statistique d'effectif N constituée de valeurs connues ( pour cette sous-série on nommera S la somme de ses valeurs et C la somme de ses carrés ) et d'une valeur inconnue w. Démontrez que la valeur w rendant l'écart-type de la série minimal est la moyenne de la sous-série.