La réciproque du théorème de Pythagore (14) ACTIVITES La réciproque du théorème de Pythagore (14)
Réciproque du théorème de Pythagore Si , alors le triangle EFG est rectangle … EF² = EG²+ GF² G en G F E
Exercice 1 Soit ABC un triangle. On donne AB = 9, AC = 12 et BC = 15 Quelle est la nature du triangle ABC ? Le triangle ABC n'étant ni isocèle ni équilatéral, cherchons s'il est rectangle. Dans le triangle ABC le plus grand côté est [BC]. On calcule donc BC2 et AC2 + AB2. BC2 = 152 = 225 AB2 + AC2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225 donc BC2 = AB2 + AC2 D'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en A.
Exercice 2 Soit ABC un triangle. On donne AB = 4, AC = 10 et BC = 11 Quelle est la nature du triangle ABC ? Le triangle ABC n'étant ni isocèle ni équilatéral, cherchons s'il est rectangle. Dans le triangle ABC le plus grand côté est [BC]. On calcule donc BC2 et AC2 + AB2. BC2 = 112 = 121 AB2 + AC2 = 42 + 102 = 16 + 100 = 116 donc BC2 ≠ AB2 + AC2 D'après le théorème de Pythagore le triangle ABC n’est pas rectangle.
Exercice 3 A B E D C F Le quadrillage est en cm. Calculer AE², AF² et EF² puis déterminer la nature du triangle AEF.
Correction Ex3 A B E D C F Le triangle CEF est rectangle en C, donc : EF² = CE² + CF² (Th de Pythagore) EF² = 2² + 6² = 4 + 36 = 40 E D C F AE² = 50 AF² + EF² = 10 + 40 = 50 Donc : Le triangle ABE est rectangle en B, donc : AE² = BA² + BE² (Th de Pythagore) = 7² + 1² = 50 AE² = AF² + EF² Le triangle AEF est donc rectangle en F (réciproque du théorème de Pythagore) Le triangle ADF est rectangle en D, donc : AF² = DA² + DF² (Th de Pythagore) = 3² + 1² = 10