Réciproque d’une fonction dérivable

Réciproque d’une fonction Une fonction y = f(x) désigne un ensemble f de couples (x ; y) tel que si (x ; y) et (x ; z) lui appartiennent alors y = z. Dans une fonction, chaque antécédent à une image unique. On écrit recf l’ensemble des couples (y ; x) tels que (x ; y) soit dans f. Attention ! recf n’est pas toujours une fonction ! Exemple : y = x2 est l’ensemble des couples (x ; x2). La réciproque rec(y = x2) est l’ensemble des couples (x2 ; x). Par exemple les couples (9 ; 3) et (9 ; -3) sont dans rec(y = x2). On voit là qu’un même antécédent a deux images distinctes. La fonction y = x n’est pas rec(y = x2) parce que la racine carrée d’un nombre, si elle existe, est unique. Soit f une fonction strictement croissante ou décroissante. Alors recf est aussi une fonction. Si x < z alors f(x) < ou > f(z). Raisonnons sur la croissance (signe <). Un raisonnement sur la décroissance nous donnerait la même conclusion. Soient (u ; v) et (u ; w) de recf. Alors (v ; u) et (w ; u) sont dans f, donc u = f(v) et u = f(w). Chez les nombres nous avons l’ubiquité des inégalités. Cela veut dire que soit v = w, soit v < w et alors on aurait f(v) < f(w) donc u < u (contradiction), soit w < v et alors on aurait f(w) < f(v) donc u < u (nouvelle contradiction). Soient (u ; v) et (u ; w) sont dans recf, alors on a v = w : recf est bel et bien une fonction.

Réciproque d’une fonction Soit f une fonction strictement croissante ou décroissante. Sa réciproque a toujours la même propriété. Soit f une fonction strictement croissante ou décroissante. Si x < z alors f(x) < ou > f(z). Raisonnons sur la croissance (signe <). Un raisonnement sur la décroissance nous donnerait la même conclusion. Soient (u ; v) et (x ; w) de recf tels que u < x. Alors (v ; u) et (w ; x) sont dans f, ce qu’on écrit f(v) = u et f(w) = x . Chez les nombres nous avons l’ubiquité des inégalités. Cela veut dire que soit v = w donc u = x (contradiction), soit v < w et alors on aurait f(v) < f(w) donc u < x, soit w < v et alors on aurait f(w) < f(v) donc x < u (nouvelle contradiction). Soient (u ; v) et (x ; w) dans recf, tels que u < x alors on a v < w : recf est bel et bien une fonction strictement croissante. Si f est une fonction strictement croissante ou décroissante, alors il en est de même pour recf et nous avons l’équivalence f(x) = y  (x ; y) est dans f  (y ; x) est dans recf  recf(y) = x. D’où les formules recf(f(x)) = x et f(recf(y)) = y.

Réciproque d’une fonction dérivable Supposons la fonction f dérivable et strictement croissante ou décroissante autour d’une valeur x. Définissons : y + k = f(x + h) et y = f(x). Alors recf(y + k) = x + h et recf(y) = x. Rappel : f ’(x) = limh → 0 f(x + h) – f(x) h On sait que si k → 0 alors recf(y + k) → recf(y). et que que si k → 0 alors h → 0. h = (x + h) – x = recf(y + k) - recf(y) f(x + h) – f(x) = (y + k) – y = k 1 f ’(x) = limh → 0 f(x + h) – f(x) h recf(y + k) - recf(y) = limk → 0 k = recf ’(y) La dérivée d’une réciproque dérivable et de dérivée non nulle est l’inverse de cette dérivée. Application : Si on a l’équation d’une tangente dy = f ’(x) dx et si la dérivée f ’(x) n’est pas nulle alors nous avons l’équation dx = 1 f ’(x) dy