Exercice 1 : 1°) ABCD un quadrilatère quelconque, et les 4 milieux M, N, P et Q des côtés. Démontrez que MNPQ est un…

1°) ABCD un quadrilatère quelconque, et les 4 milieux M, N, P et Q des côtés. Démontrez que MNPQ est un… M B A N C Q P D

1°) ABCD un quadrilatère quelconque, et les 4 milieux M, N, P et Q des côtés. Démontrez que MNPQ est un parallélogramme. M B A N C Q P D

Dans le triangle ABD, M et Q sont les milieux donc d’après Thalès (MQ) et (BD) sont parallèles. M B A N C Q P D

Dans le triangle CBD, N et P sont les milieux donc d’après Thalès (NP) et (BD) sont parallèles. M B A N C Q P D

Deux droites (NP) et (QM) parallèles à une troisième (DB) sont parallèles entre elles, donc (NP) // (QM). M B A N C Q P D

Même méthode pour démontrer que (NM) // (QP). M B A N C Q P D

On a donc (NM) // (QP) et (QM) // (PN). M B A N C Q P D

On a donc (NM) // (QP) et (QM) // (PN) On a donc (NM) // (QP) et (QM) // (PN). Les 4 côtés sont parallèles 2 à 2, donc le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme. M B A N C Q P D

1°) Démonstration par les vecteurs en géométrie vectorielle ( sans coordonnées )

1°) Démonstration par les vecteurs en géométrie vectorielle ( sans coordonnées ) M B A N C Q P D

On veut démontrer : M B A N C Q P D

On veut démontrer : MN = QP M B A N C Q P D

M est le milieu de [AB] donc … N est le milieu de [CB] donc … Donc MN = MA + … = … M B A N C Q P D

M est le milieu de [AB] donc AM = ½ AB N est le milieu de [CB] donc BN = ½ BC Donc MN = MA + AB + BN d’après Chasles = - AM + AB + BN = - ½ AB + AB + ½ BC = - ½ AB + 2/2 AB + ½ BC = ½ AB + ½ BC = ½ ( AB + BC ) = ½ AC d’après Chasles

Même méthode Pour QP = QD + DC + CP d’après Chasles = QD + DC + CP = - ½ AD + DC + ½ CD = ½ AD + 2/2 DC - ½ DC = ½ AD + ½ DC M B = ½ ( AD + DC ) A N = ½ AC Q C D P

On a donc : MN = ½ AC et QP = ½ AC donc MN = QP donc MNPQ est un parallélogramme.

1°) Démonstration par les vecteurs en géométrie analytique ( avec coordonnées )

1°) Démonstration par les vecteurs en géométrie analytique ( avec coordonnées ) M B A N C Q P D

Prenons le repère ( A ; AB ; AD ) M B A N C Q P D

C’est un repère du plan car… M B A N C Q P D

C’est un repère du plan car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires ( ils n’ont pas la même direction ). M B A N C Q P D

S’ils étaient de même direction, on ne pourrait repérer... M B A N C Q P D

S’ils étaient de même direction, on ne pourrait repérer que les points de la droite (AB). M B A N C Q P D

Dans le repère ( A ; AB ; AD ), C a pour coordonnées ( a ; b ) signifie … M B A N C Q P D

Dans le repère ( A ; AB ; AD ), C a pour coordonnées ( a ; b ) signifie AC = a AB + b AD M B A N C Q P D

ABCD n’étant pas un parallélogramme, le point C est indépendant de A, B et D, donc … M B A N C Q P D

ABCD n’étant pas un parallélogramme, le point C est indépendant de A, B et D, donc … C M B A N C Q P D C C

ABCD n’étant pas un parallélogramme, le point C est indépendant de A, B et D, donc ses coordonnées aussi. Notons les C( a ; b ). C M B A N C Q P D C C

Dans le repère ( A ; AB ; AD ), A a pour coordonnées ( x ; y ) signifie AA = 0 AB + 0 AD donc A( 0 ; 0 ) M B A N C Q P D

Dans le repère ( A ; AB ; AD ), B a pour coordonnées ( x ; y ) signifie AB = 1 AB + 0 AD donc B( 1 ; 0 ) M B A N C Q P D

Dans le repère ( A ; AB ; AD ), D a pour coordonnées ( x ; y ) signifie AD = 0 AB + 1 AD donc D( 0 ; 1 ) M B A N C Q P D

Coordonnées : on connaît pour le moment : B C D M N P Q AB 1 a AD b

Coordonnées des milieux M milieu de [AB] donc M…

Coordonnées des milieux M milieu de [AB] donc M( ( xA + xB )/2 ; (yA + yB )/2 ) = ...

Coordonnées des milieux M milieu de [AB] donc M( ( xA + xB )/2 ; (yA + yB )/2 ) = ( (0+1)/2 ; (0+0)/2 ) M( 1/2 ; 0 )

Coordonnées des milieux M milieu de [AB] donc M( ( xA + xB )/2 ; ( yA + yB )/2 ) = ( (0+1)/2 ; (0+0)/2 ) M( 1/2 ; 0 ) Q milieu de [AD] donc Q( ( xA + xD )/2 ; ( yA + yD )/2 ) = ( (0+0)/2 ; (0+1)/2 ) Q( 0 ; 1/2 )

Coordonnées des milieux N milieu de [CB] donc N( ( xC + xB )/2 ; ( yC + yB )/2 ) = ( (a+1)/2 ; (b+0)/2 ) N( (a+1)/2 ; b/2 ) P milieu de [CD] donc P( ( xC + xD )/2 ; ( yC + yD )/2 ) = ( (a+0)/2 ; (b+1)/2 ) P( a/2 ; (b+1)/2 )

Coordonnées : A B C D M N P Q AB 1 a ½ (a+1)/2 a/2 AD b b/2 (b+1)/2 1 a ½ (a+1)/2 a/2 AD b b/2 (b+1)/2 1/2

Coordonnées : MNPQ est un parallélogramme si … A B C D M N P Q AB 1 a 1 a ½ (a+1)/2 a/2 AD b b/2 (b+1)/2 1/2

Coordonnées : MNPQ est un parallélogramme si MN = QP A B C D M N P Q 1 a ½ (a+1)/2 a/2 AD b b/2 (b+1)/2 1/2

Coordonnées : MN = …. QP = …. A B C D M N P Q AB 1 a ½ (a+1)/2 a/2 AD 1 a ½ (a+1)/2 a/2 AD b b/2 (b+1)/2 1/2

Coordonnées : on connaît pour le moment : MN = ( xN + xM ; yN - yM ) = … QP = … A B C D M N P Q AB 1 a ½ (a+1)/2 a/2 AD b b/2 (b+1)/2 1/2

Coordonnées : on connaît pour le moment : MN = ( (a+1)/2 – ½ ; b/2 – 0 ) = ( a/2 ; b/2 ) QP = ( a/2 – 0 ; (b+1)/2 – ½ ) = ( a/2 ; b/2 ) MN = QP donc MNPQ est un parallélogramme. A B C D M N P Q AB 1 a ½ (a+1)/2 a/2 AD b b/2 (b+1)/2 1/2

Coordonnées : on connaît pour le moment : MN = ( (a+1)/2 – ½ ; b/2 – 0 ) = ( a/2 ; b/2 ) QP = ( a/2 – 0 ; (b+1)/2 – ½ ) = ( a/2 ; b/2 ) A B C D M N P Q AB 1 a ½ (a+1)/2 a/2 AD b b/2 (b+1)/2 1/2

2°) Quel doit être le quadrilatère ABCD pour que MNPQ soit un losange 2°) Quel doit être le quadrilatère ABCD pour que MNPQ soit un losange ? M B A N C Q P D

2°) Quel doit être le quadrilatère ABCD pour que MNPQ soit un losange 2°) Quel doit être le quadrilatère ABCD pour que MNPQ soit un losange ? Il semble que ABCD doive être un … M B A N C Q P D

2°) Quel doit être le quadrilatère ABCD pour que MNPQ soit un losange 2°) Quel doit être le quadrilatère ABCD pour que MNPQ soit un losange ? Il semble que ABCD doive être un trapèze isocèle. B M N A C Q P D

2°) Quel doit être le quadrilatère ABCD pour que MNPQ soit un losange 2°) Quel doit être le quadrilatère ABCD pour que MNPQ soit un losange ? Il semble que ANCD doive être un trapèze isocèle. B M N A C Q P D

2°) Quel doit être le quadrilatère ABCD pour que MNPQ soit un losange 2°) Quel doit être le quadrilatère ABCD pour que MNPQ soit un losange ? Il semble que ANCD doive être ou un rectangle. B M N A C Q P D

2°) Quel doit être le quadrilatère ABCD pour que MNPQ soit un losange 2°) Quel doit être le quadrilatère ABCD pour que MNPQ soit un losange ? Il semble que ANCD doive être ou un quadrilatère quelconque. B M A N C Q P D

2°) On a démontré dans la question 1°) que (MQ) et (BD) sont parallèles, donc d’après Thalés AQ/AD = AM/AB = QM/DB. M B A N C Q P D

2°) AQ/AD = AM/AB = QM/DB. M et N sont les milieux donc ½ = ½ = QM/DB Donc DB = 2 QM M B A N C Q P D

Même méthode pour obtenir : DB = 2 PN M B A N C Q P D

On a donc DB = 2 QM et DB = 2 PN MNPQ est un parallélogramme donc PN = QM donc les deux équations ne donnent qu’une seule information. Donc DB = 2 QM = 2 PN M B A N C Q P D

Même méthode pour obtenir : AC = 2 QP = 2 MN M B A N C Q P D

MNPQ est un losange, donc MQ = MN M B A N C Q P D

MNPQ est un losange, donc MQ = MN Donc AC = 2 MN et DB = 2 QM donne … M B A N C Q P D

MNPQ est un losange, donc MQ = MN Donc AC = 2 MN et DB = 2 QM donne AC = DB M B A N C Q P D

Pour que MNPQ soit un losange, il faut que ABCD soit un quadrilatère … M B A N C Q P D

Pour que MNPQ soit un losange, il faut que ABCD soit un quadrilatère aux deux diagonales de même longueur. Donc un … B M A N C Q P D

Pour que MNPQ soit un losange, il faut que ABCD soit un quadrilatère aux deux diagonales de même longueur. Donc un trapèze isocèle, ou … B M A N C Q P D

Pour que MNPQ soit un losange, il faut que ABCD soit un quadrilatère aux deux diagonales de même longueur. Donc un trapèze isocèle, ou … B M A N C Q P D

Pour que MNPQ soit un losange, il faut que ABCD soit un quadrilatère aux deux diagonales de même longueur. Donc un trapèze isocèle , ou un rectangle, ou un… B M A N Q C P D

Pour que MNPQ soit un losange, il faut que ABCD soit un quadrilatère aux deux diagonales de même longueur. Donc un trapèze isocèle , ou un rectangle, ou un quadrilatère quelconque. M A B N C Q P D