Utiliser le théorème de Thalès

Lors d’un voyage en Egypte, Thalès de Milet (-624 ;-546) aurait mesuré la hauteur de la pyramide de Kheops par un rapport de proportionnalité avec son ombre. Citons : « Le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne. » Par une relation de proportionnalité, il obtient la hauteur de la pyramide grâce à la longueur de son ombre. L'idée ingénieuse de Thalès est la suivante : «  A l'instant où mon ombre sera égale à ma taille, l'ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur. »

I. Théorème de Thalès 1) Les configurations Situation classique Situation papillon

2) L’énoncé du théorème Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de (d ), distincts de A. Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles Alors Remarque : Ce théorème permet, entre autre, de calculer des longueurs.

EB = 2 cm, BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm. Exemple : Calculer BR et EA. Donner une valeur exacte et éventuellement une valeur approchée à 0,01 centimètre près. E D C P R B A (EA)//(PR)//(CD) EB = 2 cm, BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm. 1 ) Comme P appartient à (BC), R appartient à (BD) (PR) et (CD) sont parallèles, d’après le théorème de Thalès on a : BR = 5 x 4 ÷ 6 (produit en croix) = cm  3,33 cm.

2) Comme E appartient à (BD) A appartient à (BC) (EA) et (CD) sont parallèles d’après le théorème de Thalès on a : EA = 6 x 2 ÷ 5 (produit en croix) = 2,4 cm.

Réciproque du théorème de Thalès Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de (d ), distincts de A. Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A. Si et si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Remarque : Cette réciproque permet de démontrer que des droites sont parallèles. Nous admettons désormais que cette réciproque est connue pour pouvoir l’utiliser.

Exemples : 1) Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ? . . B C P R D E 1,5 A 3 4,5 2 4 2,5 . On a et donc . De plus les points A, C et E sont alignés dans le même ordre que les points B, C et D . d’après la réciproque du théorème de Thalès, (AB) et (DE) sont parallèles.

2) Les droites (PR) et (DE) sont-elles parallèles ? B C P R D E 1,5 A 3 4,5 2 4 2,5 On a et donc On ne peut pas utiliser la réciproque du théorème de Thalès. (PR) et (DE) ne sont pas parallèles.

III. Homothéties Une homothétie de rapport k (avec k nombre relatif non nul) permet d’agrandir ou de réduire une figure à partir d’un point choisi comme centre, dans le rapport k si k > 0 et dans le rapport -k si k < 0. Exemples : A A est le centre de l’homothétie B et B’ (ainsi que C et C’ ) sont alignés avec A du même côté par rapport à A B ‘ C ‘ B C Conclusion: AB’C’ est l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre A et de rapport + 0,5

D C B et B’ (ainsi que C et C’; D et D’ ) sont alignés avec A de part et d’autre de A B ‘ B A A est le centre de l’homothétie D ‘ C ‘ Conclusion: AB’C’ D’est l’image du rectangle ABC par l’homothétie de centre A et de rapport - 3