II Sens de variations d’une fonction en utilisant une fonction auxiliaire Parfois, les signes d’une dérivée ne peuvent être déterminés sans que l’on étudie une autre fonction, appelée fonction auxiliaire, donnée dans l’énoncé.

II Sens de variations d’une fonction en utilisant une fonction auxiliaire Parfois, les signes d’une dérivée ne peuvent être déterminés sans que l’on étudie une autre fonction, appelée fonction auxiliaire, donnée dans l’énoncé. Exercice 2 : Soient les fonctions f et g définies sur ] - ∞ ; 0 ] par f(x) = ( 2x3 + 9 ) / ( x – 1 ) et g(x) = 4x3 – 6x² – 9 1°) Déterminez les sens de variation et les signes de g. 2°) Déduisez-en les sens de variation de f.

Exercice 2 : 1°) g(x) = 4x3 – 6x² – 9 g ‘(x) = 4 ( 3x² ) – 6 (2x) – (0) = 12x² - 12x g ‘(x) = 0 12x² - 12x = 0 12x ( x – 1 ) = 0 x = 0 ou x = 1 ( la factorisation a évité de faire la méthode du discriminant ) Pour x dans ] - ∞ ; 0 [, x < 0 et x – 1 < 0 donc g ‘(x) > 0 donc g est strictement croissante sur ] - ∞ ; 0 ]. g(0) = - 9 et g croissante donc g(x) < O pour tous les x de Dg. x - ∞ 0 g ‘(x) + 0 g(x) - 9

Exercice 2 : 2°) f(x) = ( 2x3 + 9 ) / ( x – 1 ) u ’ u’v – v’u 6x²(x-1) – 1( 2x3 + 9 ) 6x3 - 6x² – 2x3 - 9 f ‘(x) = = = = v v² ( x – 1 )² ( x – 1 )² = g(x) / ( x – 1 )² g(x) < O pour tous les x de ] - ∞ ; 0 ] d’après la question 1°), et un carré est toujours positif, donc f ‘(x) < 0 pour tous les x de ] - ∞ ; 0 ] donc f est strictement décroissante. x - ∞ 0 f ‘(x) - f(x)

Exercice 3 : Soient la fonction f définie sur R par f(x) = - 3x4 + 8x3 – 24x² + 252x - 120 Déterminez f ‘(3) et les sens de variation de f ‘ pour en déduire les sens de variation et un extremum de f.

Exercice 3 : f(x) = - 3x4 + 8x3 – 24x² + 252x - 120 Déterminez f ‘(3) et les sens de variation de f ‘ pour en déduire les sens de variation et un extremum de f. Les sens de variation de f ‘ seront obtenus par …

Exercice 3 : f(x) = - 3x4 + 8x3 – 24x² + 252x - 120 Déterminez f ‘(3) et les sens de variation de f ‘ pour en déduire les sens de variation et un extremum de f. Les sens de variation de f ‘ seront obtenus par les signes de ( f ‘ )’ que l’on note f ‘’ et nommée « f prime prime » ou « f seconde ». f ‘(x) = ... f ‘’(x) = ...

Exercice 3 : f(x) = - 3x4 + 8x3 – 24x² + 252x - 120 Déterminez f ‘(3) et les sens de variation de f ‘ pour en déduire les sens de variation et un extremum de f. Les sens de variation de f ‘ seront obtenus par les signes de ( f ‘ )’ que l’on note f ‘’ et nommée « f prime prime » ou « f seconde ». f ‘(x) = - 3 ( 4x3 ) + 8 ( 3x² ) – 24 ( 2x ) + 252(1) – (0) = - 12x3 + 24x² – 48x + 252 f ‘’(x) = - 12(3x²) + 24(2x) – 48(1) + (0) = - 36x² + 48x – 48 Δ = (48)² - 4 (- 36) (- 48) = - 4608 Δ < 0 donc pas de racines et le polynôme est toujours du signe de a = - 36 < 0 donc f ‘’(x) < 0 sur R, donc f ‘ est strictement décroissante sur R.

Exercice 3 : f(x) = - 3x4 + 8x3 – 24x² + 252x - 120 f ‘’(x) < 0 sur R, donc f ‘ est strictement décroissante sur R. x - ∞ + ∞ f ‘‘(x) - f ‘(x)

Exercice 3 : f(x) = - 3x4 + 8x3 – 24x² + 252x - 120 f ‘’(x) < 0 sur R, donc f ‘ est strictement décroissante sur R. f ‘(3) = - 12(33) + 24(3²) – 48(3) + 252 = 0 et comme f ‘ est décroissante, on en déduit que f ‘(x) > 0 sur ] - ∞ ; 3 [ et f ‘(x) < 0 sur ] 3 ; + ∞ [, x - ∞ 3 + ∞ f ‘‘(x) - f ‘(x) + 0

Exercice 3 : f(x) = - 3x4 + 8x3 – 24x² + 252x - 120 f ‘(x) = - 12x3 + 24x² – 48x + 252 f ‘’(x) = - 36x² + 48x – 48 f ‘’(x) < 0 sur R, donc f ‘ est strictement décroissante sur R. f ‘(3) = - 12(33) + 24(3²) – 48(3) + 252 = 0 et comme f ‘ est décroissante, on en déduit que f ‘(x) > 0 sur ] - ∞ ; 3 [ et f ‘(x) < 0 sur ] 3 ; + ∞ [, donc f strictement croissante sur ] - ∞ ; 3 [ et strictement décroissante sur ] 3 ; + ∞ [. x - ∞ 3 + ∞ f ‘‘(x) - f ‘(x) + 0

Exercice 3 : f(x) = - 3x4 + 8x3 – 24x² + 252x - 120 f ‘(x) = - 12x3 + 24x² – 48x + 252 f ‘’(x) = - 36x² + 48x – 48 f ‘’(x) < 0 sur R, donc f ‘ est strictement décroissante sur R. f ‘(x) < 0 sur ] 3 ; + ∞ [ donc f y est str. décroissante. x - ∞ 3 + ∞ f ‘‘(x) - f ‘(x) + 0 + 0 - f(x)

Exercice 3 : f(x) = - 3x4 + 8x3 – 24x² + 252x - 120 f ‘(x) = - 12x3 + 24x² – 48x + 252 f ‘’(x) = - 36x² + 48x – 48 f ‘’(x) < 0 sur R, donc f ‘ est strictement décroissante sur R. f ‘(x) < 0 sur ] 3 ; + ∞ [ donc f y est str. décroissante. f admet un maximum 393 atteint en 3. x - ∞ 3 + ∞ f ‘‘(x) - f ‘(x) + 0 + 0 - f(x) 393

Exercice 3 bis : f(x) = x5 + 10x4 + 41x3 – 5x² + x + 1 f est définie sur [ - 5 ; 0 ]. Déterminez les signes de f ‘’’‘ pour en déduire les sens de variation de f.

Exercice 3 bis : f(x) = x5 + 10x4 + 41x3 – 5x² + x + 1 f est définie sur [ - 5 ; 0 ]. Déterminez les signes de f ‘’’‘ pour en déduire les sens de variation de f. f ‘(x) = 5x4 + 40x3 + 750x² - 10x + 1

Exercice 3 bis : f(x) = x5 + 10x4 + 41x3 – 5x² + x + 1 f est définie sur [ - 5 ; 0 ]. Déterminez les signes de f ‘’’‘ pour en déduire les sens de variation de f. f ‘(x) = 5x4 + 40x3 + 750x² - 10x + 1 f ‘’(x) = 20x3 + 120x² + 1500x – 10

Exercice 3 bis : f(x) = x5 + 10x4 + 41x3 – 5x² + x + 1 f est définie sur [ - 5 ; 0 ]. Déterminez les signes de f ‘’’‘ pour en déduire les sens de variation de f. f ‘(x) = 5x4 + 40x3 + 750x² - 10x + 1 f ‘’(x) = 20x3 + 120x² + 1500x – 10 f ‘’’(x) = 60x² + 240x + 1500

Exercice 3 bis : f(x) = x5 + 10x4 + 41x3 – 5x² + x + 1 f est définie sur [ - 5 ; 0 ]. Déterminez les signes de f ‘’’‘ pour en déduire les sens de variation de f. f ‘(x) = 5x4 + 40x3 + 123x² - 10x + 1 f ‘’(x) = 20x3 + 120x² + 246x – 10 f ‘’’(x) = 60x² + 240x + 246 f ‘’’’(x) = 120x + 240

Exercice 3 bis : f(x) = x5 + 10x4 + 41x3 – 5x² + x + 1 - 5 0 f ‘’’’(x)

Exercice 3 bis : f(x) = x5 + 10x4 + 41x3 – 5x² + x + 1 - 5 - 2 0 f ‘’’’(x) - 0 +

Exercice 3 bis : f(x) = x5 + 10x4 + 41x3 – 5x² + x + 1 - 5 - 2 0 f ‘’’(x) f ‘’’’(x) - 0 +

Exercice 3 bis : f(x) = x5 + 10x4 + 41x3 – 5x² + x + 1 - 5 - 2 0 f ‘’’(x) 6 f ‘’’’(x) - 0 +

Exercice 3 bis : f(x) = x5 + 10x4 + 41x3 – 5x² + x + 1 - 5 - 2 0 f ‘’’(x) + + 6 f ‘’’’(x) - 0 +

Exercice 3 bis : f(x) = x5 + 10x4 + 41x3 – 5x² + x + 1 - 5 - 2 0 f ‘’(x) f ‘’’(x) + + 6 f ‘’’’(x) - 0 +

Exercice 3 bis : f(x) = x5 + 10x4 + 41x3 – 5x² + x + 1 - 5 - 2 0 f ‘’(x) - 10 f ‘’’(x) + + 6 f ‘’’’(x) - 0 +

Exercice 3 bis : f(x) = x5 + 10x4 + 41x3 – 5x² + x + 1 - 5 - 2 0 f ‘’(x) - - - 10 f ‘’’(x) + + 6 f ‘’’’(x) - 0 +

Exercice 3 bis : f(x) = x5 + 10x4 + 41x3 – 5x² + x + 1 - 5 - 2 0 f ‘(x) f ‘’(x) - - - 10 f ‘’’(x) + + 6 f ‘’’’(x) - 0 +

Exercice 3 bis : f(x) = x5 + 10x4 + 41x3 – 5x² + x + 1 - 5 - 2 0 f ‘(x) 1 f ‘’(x) - - - 10 f ‘’’(x) + + 6 f ‘’’’(x) - 0 +

Exercice 3 bis : f(x) = x5 + 10x4 + 41x3 – 5x² + x + 1 - 5 - 2 0 f ‘(x) + + 1 f ‘’(x) - - - 10 f ‘’’(x) + + 6 f ‘’’’(x) - 0 +

Exercice 3 bis : f(x) = x5 + 10x4 + 41x3 – 5x² + x + 1 - 5 - 2 0 f (x) f ‘(x) + + 1 f ‘’(x) - - - 10 f ‘’’(x) + + 6 f ‘’’’(x) - 0 +