Stage Graphes et Mupad Première journée

Stage Graphes et Mupad Première journée
Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Plan de la matinée Un premier exemple Définitions générales
Chaînes hamiltoniennes et eulériennes Automates Ordonnancement et matrice d’adjacence Coloration des graphes Graphes planaires Chaînes de Markov Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Graphes et MuPad (C.Boulinier)
4 villages de Sildavie Zmrzlina Kava Kolac Dort Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Réseau routier 25 9 12 11 8 6 7 Zmrzlina Kava Kolac Dort Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Problème: la tournée du postier
25 9 12 11 8 6 7 Zmrzlina Kava Kolac Dort Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Une tournée possible du postier
9 11 12 Zmrzlina Kava Kolac Dort Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercice 1 Ce circuit est-il le plus court possible?
25 9 12 11 8 6 7 Zmrzlina Kava Kolac Dort Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Matrice aux arcs du graphe
9 3 2 25 11 12 6 7 8 4 1 9 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Le produit latin Le produit est remplacé par la concaténation des mots et la somme par l’union; de plus, on ne retient que les chemins sans circuit (chemins élémentaires). Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Proposition: Les puissances r-ièmes successives de M
énumèrent les chemins élémentaires d’ordre r du graphe Graphes et MuPad (C.Boulinier)

On obtient l’ensemble des chemins hamiltoniens
2341, ne fournissent pas de cycle On obtient l’ensemble des chemins hamiltoniens (chemins élémentaires passant par tous les points du graphe) D’où on déduit les circuits hamiltoniens du graphe: Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Il y a essentiellement 2 circuits hamiltoniens:
de longueur =50 de longueur =41 13421 est le meilleur! Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercice Trouver les circuits hamiltoniens du graphe suivant b a c e d Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercice 2 Le problème de monsieur Nô
Mr. Nô, personnage mythique japonais, habite la case du coin supérieur gauche d’un carré de 8x8 cases, et se propose de rendre visite à Mr. Gô, lequel habite la case du coin inférieur droit. Mr. Nô se déplace sur l’échiquier en passant d’une case à l’une des cases adjacentes (pas de diagonale). Est-il possible de trouver un parcours qui l’amène chez Mr. Gô , en passant une et une seule fois sur toutes les autres cases de l’échiquier? Berge (1970) Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Mr. Nô Mr. Gô Graphes et MuPad (C.Boulinier)

On peut cependant remarquer que Mr. Nô et Mr. Gô
Le problème revient à trouver un chemin hamiltonien dans le graphe des déplacements possibles sur l’échiquier On peut cependant remarquer que Mr. Nô et Mr. Gô habitent sur des cases jaunes, Mr. Nô doit faire 63 sauts, il aboutira donc nécessairement sur une case blanche (absurde) Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Définitions générales

Un graphe (orienté) G est la donnée d’un ensemble S et d’une partie F du produit cartésien S×S.
Notation: G=(S,F) S est l’ensemble des sommets de G F est l’ensemble des arcs (arêtes orientées) de G {u,v} est une arête de G ssi (u,v) ou (v,u), est dans F On note Σ l’ensemble des arêtes de G S peut être Fini, infini dénombrable, infini Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Un multigraphe G est la donnée d’un multi-ensemble F d’éléments du produit cartésien S×S, où S est un ensemble 3 2 4 1 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Représentation d’un graphe
1 4 2 5 6 3 S={1,2,3,4,5,6} F={ (1,2) , (1,5) , (2,1) , (2,4) , (2,5) , (4,6) , (6,2) , (6,3) } Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercice Construire sur {1,2..,10} le graphe des diviseurs.

Réponse 7 10 5 4 8 1 2 6 9 3 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Dans ce qui suit S est fini le graphe G est dit alors fini
L’ordre de G est le cardinal de S Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Vocabulaire de base Boucle: arc de la forme (x,x) X Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Graphe simple: Graphe sans boucle Graphe complet Graphe simple avec F maximal 1 4 1 3 2 2 3 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Graphe symétrique (ou non orienté)
1 3 2 4 Une arête {u,v} est un « arc non orienté »; dans un graphe non orienté, le nombre d’arêtes (Σ) est la moitié du nombre d’arcs (F). On note G* le graphe symétrisé de G Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Le degré d’un nœud est le nombre d’arêtes incidentes à ce nœud (notion non orientée) D(1)=3 D(2)=2 D(3)=2 D(4)=3 4 2 3 1 On note D(G) = max D(x) x dans S On définit de même les degrés intérieurs (entrants) d- et extérieurs (sortants) d+ d’un sommet, on a d- + d+ =d (degré dans le cas orienté) d-(4)=2 et d+(4)=1 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Le sommet s1 est adjacent au sommet s2 ssi (s1,s2) est dans F
Les sommets s1 et s2 sont adjacents ssi {s1,s2} est dans Σ G’=(S’,F’) est un sous graphe de G=(S,F) ssi G’=(S’,F’) est le sous graphe de G=(S,F) induit par S’ ssi Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exemples de graphes Graphe complet K5 5-clique
Graphe biparti complet K3,2 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercice Montrer que: Montrer que Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercices Est-il possible de relier 9 ordinateurs, de manière que chacun soit relié à 3 autres exactement ? 2) Le nombre de sommets de degré impair est pair (lemme des poignées de mains) 3) Montrer que le nombre de personnes qui ont vécu ou qui vivent sur terre, qui ont serré la main à un nombre impair de personnes est pair… Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Chemins et chaînes Un chemin dans un graphe G est une suite finie d’arcs consécutifs, c’est-à-dire de la forme : Une chaîne dans un graphe G est une suite finie d’arêtes consécutives: La longueur d’un chemin (resp. d’une chaîne) est le nombre d’arcs (resp. d’arêtes) constituant le chemin (resp. la chaîne) Notation: Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Cycles et circuits Un circuit (resp. un cycle) est un chemin (resp. une chaîne) dont les extrémités coïncident, et dont les arcs (resp. arêtes) sont tous distincts (resp. toutes distinctes) Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Connexité et forte connexité
Un graphe G = (S,F) est dit connexe (resp. fortement connexe) s’il vérifie la propriété suivante : pour toute paire de sommets (x,y) de S, il existe une chaîne (resp. un chemin) reliant x à y. La composante connexe (resp. fortement connexe) d’un sommet x de S est le plus grand sous-graphe connexe (resp. fortement connexe) de G contenant le sommet x. Dans un graphe symétrique (ou non orienté) les deux notions sont équivalentes Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Connexité 2 4 7 8 1 3 5 6 9 2 composantes connexes Graphes et MuPad (C.Boulinier)

forte connexité 2 4 7 8 1 3 5 6 9 6 composantes fortement connexes

Exercice Donner les composantes connexes (resp.fortement connexes) du graphe des diviseurs pour n=10. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

7 10 5 4 8 1 2 6 9 3 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Un point d’articulation d’un graphe est un sommet dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes; un isthme est une arête dont la suppression a le même effet Nœud pendant Points d’articulation Isthme Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Chaînes hamiltoniennes et eulériennes

Chemins et circuits Hamiltoniens
Dans un graphe G, on dit qu’un chemin s1s2…sn est hamiltonien s’il passe une et une seule fois par chaque sommet du graphe. On dit qu’un circuit s1s2…sn s1 est hamiltonien s’il passe une et une seule fois par chaque sommet du graphe. On définit de même les notions de chaîne et de cycle hamiltonien Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Voyage autour du monde (Hamilton)
Trouver un cycle hamiltonien sur le dodécaèdre régulier Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Voyage autour du monde (Hamilton)

Le graphe de Petersen Ce graphe n’admet pas de cycle hamiltonien

Exercice Proposer une méthode pour prouver ce résultat Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Le graphe obtenu en éliminant n’importe quel sommet est hamiltonien
1 9 2 8 4 3 5 7 6 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Un exemple: Le séquençage de l’ADN
Une molécule d'ADN est une chaîne composée d’acides nucléiques. Ceux ci sont au nombre de 4, l'Adénine (noté A), la Guanine (G), la Thynine (T) et la Cytosine (C). Le séquençage consiste à retrouver la suite de bases correspondant au brin d'ADN étudié. En pratique, les molécules à analyser possèdent entre et bases, ce qui rend le séquençage direct impossible. La stratégie utilisée est alors de découper le brin d'ADN en fragments dont la taille varie entre 200 et 700 acides nucléiques, de les séquencer (les lire) puis de reconstruire la molécule originale. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exemple: soient les 5 séquences ACCGT, CGTGC, TTAC, GTG , TACCGT Reconstitution: - - A C C G T - - C G T G C T T A C G T G - - T A C C G T - - T T A C C G T G C Graphes et MuPad (C.Boulinier)

L={ACCGT, CGTGC, TTAC, TACCGT}
Problème: trouver une plus petite chaîne ayant pour facteurs les séquences données {ACCGT, CGTGC, TTAC, GTG , TACCGT} . On élimines les séquences qui sont facteurs d’autres séquences, on obtient un ensemble minimal: le sous-ensemble libre Sur l’exemple on élimine GTG, on obtient: L={ACCGT, CGTGC, TTAC, TACCGT} Graphes et MuPad (C.Boulinier)

ACCGT TTAC TACCGT CGTGC
On construit un graphe valué complet dont l’ensemble des sommets est L. On attribue à chaque arête allant de a à b, un poids égal à la longueur maximale du suffixe de a étant préfixe de b. ACCGT TTAC TACCGT CGTGC 3 1 2 Les arcs de poids 0 ne sont pas représentés Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Résoudre le problème, c’est trouver un chemin hamiltonien de poids maximal ACCGT 3 CGTGC 1 2 3 5 1 3 TACCGT TTAC 1 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Autre problème classique: Le problème du voyageur de commerce

Chaînes et cycles eulériens
Soit G un multigraphe On appelle chaîne eulérienne (resp. cycle eulérien) une chaîne (resp. un cycle) qui utilise toutes les arêtes du graphe une et une seule fois. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Les ponts de Kœnigsberg (Euler)
C D A B Partir de A, passer une seule fois par chacun des ponts, et revenir en A Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Graphe associé (multigraphe)
3 5 C A D B : Tracer les arêtes de ce graphe sans lever le crayon Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Condition d’Euler: pour qu’un graphe admette un cycle
eulérien il est nécessaire que le degré de chaque sommet soit pair, et que le graphe soit connexe (à des points isolés prés). C D A B i Sommet de passage i En particulier le problème des ponts de Königsberg n’a pas de solution Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Montrons que la condition d’Euler est suffisante, en donnant un algorithme de construction 4 7 9 1 8 6 3 2 5 Ce graphe vérifie la condition d’Euler On part d’un point quelconque, non isolé, et on chemine dans le graphe sans jamais repasser par une même arête, on continue tant qu’on n’a pas trouvé un cycle (quand on rentre dans un sommet, on peut toujours sortir sauf peut-être en cas de bouclage) . Graphes et MuPad (C.Boulinier)

les degrés, et chaque composante connexe contient au moins un sommet
On obtient un premier cycle, ici ( ) 4 7 9 1 8 6 3 2 5 Si c’est un cycle eulérien on arrête, sinon on élimine les arêtes utilisées et les points isolés, le nouveau graphe vérifie toujours la condition sur les degrés, et chaque composante connexe contient au moins un sommet du cycle; on construit un nouveau cycle en partant d’un point du précédent. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

On obtient un nouveau cycle (3-5-6-7-5-4-3)
On colle les deux cycles ( ) 4 7 9 1 8 6 3 2 5 Si c’est un cycle eulérien on arrête, sinon on élimine les arêtes utilisées et les points isolés, le nouveau graphe vérifie toujours la condition sur les degrés, on construit un nouveau cycle en partant d’un point non isolé d’un précédent cycle. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

On obtient un nouveau cycle (1-4-7-8-9-1)
On colle les deux cycles ( ) 4 7 9 1 8 6 3 2 5 Si c’est un cycle eulérien on arrête, sinon on élimine les arêtes utilisées et les points isolés, le nouveau graphe vérifie toujours la condition sur les degrés, on construit un nouveau cycle en partant d’un point non isolé d’un précédent cycle. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

On obtient un nouveau cycle (4-8-1-7-9-4)
On colle les deux cycles ( ) 4 7 9 1 8 6 3 2 5 L’algorithme finit toujours, car à chaque étape on élimine au moins deux arêtes et qu’il y en a un nombre fini. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

( 1- 4-8-1-7-9 -4-7-8-9-1-2-3-5-6-7-5-4-3-1)

Exercice Chercher un cycle eulérien dans le graphe suivant: 5 2 3 4 8 1 6 9 7 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Une réponse possible: 5 2 3 4 8 1 6 9 7 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Théorème (cas non orienté) (Euler 1766)
Un multigraphe G admet un cycle eulérien si et seulement si il est connexe (à des sommets isolés prés) et tous les sommets sont de degré pair.. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Corollaire Un multigraphe G admet une chaîne eulérienne si et seulement si il est connexe (à des sommets isolés près) et si le nombre de sommets de degré impair est 0 ou 2 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Théorème (cas orienté)
Un multigraphe G admet un circuit eulérien si et seulement si il est fortement connexe et les degrés entrant et sortant de chaque sommet sont identiques. (On utilise essentiellement le même algorithme) Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exemple: Mots de de Bruijn
On considère l’ensemble des mots A*, sur l’alphabet A={a,b} Un mot de de Bruijn d’ordre k est un mot tel que tout mot de longueur k sur A y apparaît une et une seule fois k=4 …..abba…..; …..bbaa…… …..baab…. Idée: construire un graphe dont les sommets sont les mots de k-1 lettres Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Chaque arc représente un mot de longueur 2, il y a autant
bb ab ba aa Si k=2 a b a Mot de de Bruijn: abbaa Chaque arc représente un mot de longueur 2, il y a autant d’arcs que de mots de longueur 2 sur A. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

(au, b, ub) où a et b sont des lettres dans {a,b} Exemple k=3:
Théorème: il existe un mot de de Bruijn pour tout k>0, sa longueur est 2k+k-1 Preuve On construit un graphe étiqueté dont les sommets sont les mots du langage Ak-1, les arêtes sont de la forme: (au, b, ub) où a et b sont des lettres dans {a,b} Exemple k=3: bbb abb aab b aa ba bb ab a Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Le graphe vérifie la condition d’Euler, il admet donc un circuit eulérien partant de chaque sommet, on en déduit un mot de de Bruijn: Question:Trouver sur l’exemple un mot de de Bruijn aa ba bb ab a b babaaabbba On a résolu le problème du mot minimal contenant un ensemble de mots de manière efficace dans ce cas ! Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Application: casser un digicode
Si le digicode est de 4 chiffres, on cherche un mot de de Bruijn d’ordre 4 sur l’alphabet {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Il est de longueur Il y a 104 codes possibles donc chiffres à taper, on a divisé par 4 le travail. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Deux problèmes voisins dont la complexité est fondamentalement différente Pour la recherche d’un circuit eulérien nous possédons un critère et un algorithme de calcul efficace. Pour la recherche d’un circuit hamiltonien, nous ne possédons pas de critère simple (cf. le graphe de Petersen), ni d’algorithme efficace (dont la terminaison fournirait un critère). Il est seulement facile de vérifier si un circuit donné est hamiltonien. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Les classes P et NP On dit qu’un problème est dans P si il existe un réel positif r, tel que pour toute instance de taille n, le nombre d’opérations nécessaires à sa résolution est en O(nr). Exemples: Tester si un entier est premier (Agarwal Saxena, Kaval Juin 2002) PGCD de deux entiers (Euclide III siècle av. JC) Savoir si un graphe est eulérien (Euler 1766) Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Un problème est dans NP s’il est possible de vérifier en un temps
polynomial si une solution donnée satisfait bien les propriétés demandées. NP P On a P inclus dans NP Exemple: Factoriser un entier; mais on ne sait pas si le problème de la factorisation est dans P (à la base du cryptage à clef publique RSA) Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Un problème est NP_complet s’il fait partie de ceux pour
lesquels trouver un algorithme de résolution polynomial impliquerait que tous les problèmes de NP seraient dans P. Ce qui impliquerait que P=NP On conjecture que P≠NP Exemples de problèmes NP-complets: Le problème 3-SAT Existence d’un cycle Hamiltonien Voyageur de commerce Sac à dos Coloration optimale d’un graphe Mot minimal contenant un ensemble de mots donnés (séquençage) Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Algorithmes approchés pour les problèmes NP-complets
Algorithmes gloutons Réseaux de neurones Algorithmes génétiques La méthode du recuit simulé La méthode tabou (?) … Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Remarque Extrait du programme de ES (spécialité) « Existence d’une chaîne ou d’un cycle eulérien » Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Automates Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Automates Extraits du programme: « Caractérisation des mots reconnus par un graphe étiqueté » « construction d’un graphe étiqueté reconnaissant une famille de mots » Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Quels sont les mots reconnus par
Allumer Eteindre b o n j u r s i En bleu les transitions complémentaires Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Construire un graphe reconnaissant balle, bal, ballon, ballant
Les transitions non représentées vont au rebut Ce graphe ne reconnaît que ces mots Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercice Construire un graphe qui reconnaît dans une phrase le mot abracadabra a b r c d Retour des autres transitions Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercice Trouver un graphe étiqueté sur {0,1} reconnaissant un mot commençant par un palindrome (d’au moins deux lettres) 1 Palindrome 0,1 Etat d’entrée Etat acceptant Transition Définition formelle: (E,Σ,Q,δ,F) Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Donner une version qui boucle
1 Inconvénient: cet automate ne reconnaît pas le mot Graphes et MuPad (C.Boulinier)

(1)n 0 (1)n =(1)r (1)p (1)s 0 (1)n avec r+p+s=n et p>0
Théorème: Il n’existe pas d’automate reconnaissant exactement l’ensemble des palindromes sur {0,1} Preuve par l’absurde: supposons qu’un tel automate existe, soit n son nombre d’états, considérons le palindrome: (1)n0(1)n , lors du parcours dans l’automate, la reconnaissance du premier (1)n parcourt au moins un cycle dans le graphe, il correspond à la lecture de (1)p , on a: (1)n 0 (1)n =(1)r (1)p (1)s 0 (1)n avec r+p+s=n et p>0 Parcours d’un cycle dans l’automate Donc le mot (1)r (1)2p (1)s 0 (1)n est aussi reconnu par l’automate, absurde ! Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Théorème de Kleene Sur un alphabet fini Λ, les langages reconnus par un automate sont exactement les langages rationnels Un langage sur Λ est une partie de Λ*. Les langages rationnels sur Λ forment la plus petite classe vérifiant: Le langage Ø est rationnel Le langage réduit au mot vide ε est rationnel Pour chaque lettre a: {a} est rationnel (noté a) Si L et L’ sont des langages rationnels, alors L+L’, LL’ et L* sont rationnels Notation: (a+b)(ab)*+a Graphes et MuPad (C.Boulinier)

En particulier tout ensemble fini de mots est rationnel (le programme de es) Les langages bien parenthèsés ne sont pas reconnus par automate, en particulier les automates ne reconnaissent pas les expressions algébriques Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Recherche d’un mot dans un texte
On considère l’ensemble des mots A*, sur l’alphabet A={a,b}, un texte est un élément de A*, cherchons dans ce texte le mot ababaa L’algorithme naïf risque de faire de nombreux retours en arrière pour chercher ce mot. Grâce à l’automate suivant on travaille en « une seule passe ». a b b a b a b a a b a b b Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Compilation Arbre syntaxique Langage d’assemblage Flux de caractères Flux de lexèmes Analyse lexicale Analyse syntaxique Génération du code Automate générable de manière automatique à partir d’une définition formelle du langage Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercice * Un digicode à 9 chiffres est installé à l’entrée d’un immeuble. Trois sociétés A, B et C y ont leurs bureaux. Elles ont chacune un code qu’elles fournissent à leurs clients: A: B: C: 562 Lorsque le code correct est composé, au cours d’une série de chiffres Une sonnerie retentit au bureau de la société. Construire un graphe qui accepte les trois codes et fait sonner à chaque bureau correspondant. *Déclic terminale es Graphes et MuPad (C.Boulinier)

5 9 5 6 7 B 5 e 5 2 5 5 C Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercice * Construire un automate reconnaissant les mots différant du mot lapin par au plus une faute d’orthographe (oubli d’une lettre, ajout d’une lettre, remplacement d’une lettre par une autre). * Quercia poly Graphes et MuPad (C.Boulinier)

i→i (faute de frappe de p) n (oubli du caractère p)
la p → (ok) i→i (faute de frappe de p) n (oubli du caractère p) α→ (faute de frappe de p) p i n Vérifier que les mots loapin, lopin, lpin laapin sont reconnus Les transitions qui manquent vont vers un état « rebut » Graphes et MuPad (C.Boulinier)

L’automate* du jongleur
J.C. Novelli Pour la science n°282 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

La figure 501 b=2, h=5 G D G D G D G D G D G D G
Faisons une photo au temps 8: - O O Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Transitions possibles
1 seul possible Temps t+1 Temps t Transition (codage) - O O O O - 1 O - O - - 2 - O O - - 4 possibles O O - 4 O O - 5 O - O Dans le premier cas il n’y a qu’une transition acceptable 0 Dans le deuxième cas il y a quatre transitions au choix 1, 2, 4 et 5 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Automate à deux balles et de hauteur 5
Transition 0 en bleu - - O O - - O O - - O O 3 5 O O 2 4 5 1 - - O -O 2 O O 4 O O - 5 2 3 - O O 1 1 O - O - - 5 3 4 - O - O - Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Jongler, c’est faire une promenade dans le graphe
Une figure est un circuit dans le graphe Passer d’une figure à une autre c’est trouver un chemin dans le graphe qui relit les deux circuits On peut chercher un plus court chemin entre deux circuits Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Ordonnancement de tâches

Un projet d’adduction d’eau
Zmrzlina Kolac Kava Dort Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Ordonnancement des tâches
Durée Opérations antérieures a Cahier des charges 30 b Approbation par Zmrzlina 5 c Approbation par Kava d Approbation par Kolac e Approbation par Dort f Lancement des appels d'offres 8 b,c,d,e g Commande 2 h Creuser les tranchées 10 i Construire les châteaux 20 j Placer les canalisations k Installer l'électronique 3 h,g l Installer les pompes m Tester le système h,i,k,l n Distribution de l'eau au public 6 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Graphe d’ordonnancement des tâches
b h e d i g f l j n m k Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Fin de chacune des tâches
30 35 45 64 44 42 53 50 75 69 48 10 3 5 8 10 5 5 5 3 8 5 6 5 Chemin critique incompressible, si on allonge une durée sur ce chemin c’est la durée totale des travaux qui est allongée. 5 10 3 5 5 8 2 20 10 8 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Montrer qu’un graphe est sans circuit
Extrait du programme « On pourra, dans des cas élémentaires, interpréter les termes de la puissance n-ième de la matrice associée à un graphe. » Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Représentation des graphes par une matrice d’adjacence
On identifie l’ensemble S des sommets à {1, 2, …, N } La matrice d’adjacence du graphe orienté G = (S,F) est la matrice A(aij) définie par : aij= 1 si et seulement si (i,j)  F aij= 0 si et seulement si (i,j)  F Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Matrice d’adjacence 1 2 3 Un graphe G A = Matrice d’adjacence du graphe G Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Théorème Posons An=(aij(n)) Alors aij(n) est le nombre de chemins de longueur n allant de i à j La preuve se fait par récurrence sur n n=0 et 1 ok! Supposons la proposition au rang n Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Nombre de chemins allant de i à j en n+1 étapes:
Sommet de passage n étapes suivantes 1 2 3 akj(n) j i aik(1) k n Nombre de chemins allant de i à j en n+1 étapes, passant en premier par k: aik(1)akj(n) Nombre de chemins allant de i à j en n+1 étapes: Σ aik(1)akj(n) =aij(n+1) D’où, par récurrence … Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Corollaires G est sans circuit ssi An=0
G est fortement connexe ssi n’a aucun coefficient nul G est symétrique ssi tA=A Soit B=(bij) la symétrisée de A (matrice de G*): bij=1 si aij=1 ou aji=1, bij=0 sinon G est sans cycle ssi Bn=0 G est connexe ssi n’a aucun coefficient nul. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Remarque Un produit de matrices se fait en O(n3), on peut l’améliorer en O(nln(7)) par l’algorithme de Strassen. Une élévation à la puissance p peut se faire en O(log2(p)) multiplications. Le calcul de An se fait en O(nlog2(7).log2(n)) opérations. (c’est un peu cher !) Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Le parcours « en profondeur d’abord » permet de déterminer l’existence de circuits Sa complexité est O(n+m) où n=|G| et m=|S| Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Un graphe non orienté sans cycle est une forêt
Un graphe non orienté sans cycle connexe est un arbre Un graphe orienté sans circuit est un DAG (Directed Acyclic Graph) x+sinx + ln(sinx) + ln x sin x Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Coloration des graphes Dans cette partie les graphes sont non orientés
Extrait du programme « Coloriage d’un graphe et nombre chromatique » Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Le problème de l’examen*
Lors d’un examen, cinq épreuves écrites sont organisées. Elles sont désignées par un code: 1 2 3 5 4 Allemand Russe Anglais Espagnol Japonais Chaque candidat passe deux épreuves et deux seulement. Il y a des candidats pour chacun des couplages suivants: Allemand- Anglais; Allemand – Russe; Allemand – Espagnol; Anglais – Russe; Anglais – Espagnol; Russe – Espagnol; Anglais – Japonais; Espagnol - japonais Certaines épreuves ne peuvent pas avoir lieu le même jour, car un candidat ne passe pas deux épreuves le même jour. Donner le nombre minimal de jours nécessaire pour organiser l’examen. *Déclic Terminal es Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Le sous graphe {1,2,3,4} est complet Il faut donc au moins 4 couleurs.
Graphe associé 2 1 3 Le sous graphe {1,2,3,4} est complet Il faut donc au moins 4 couleurs. 4 5 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Le sous graphe {1,2,3,4} est complet Il faut donc au moins 4 couleurs.
Réponse 2 1 3 Le sous graphe {1,2,3,4} est complet Il faut donc au moins 4 couleurs. 4 5 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Nombre chromatique d’un graphe
O n appelle nombre chromatique d’un graphe G le plus petit nombre de couleurs nécessaire pour colorier les sommets de sorte que deux sommets adjacents n’aient pas la même couleur. On le note γ(G). Proposition: on a toujours γ(G)≤|G|, et si un graphe est complet alors γ(G)=|G|. Une technique pour minorer le nombre chromatique est de chercher des cliques (sous graphes complets) dans le graphe G. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercice Minorer le nombre chromatique du graphe suivant puis déterminer une coloration optimale Graphes et MuPad (C.Boulinier)

On trouve une 5-clique donc: γ(G)≥5
2 1 5 3 4 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercice On sait que tout graphe contenant un triangle K3 ne peut être colorié en moins de trois couleurs. a) Construire un graphe sans triangle qui nécessite également trois couleurs. b) Comment, à partir du graphe précédent, construire un graphe sans K4 nécessitant 4 couleurs ? Généraliser. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Réponses a) Un cycle d’ordre 5 b) c) Si il y avait une 5-clique à ce rang, il y aurait une 4-clique au rang précédent… Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercice a) Donner un algorithme glouton qui donne un coloriage.
(on ordonnera les sommets: s1, s2, …sn-1, sn, ainsi que les couleurs ) On colore s1 avec la première couleur On colore s2 avec la première couleur admissible etc… b) Montrer que γ(G) ≤ D(G)+1 Chaque sommet a au plus D(G) voisins, donc D(G) +1 couleurs suffisent Graphes et MuPad (C.Boulinier)

c) Montrer que γ(G) ≤ max (min(D(si)+1,i))
A la i ème étape il y a au plus i-1 couleurs utilisées d’où l’inégalité d) En déduire une nouvelle stratégie gloutonne On ordonne les sommets dans l’ordre décroissant de leurs degrés. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Nouvel algorithme de coloration (sur un exemple)
1 6 7 4 2 3 5 On classe les sommets par degré décroissant: Sommet: Degré: On choisit une première couleur pour colorer le sommet 1; ensuite, dans l’ordre, on cherche à colorer les autres sommets par la même couleur: Graphes et MuPad (C.Boulinier)

On choisit une deuxième couleur et on recommence
1 6 7 4 2 3 5 Sommet: Degré: On choisit une deuxième couleur et on recommence Graphes et MuPad (C.Boulinier)

On choisit une troisième couleur et on recommence
1 6 7 4 2 3 5 Sommet: Degré: On choisit une troisième couleur et on recommence Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Le graphe contient un triangle donc le nombre chromatique est 3
1 6 7 4 2 3 5 Le graphe contient un triangle donc le nombre chromatique est 3 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercice Montrer que l’algorithme ne donne pas toujours une solution optimale Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Considérons le graphe :
Prenons le classement suivant: 1 4 2 5 3 6 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Pourtant ce graphe est biparti, donc 2-coloriable!

Exercice Montrer que le graphe du cavalier est 2-coloriable Montrer qu’un graphe est 2-coloriable ssi il est biparti. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercice Sept élèves, désignés par A,B,C,D,E,F et G se sont rendus à la bibliothèque aujourd’hui. Le tableau suivant précise « qui a rencontré qui » (la bibliothèque étant petite, deux élèves présents au même moment se rencontrent nécessairement…). A a rencontré D,E B a rencontré D,E,F,G C a rencontré E,G D a rencontré A,B,E E a rencontré A,B,C,D,F,G F a rencontré B,E,G G a rencontré B,C,E,F De combien de places assises, au moins, doit disposer la bibliothèque pour que chacun ait pu travailler correctement au cours de cette journée ? Graphes et MuPad (C.Boulinier)

f c e d Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Ce coloriage est optimal car (g, f, b, e ) est une 4-clique
d Ce coloriage est optimal car (g, f, b, e ) est une 4-clique Réponse à la question: 4 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Graphes planaires et coloriage des cartes
On dit qu’un graphe est planaire s’il est possible de le représenter sur un plan de sorte que les sommets soient distincts, les arêtes des courbes simples, et que deux arêtes ne se rencontrent pas en dehors de leurs extrémités. Le problème des trois villas et des trois usines: Peut-on placer les trois villas et les trois usines de telle sorte que les conduits issus des trois usines ne se croisent pas? Eau A Gaz B Le graphe biparti K3,3 est-il planaire? Elect. C Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Un peu de vocabulaire b Face 1 6 Face infinie f 3 a c Deux faces sont adjacentes si elles ont une frontière commune. 5 e d f = nombre de faces a= nombre d’arêtes s=nombre de sommets (points) 2 4 Ici n=6; q=10 et n=6 On a la relation a=s+f-2 Contour de la face d Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Graphe d’incidence 4 couleurs !
3 1 4 6 2 5 b c d e f a 4 couleurs ! Trouver une coloration de la carte définie par ce graphe planaire, c’est trouver une coloration du graphe d’incidence Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Théorème d’Euler Si, dans un graphe planaire comprenant k composantes connexes, il y a s sommets, a arêtes et f faces alors: s+f-a=k+1 Si k=1, l’égalité devient: s+f-a=2 s=8 f=5 a=10 s+f-a=2+1 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

On fait une récurrence sur le nombre d’arêtes
Si a=0 alors f=1 et k=s, soit s+f-a=k+1 Supposons la proposition vraie au rang n Si on ajoute une arête alors - soit k diminue de 1 - soit f augmente de 1, ce qui conserve l’égalité s+f-a=k+1 D’où la récurrence Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercice K3,3 n’est pas planaire.
La formule d’Euler donne f=2-s+a=2-6+9=5 Observons le graphe d’incidence biparti faces arêtes, Chaque face est définie par au moins 4 arêtes et chaque arête sépare au plus deux faces Donc le nombre n de « flèches » est encadré par 4f ≤n≤2a Donc 20≤18, absurde ! Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Le graphe complet K5 n’est pas planaire
La formule d’Euler donne: f=2-s+a=2-5+10=7 Chaque face est définie par au moins 3 arêtes d’où 3f≤2a soit 21≤20 absurde Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Dans un graphe planaire il existe un sommet de degré
inférieur ou égal à 5. Si pour tout x de G, D(x)>5 alors, d’après le Graphe d’incidence sommets arêtes, 6s≤2a. De plus chaque face est délimitée par au moins 3 arêtes donc 3f≤2a, d’où 3(f+s)≤3a Soit f+s-a≤0 absurde! Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Sous divisions élémentaires
Si G est un graphe planaire, alors le graphe obtenu en enlevant une arête {u,v}, et en ajoutant un sommet w et deux arêtes {u,w} et {w,v} est encore planaire. Cette opération est appelée sous division élémentaire. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Graphes homéomorphes On dit que deux graphes sont homéomorphes s’ils peuvent être obtenus à partir d’un même graphe par des sous divisions élémentaires. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Théorème de Kuratowski (1930)
Un multi graphe est planaire ssi il ne contient pas comme sous graphe partiel un graphe homéomorphe à K3,3 ou K5. La condition est évidemment nécessaire Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercice Montrer que le graphe de Petersen n’est pas planaire Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Montrer que le graphe de Petersen n’est pas planaire Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Le graphe de Pertersen n’est pas planaire Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Le théorème des 5 couleurs
Tout graphe planaire est coloriable en au plus 5 couleurs. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Preuve Jusqu’à cinq pays, pas de problème!
On fait une récurrence sur le nombre n de pays Pour n+1 pays, on commence par chercher un pays n’ayant pas plus de 5 voisins (possible par le lemme). Graphes et MuPad (C.Boulinier)

On supprime une arête, le pays se confond avec un voisin
On applique l’hypothèse de récurrence, on trouve une coloration à cinq couleurs de ce graphe Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Il reste à colorer notre sommet, deux cas sont possibles
Si les cinq sommets voisins n’utilisent pas 5 couleurs, alors ok! Si les sommets sont colorés par 5 couleurs différentes: On prend deux pays non contigus et le sous graphe engendré par les sommets colorés par leurs deux couleurs respectives, Graphes et MuPad (C.Boulinier)

S’ils ne sont pas sur une même composante connexe, on peut inverser les deux couleurs sur une des composantes, on est ramené au cas précédent Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Sinon, on prend deux autres couleurs ici vert et bleu, on fait l’opération précédente car les sommets associés ne peuvent être sur une même composante connexe (Jordan). Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Ce qui achève la coloration, d’où le théorème par récurrence

Chaînes de Markov Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Un problème: celui du chauffeur de taxi
Zmrzlina Kava Kolac Dort Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Graphe de transition du taxi
1 4 2 3 0.5 0.2 0.3 0.1 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Mathématisons la promenade aléatoire du taxi sur notre réseau
Posons: Où désigne la probabilité conditionnelle que le taxi aille en j sachant qu’il est en i Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercice La matrice que nous venons de construire a les propriétés:
Toute matrice qui a ces propriétés est dite stochastique*. Montrer que les matrices stochastiques admettent 1 comme valeur propre. Du grec stokhastikos= « habile à conjecturer » Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Réponse Le vecteur est vecteur propre pour la valeur propre 1 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

alors désigne la probabilité conditionnelle que le taxi se
Posons où désigne la probabilité que le taxi soit en i. Soit V’ le vecteur défini par: V’=VM alors désigne la probabilité conditionnelle que le taxi se trouve après une course dans la ville i sachant la distribution de probabilité initiale V de présence dans chacune des villes Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Chaîne de Markov Par récurrence, on définit un processus:
Où désigne le vecteur « condition initiale » et le vecteur représente la distribution de probabilité de présence du taxi dans chacune des villes à la fin de la nième course, sachant la condition initiale Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Expérimentation On fait l’hypothèse que le chauffeur de taxi part le matin de la ville de Dort (1). Où se trouve-t-il après la cinquantième course? Calculons Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Un petit coup de MuPad! M:=matrix(4,4,[[0.5,0,0.5,0],[0.2,0.5,0.2,0.1], [0,0.2,0.5,0.3],[0.2,0.1,0.2,0.5]]); N:=M^50; v:=matrix(1,4,[1,0,0,0]); v*N; Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Manifestement au bout d’un certain nombre de courses, la position du taxi devient « indépendante » de sa position de départ (Ergodicité). linalg::eigenvalues(M); On note ces valeurs propres: Les sous espaces propres associés aux valeurs propres de tM sont supplémentaires, on peut donc décomposer tout vecteur suivant ces 4 sous espaces La composante est indépendante de la condition initiale, c’est le vecteur limite. On l’appelle la distribution stationnaire du processus, elle est l’unique solution de l’équation X=XM avec x1+x2+x3+x4=1. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercice Montrer que pour un processus à deux états, ce phénomène arrive toujours, sauf dans deux cas. Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Eliminons le cas où la matrice est l’identité, dans ce cas
le processus est stationnaire quelle que soit la distribution initiale. 1 1 2 1 Eliminons aussi le cas où -1 est valeur propre, le processus est alors périodique 1 2 1 1 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Supposons que la matrice de transition soit de la forme
b a 2 1 1-b 1 est valeur propre et la trace est la somme des valeurs propres, donc la deuxième valeur propre est l=a+b-1 Elle vérifie la double inégalité: On obtient le même phénomène: convergence vers l’unique solution de l’équation XM=X avec x1+x2=1 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Résolvons cette équation
linalg::eigenvectors(linalg::transpose(M)); Soit, en normalisant Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Définition: On dit qu’un processus de Markov est positivement régulier si, quand n tend vers l’infini, la matrice tend vers une matrice composée de r lignes A identiques. Proposition: dans les conditions de la définition, quelle que soit la distribution initiale la loi limite est Proposition: Pour qu’une suite aléatoire de Markov soit positivement régulière, il est nécessaire et suffisant qu’il existe un entier s tel que tous les termes de soient strictement positifs Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Exercice Que pensez-vous d’un processus dont le graphe
serait le suivant? Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Zone B Zone A Zone C La zone A est transitoire (transciente), les zones B et C sont absorbantes (récurrentes), le processus n’est pas positivement régulier. Question: quelle est la durée moyenne de présence dans la zone A d’un processus, avant de tomber dans l’une des zones absorbantes? Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Pour répondre on réunit les deux zones absorbantes en un état absorbant, la réponse pour cette configuration est la même que pour celle précédente. On dit que l’état zéro est un bord Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Le soir, le taxi rentre chez lui
Quand le chauffeur décide de rentrer, il utilise la méthode suivante: il continue à faire des courses jusqu’à ce qu’il soit rendu dans sa ville de Dort (1). 1 4 2 3 0.5 0.2 0.3 0.1 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Encore un petit coup de MuPad
M:=matrix(4,4,[[1,0,0,0],[0.2,0.5,0.2,0.1], [0,0.2,0.5,0.3],[0.2,0.1,0.2,0.5]]); n:=M^50; v:=matrix(1,4,[0,1,0,0]): v*n;: Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Question: quelle est la probabilité que le chauffeur rentre chez lui?
Posons la probabilité que le chauffeur rentre chez lui, en partant de l’état i Ces probabilités vérifient le système: On trouve une unique solution: Ce qui est rassurant! Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Combien de courses fait-il en moyenne avant de rentrer?
Posons le nombre moyen de courses faites en partant de l’état i Ces valeurs moyennes vérifient le système On trouve une unique solution: Ce qui est beaucoup! Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Quelques simulations (10 transitions)

Exercice* On dispose d’une roulette qui sort 1 avec la probabilité p et 0 avec la Probabilité q=1-p La roulette est lancée autant de fois qu’il faut pour obtenir un palindrome d p a q a’ 1 b’ b p q p q 1 q p c p q * Arthur Engel « l’enseignement des probabilités, t2) 1 Graphes et MuPad (C.Boulinier)

mc=0 et md=1+pma’+qma de plus ma=1+pmb et mb=1+pmb
On en déduit: mb=1/q et ma=1+p/q De même : mb’=1/p et ma’=1+q/p D’où md=1+p+q+q+p=3 Indépendant de p ! Graphes et MuPad (C.Boulinier)

Graphes non orientés Graphes orientés Arête, ensemble des arêtes: Σ
Arc, ensemble des arcs F Chaîne Chemin Cycle Circuit Degré Degré entrant, degré sortant Connexité Forte connexité Graphes et MuPad (C.Boulinier)

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