Résoudre des problèmes au cycle 1 Intervention stage C1 Roubaix-Est Le 17 septembre 2009 IEN: P. Lammertyn Dans la vie courante, un problème est quelque chose qui « résiste », qui crée un obstacle à un traitement immédiat. Un problème mathématique doit donc offrir une « résistance » à celui qui apprend; les connaissances antérieures sont insuffisantes

Qu’est-ce qu’un problème? (d’après Jean Brun) Une situation initiale -avec un but à atteindre -demandant à un sujet d’élaborer une action ou une suite d’actions ou d’opérations pour atteindre ce but -situation pour laquelle la solution n’est pas disponible d’emblée pour l’élève -mais elle est possible à construire (zone de progrès de l’élève)

Concevoir une situation-problème 1. L’élève doit rencontrer une question pour laquelle ses connaissances sont insuffisantes pour qu’il résolve immédiatement le problème 2. Il doit pouvoir s’engager dans la résolution du problème: il peut envisager une réponse possible. 3. Il peut procéder par essais/erreurs 4. Il doit pouvoir valider sa réponse ou sa procédure (par le matériel) 5. L’élève apprend avec d’abord avec les autres, avec le maître 6. Créer « l’absence »: objets éloignés, cachés… 7. La situation est « contextualisée »: lien avec le connu, le vécu 8. Importance de revenir sur la situation sans les objets présents: aller vers un début d’abstraction

Rôle de l’enseignant Il doit évaluer les connaissances des élèves; leur attitude face aux tâches proposées Il prend en compte les différences pour constituer les groupes: quelles variables didactiques, groupe homogène, hétérogène en fonction du bénéfice que peut en tirer l’élève dans son apprentissage Il prévoit des réponses possibles pour préparer ses aides, ses interventions Il étaye par le geste, le langage qui doit être juste et précis Laisse le droit à l’erreur Suscite les échanges entre élèves Formule les réussites, les erreurs Prévoit un « retour » sur la situation: comment un tel avait-il fait? Est-ce que ça avait marché? Pourquoi?...

Présentation de situations De la constitution d’une collection à l’idée de liste: La valise de Toutou Le jeu des photos Le jeu des listes Les boîtes de couleurs Source: DVDHatier : apprendre les mathématiques à l’école maternelle

De la collection à la liste Etape 1: constitution d’une collection; première idée implicite de la liste: La valise de Toutou Le jeu des photos Etape 2: élaboration de la liste: - Le jeu des listes - Les boîtes à couleurs Enchaînement de situations dans le cadre d’une progression de cycle.

Première situation: La valise de TOUTOU: petite section Dispositif: en collectif, chaque matin (une vingtaine de séances). En regroupement sur les bancs, la maîtresse apporte une marionnette: toutou. Un matin, Toutou arrive avec une valise contenant 3 objets différents. On apprend à la nommer, on les touche…Puis on les range dans la valise. Toutou annonce que si le lendemain, ils se souviennent des 3 objets, il apportera un objet en plus pour agrandir le trésor.

Matériel La marionnette et la valise. Des objets hétéroclites : playmobil, véhicules, billes, bracelet, animaux en bois, etc.

Présentation Le professeur met trois objets dans une valise, devant les élèves pour constituer un trésor. BUT: constituer un trésor de plus en plus grand. Le lendemain, le professeur, par la voix de TOUTOU, demande à trois élèves successivement de nommer un des objets (sans le voir). Si les trois objets sont trouvés,la classe gagne alors un nouvel objet que le professeur ajoute dans la valise Le trésor pourra aller jusqu’à une vingtaine d’objets.

En quoi cette situation peut-elle être un problème En quoi cette situation peut-elle être un problème? Quels sont les objectifs du maître? Quelles compétences développe-t-on chez les élèves?

Un premier problème L’élève n’a pas la réponse immédiate et seul notamment avec une collection qui devient importante Il peut tâtonner Il met en jeu ses représentations mentales (il ne voit pas les objets) Il entre dans la pensée logique (ne pas citer d’objets déjà sortis) Il y a validation immédiate par le matériel Régulation sociale entre élèves et par l’étayage du maître

Les objectifs du maître Les compétences travaillées Constituer un patrimoine commun utilisable dans plusieurs situations Construire la cohésion du groupe Mémoriser collectivement un collection Connaissances et compétences visées pour les élèves: Approche implicite de la notion de collection et de la suite des nombres (n+1) Se construire une représentation mentale des objets (tenir compte des objets déjà sortis) Respecter les règles de la communication: parler chacun son tour, ne citer qu’un seul objet

Deuxième situation: le jeu des photos Présentation Jeu en petit groupe, faisant suite à "La valise de Toutou". Matériel: des paniers; une collection de 4 à 7 objets, une collection de photos de ces objets Le professeur s’assure que les élèves reconnaissent bien les objets sur les photos. Tâche: le professeur donne à chaque élève un paquet de photos placées en pile et demande d’aller chercher en une seule fois,les objets photographiés et seulement ceux-là.

Objectifs du professeur : -construire le couple: photo/objet -construire la notion de collection Compétences visées: -anticiper sur son action -prendre conscience de sa stratégie s’exprimer sur la stratégie d’un camarade utiliser la collection des photos comme une liste des objets à rapporter et la contrôler en faisant une correspondance terme à terme. Les photos jouent le rôle de « représentation » , de support pour la mémoire avant l’écrit.

En quoi est- ce un problème? Eloignement des deux collections (notion d’absence): nécessité d’apprendre à anticiper, mémoriser Plusieurs procédures de résolution Laisser essayer plusieurs fois; réguler par des variables La verbalisation en commun comme outil d’amélioration des procédures: prendre conscience de sa procédure et de son effet: gagné ou perdu

Etape 2: élaboration de la liste Jeu des listes Les boîtes à couleurs

Jeu des listes: déroulement La maîtresse apporte la boîte à trésors ou la valise ; elle place quelques objets dans une autre boîte ; on regarde…on nomme…puis on ferme la boîte ; le lendemain, un enfant doit nommer tous les objets de la deuxième boîte ; vérification immédiate. Variable: -nombre d’objets cachés de la deuxième boîte Problème: comment se souvenir? Place de l’écrit

Echanges de listes La maîtresse donne 4 objets plus difficiles à représenter Il faudra aller faire les courses avec la liste d’un camarade. Certains ont les mêmes objets. Echanges de listes; courses; vérification. Problème: -on ne reconnaît pas bien les objets sur les dessins. Comment faire? Proposition: faire des étiquettes. Relance: après chaque jeu, aller faire sa liste avec les étiquettes: à chaque fois, on gagne Variable de complexification: -nombre d’objets -mettre deux ou trois objets identiques pour inciter à l’écriture chiffrée >Importance de verbaliser les avancées: faire prendre conscience aux élèves qu’en cherchant à plusieurs ,on peut résoudre un problème

Objectifs du professeur : poser un problème qui ne peut être résolu que par l'élaboration d'une liste. Objectifs pour les élèves : mettre en relation les objets et leurs désignations ou les représenter soi-même : Elaborer une liste, contrôler qu'aucun objet n'a été oublié ; Utiliser une liste : énumérer les objets représentés.

Les boîtes à couleurs (MS/GS): présentation Matériel: la collection de 20 objets; 4 boîtes de couleurs Déroulement: « la maîtresse annonce: je vais cacher un objet dans chaque boîte; demain les boîtes seront fermées et je vous demanderai de me dire quel est l’objet caché dans chaque boîte ».

Procédures des élèves Les enfants se souviennent des 4 objets mais pas toujours dans quelle boîte ils sont cachés. Problème posé par le maître: comment faire pour gagner à tous les coups? Réponses des élèves: réfléchir, écrire, dessiner, rappel des étiquettes codées Nouveau jeu: la maîtresse cache les objets, les élèves dessinent leur liste. Problème: les objets sont présents mais pas les boîtes. Question: la liste suffit-elle? Réponses des élèves: non, on ne voit pas la couleur des boîtes. Procédures: des boîtes mais sans couleur; erreur d’association: objet/couleur de la boîte; début de codage:colorier les objets de la boîte de la même couleur

Boîtes de couleur Objectifs du professeur : poser un problème qui sera résolu par la fabrication d’un code commun de désignation Objectifs pour les élèves Trouver un moyen de mettre en relation les objets et leur désignation (dessin ou étiquette) Trouver un moyen de mettre en relation les objets et les couleurs des boîtes dans lesquelles ils sont cachés.

Suite possible Dispositif: 4 boîtes de couleur On cache 3 objets dans chaque boîte. Le lendemain, la maîtresse sort un objet de la boîte; dire les objets qui restent Procédures: les élèves font leur liste Stratégies: les objets sont répartis sur la feuille mais pas de boîte; une seule boîte est représentée; les objets sont regroupés mais insuffisamment; les séparations sont bien marquées Les élèves prennent conscience que pour se souvenir des objets manquants et présents, il faut organiser la liste: notion d’ordre

Le nombre comme mémoire (MS/GS) Répartition d’un nombre d’objets identiques dans des boîtes de même couleur: collection- témoin - Variables: nombre d’objets Trouver un moyen de se souvenir sans devoir ouvrir la boîte et recompter Procédures: dessins, symbolisation, écriture du chiffre correspondant L’écrit a du sens ici.

Conclusion pour cet ensemble de situations Elles permettent de: Développer les capacités de raisonnement des élèves Comprendre implicitement la suite des nombres: n+1; n-1; notion de suite infinie Construire un système de désignation et de représentations de collections structurées ou non structurées pour mémoriser ou pour communiquer: la liste Organiser la liste Introduire le chiffre écrit pour désigner une quantité On procède par tâtonnement successif Intérêt de la situation: intérêt mathématique; intérêt social: situation fonctionnelle qui a du sens pour l’enfant (pratique sociale de référence)

Autre situation : la distribution du lait (GS) Préparer le nombre de boîtes de lait en fonction du nombre d’élèves qui en veulent (par deux) Problème: mémoriser le nombre: nécessité d’écrire Recours à la file numérique pour écrire le nombre Constitution de la collection: phase 1: erreurs de comptage Problème: comment faire? Proposition de la maîtresse: se servir de la collection –témoin (jetons dans boîtes ou enveloppes) Validation: la distribution En atelier dirigé d’abord puis en entraînement dans les rituels. Possible de mélanger un grand et un moyen dans le cadre d’un décloisonnement le matin.