3g2 Théorème de Thales cours mathalecran d'après www.mathsenligne.com

a. Configuration de Thalès : I. Théorème de Thalès. a. Configuration de Thalès : A B C M N Voici les 3 configurations de Thalès « classiques » : A B C M N A B C M N b. Énoncé du théorème : Situation Soient deux droites (MB) et (NC) sécantes en A . Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, Hypothèse AM AB = AN AC = MN BC Conclusion Alors

II. Réciproque de Thalès. a. Énoncé du théorème : Situation Soient des points A, B, M et des points A, C, N alignés dans le même ordre, AM AB = AN AC Hypothèse Si Conclusion Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

b.Exemple d’utilisation : ABC est un triangle tel que : AB = 8cm ;AC = 6cm ; BC = 4cm M et N sont respectivement des points de [AB] et [AC] tels que AM = 6cm et AN = 4,5 cm. Démontrer que (BC) // (MN). A B C M N AM AB = 6 8 = D'une part, 0,75 AM AB = AN AC Donc, calculs AN AC = 4,5 6 = D'autre part, 0,75 Les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre, AM AB = AN AC Application de la réciproque Puisque , Alors, d'aprés la réciproque de Thalès, Les droites (AB) et (MN) sont parallèles.

a. En utilisant la propriété de Thalès, calculer le rapport . Activité 3.1 Les deux axes gradués sont parallèles et ont la même unité de longueur. Ils ne sont pas orientés. A B C1 C2 A’1 A’2 B’ a. En utilisant la propriété de Thalès, calculer le rapport . 2 C 1 A C 1 B (AB) et (A1'B') sont sécantes en C1. 2 Puisque (AA1') // (BB') 5 5 Alors, d'aprés le théorème de Thalès, C 1 A C 1 B = C 1 A ′ 1 C 1 B′ = AA ′ 1 BB′ C 1 A C 1 B = 2 5 donc b. En utilisant la propriété de Thalès, calculer le rapport . C 2 A C 2 B (AB) et (A2'B') sont sécantes en C2. Puisque (AA1') // (BB') alors, d'aprés le théorème de Thalès, C 2 A C 2 B = C 2 A ′ 2 C 2 B′ = AA ′ 2 BB′ C 2 A C 2 B = 2 5

On donne deux points A et B distincts. Activité 3.2 On donne deux points A et B distincts. Le but de l’exercice est de trouver tous les points C de la droite (AB) vérifiant l’égalité : = 1. Vérifier que sur cette figure, les points D, E, F et G ne répondent pas au problème posé. CA CB 3 4 A B E D G F 2 2 DA DB = FA FB = Aucun de ces rapports n'est égal à . 5 1 3 4 1 4 EA EB = GA GB = 2 1

Activité 3.2 2. Pour résoudre le problème, on va essayer de construire une (ou plusieurs, si c’est possible) figure « de Thalès », dans laquelle les deux parallèles passeront par A et B. En plaçant judicieusement A’ et B’ sur chaque parallèle, on aura l’égalité des 3 rapports : Le point C, intersection des droites (AB) et (A’B’) vérifiera nécessairement le problème. CA CB = CA′ CB′ = AA′ BB′ = 3 4 Au tableau a. Tracer la droite (AB). b. Tracer deux droites () et (’) parallèles passant respectivement par A et B. c. Graduer ces deux axes avec la même unité de longueur. AA′ BB′ 3 4 d. Placer un point B’ tel que BB’= 4, puis un point A’ tel que = . Mais n’y a t-il qu’une seule possibilité pour le point A’ ? CA CB = CA′ CB′ = AA′ BB′ = 3 4 e. Construire alors les figures de Thalès vérifiant et trouver les points C vérifiant le problème. =