Séquence FONCTION DE VARIABLE(S) REELLE(S) : LIENS AVEC EQUATIONS, INEQUATION ET SYSTEME D’EQUATIONS AU PROGRAMME Classe professionnelle et technologique (supports visuels et approfondissements des notions étudiés en Classes de Seconde et Première pour élèves de Terminale)

Prémices: Pourquoi parler de variable(s) réelle(s) ? Pourquoi ne peut-on pas définir une variable par un chiffre ? Pourquoi peut-on faire cette association pour une constante ?

Notions à différencier et à comprendre Fonction (opérateur virtuel) Antécédent (élément du « passé », un nombre réel: la variable notée x) Domaine de départ (en particulier domaine de définition ou domaine antécédent : « passé ») Image (élément du : « futur ») Domaine d’arrivée (domaine image « futur », un nombre réel) Repère orthonormé (orthogonal et normé pour une représentation du « présent », perpendiculaire dans le plan et même déplacement unitaire) Projection axe des abscisses ou axe des antécédents (cosinus) Projection axe des ordonnées ou axe des images (sinus) Représentation graphique (élément du présent, couple (antécédent, image), couple (passé, futur)) Mesure angle en radian (par rapport au rayon)

Remarque: un repère s’apparente à un viseur d’une arme de sniper SCHEMA SYNTHESE Fonction f Domaine de départ Domaine Arrivée Antécédent x Image f(x) f(x) Axe des ordonnées (futur) J (0,1) Tangente Remarque: un repère s’apparente à un viseur d’une arme de sniper Mesure angle en radian Sinus x O (0,0) I (1,0) Cosinus Axe des abscisses (passé)

Prémices: Pourquoi étudier la fonction sur un intervalle de R (ensemble des nombres réels) ? pourquoi la dénomination domaine de définition ? pourquoi étudier les variations de la fonction f ?

Variations et Monotonie d’une fonction Fonction croissante respectivement strictement croissante Soient deux réels a et b sur un intervalle I, la fonction f est dite croissante si pour a < b , f(a) ≤ f(b) Fonction décroissante : Soient deux réels a et b sur un intervalle I, la fonction f est dite décroissante si pour a < b , f(a) ≥ f(b) Remarque: pourquoi a < b et non a ≤ b ? Est-ce incorrect ou inutile ? l’hypothèse choisie a < b importe t-elle ou est-ce le rôle de la fonction sur l’antécédent qui prédomine ? La stricte croissance et la stricte décroissance ne sont pas étudiées ici.

Représentation graphique Fonction affine f d’image f(x) = a x + b f(x) est la somme de l’image d’une fonction linéaire et de l’image d’une fonction constante Fonction « trinôme » g d’image g(x) = a x^2 + b x + c g(x) est la somme de l’image d’une fonction de type « carré » c’est-à dire que la variable est au carré (côté fictif x d’un carré d’aire x^2) et de l’image d’une fonction affine

Proportionnalité et Fonction linéaire L’image d’une fonction linéaire f de la forme f(x) = a x, avec a non nul renvoie à une situation de proportionnalité entre l’image et l’antécédent dont le coefficient de proportionnalité est le coefficient directeur a.

Variations proportionnelles et Fonction Affine L’image d’une fonction affine f de la forme f(x) = a x + b, fait intervenir la notion de variations proportionnelles, proportionnalité entre la variation d’image et la variation des antécédent, ce qui n’est autre que le coefficient directeur a lorsque a est non nul.

Coefficient directeur a, projections et ordonnée à l’origine b Le coefficient directeur : ce quotient de la différence des images par la différence des antécédents correspond d’après le schéma synthèse au rapport de deux projections cosinus / sinus = tangente L’ordonnée à l’origine est l’image f(0) = b pour lequel l’antécédent est le même que celui de l’origine du repère O (0,0)

sur I = l’ensemble des réels Que remarque t-on pour la représentation graphique de g par rapport à celle de la fonction de type « carré » d’image (-5) x^2 ? f(x) g(x) J(0,1) x x O (0,0) I(1,0) Exemple de représentation graphique pour f(x) = (-2) x + 3/2 et g(x) = (-5) x^2 + 2 x + 1 sur I = l’ensemble des réels

Minimum et Maximum Les minimum et maximum d’une fonction sont respectivement s’ils existent les valeurs minimale et maximale de l’image de la fonction en question. Minimum : pour tout x, f(x) ≥ min f(x) Maximum: pour tout x, f(x) ≤ max f(x) Remarque: On parle ici de maximum ou de minimum global à différencier de maximum ou de minimum local non étudiés ici.

Equation et inéquation à une variable x du premier degré De telles équation et inéquation renvoient à des égalités et à des inégalités d’image de fonctions affines. Ex: trouver l’ensemble des valeurs de x tels que 3 x + 5 = 5 x + 4 puis tels que 2 x + 7 ≤ 6 x + 2 Trouver en d’autres termes la ou les projections suivant l’axe antécédent

Système de deux équations à deux variables x et y du premier degré De tels systèmes d’équation et inéquation renvoient-ils directement à des égalités d’image de fonction affine ? Ex: trouver l’ensemble des valeurs de x et y tels que 3 x + 5 y = 2 8 x + 7 y = 6 Trouver en d’autres termes la ou les projections suivant l’axe antécédent x et l’axe image générale notée y Remarque: le système d’inéquations à deux variables x et y du premier degré ne sera pas ici traité.

PREMIERE APPROCHE FONCTIONS A DEUX VARIABLES REELLES : CAS PARTICULIERS EQUATION PLAN Chaque équation du système précédent peut être vu comme l’intersection de deux plans non parallèles, une droite en somme. On retrouve ainsi les égalités d’image de fonction affine.