RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE
I. Aire d’un triangle quelconque L’aire A du triangle ABC est : Or donc Dans l’expression de A, on remplace h par
On peut démontrer aussi que: L’aire d’un triangle quelconque est égale au demi-produit de deux côtés par le sinus de leur angle.
Application: Calculer l’aire du triangle ABC Données du problème: a = 8; c = 6;
II. Relation entre les côtés et le sinus de l’angle opposé. Multiplions à gauche et à droite par 2 Divisons à gauche et à droite par c Ce qui est équivalent à
On pourrait démontrer de la même manière: Donc Dans un triangle, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés.
Application: Calculer les mesures des angles B et C du triangle ABC Données du problème: a = 35; c = 20;
On rappelle que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°, soit radians.
III. Relation entre les côtés et le cosinus de l’angle opposé: Dans le triangle rectangle BHC, on peut écrire ( Pythagore) Or, et Dans l’expression de BC², remplaçons BH² par l’expression trouvée ci-dessus. Développons cette expression: attention à l’identité remarquable:
On rappelle que: donc Or, dans le triangle AHC: Remplaçons donc AH²+HC² par AC².
Or donc Remplaçons dans BC², AH par cette expression: Ou bien, en changeant l’ordre des termes Ce qui s’écrit aussi:
On démontrerait de la même manière: Dans un triangle, le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés diminuée de leur double produit par le cosinus de leur angle.
Application : On donne OA = 5 ; AB = 3. Calculer OB. On utilisera, dans le triangle OAB, la formule: Il faut donc déterminer la mesure de l’angle A dans le triangle OAB. On rappelle que l’angle plat, c’est à dire de 180° vaut radians. Dans le triangle OMA, on a : Réduisons au même dénominateur: donc
Réduisons au même dénominateur: Dans le triangle AOM, on a: donc Ce qui donne: Réduisons au même dénominateur:
Dans le triangle OAM, on a: Donc, dans le triangle OAB, on a:
Reprenons notre formule: Il nous reste à remplacer chaque terme par sa valeur: