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Modélisation du transport réactif en milieu poreux saturé J. Carrayrou Institut de Mécanique des Fluides et des Solides Université Louis Pasteur – CNRS.

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1 Modélisation du transport réactif en milieu poreux saturé J. Carrayrou Institut de Mécanique des Fluides et des Solides Université Louis Pasteur – CNRS STRASBOURG

2 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Plan de la présentation Présentation des phénomènes Méthodes de résolutions –Approche globale – Séparation dopérateurs – Résolution des opérateurs Synthèse

3 Présentation des phénomènes Transport de solutés Phénomènes chimiques

4 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Advection - dispersion - réaction u Advection u Dispersion Échange liquide-gaz Réactions en solution Dissolution Précipitation SorptionRelargage Biologie

5 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Espèces t = 0t = t 1 t = fint = t 2 Évolution cinétique Transport réactif cinétique

6 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Écriture de la cinétique des réactions Les lois cinétiques prennent des formes très diverses Les temps caractéristiques varient de plusieurs ordres de grandeur Forment un système différentiel raide Exemple de la consommation doxygène et de substrat organique par des bactéries :

7 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Composants fixés Composants dissous 3 Composants 7 Espèces t = t 0 Équilibre Instantané Transport réactif à léquilibre

8 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Écriture de léquilibre thermodynamique Réaction Loi daction de masse Conservation de la matière Espèces Composants Nc espèces C i Nx composant X j ThéorieExemple

9 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Loi daction de masse Coefficient dactivité Conservation de la matière Une forme unique pour léquilibre Partie mobilePartie fixe

10 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Présentation des phénomènes : conclusion Équation de transport de soluté unique Différence importante entre cinétique et équilibre instantané Formes très diverses pour les loi de vitesse de réaction Nécessité de suivre chaque espèce Équations différentielles raides Écriture de tous les phénomènes sous une forme unique Possibilité de ne suivre que les composants Système déquations algébriques

11 Méthodes de résolutions Couplage chimie transport Approche globale Séparation dopérateurs

12 Approche globale Juste quelques notions… Travail de thèse de Marwan Fahs

13 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Approche globale Résoudre lensemble des équations transport et chimie. Conduit à des systèmes de très grande taille : –Nombre de maille x Nombre despèces –Nombre de maille x Nombre de composants Travaux de thèse de Marwan Fahs

14 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Un exemple transport – cinétique : Discrétisation spatiale et temporelle : Réorganisation des termes : Vitesse U Réaction :

15 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Transport - équilibre Système différentiel et algébrique : Sur chaque composant Dans chaque maille Système non linéaire Nombre despèces. nombre de mailles

16 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Substitution – discrétisation : Ne conserve pas la masse

17 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Discrétisation - substitution : Conserve la masse

18 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Approche globale : Conclusion Système de grande taille Compliqués à programmer Mise en place de méthodes spécifiques très difficiles Bénéficient des nouvelles méthodes mathématiques

19 Séparation dopérateurs Comprendre les méthodes

20 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Séparation dopérateurs COUPLAGE Erreurs de séparation dopérateurs à minimiser OPÉRATEUR TRANSPORT OPÉRATEUR CHIMIE

21 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Schéma NI Standard Transport non réactif Chimie en système fermé TRANSPORT Non réactif CHIMIE Système fermé Pas de temps n Pas de temps n + 1

22 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Schéma NI Strang-splitting Transport non réactif sur un demi-pas de temps Chimie en système fermé sur un pas de temps Transport non réactif sur un demi-pas de temps CHIMIE Système fermé Pas de temps n Pas de temps n + 1 TRANSPORT Non réactif Demi-pas de temps TRANSPORT Non réactif Demi-pas de temps

23 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Schéma I Standard Transport réactif Chimie en système fermé Terme puits-source Solution après convergence TRANSPORT Réactif CHIMIE Système fermé Pas de temps n Pas de temps n + 1

24 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Schéma I Symétrique Transport réactifChimie en système ouvert TRANSPORT Réactif CHIMIE Système ouvert Pas de temps n Pas de temps n + 1

25 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Séparation transport cinétique chimique

26 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Solutions Exactes Solution Exacte Réaction Irréversible (1 espèce) Solution Exacte Réaction Réversible (2 espèces) Réaction Bilan de Masse

27 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Opérateur de Transport Équation de Bilan de Masse Condition Initiale Solution à Flux Constant Opérateur de Chimie Équation en Bilan de Masse Équation en Bilan de Masse Total Équation en Bilan de Masse

28 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Schéma NI Standard Solution Explicite Réaction Réversible (2 espèces) Solution Explicite Réaction Irréversible (1 espèce) Formulation par Récurrence

29 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Schéma NI Strang-splitting Formulation par Récurrence Solution Explicite Réaction Irréversible (1 espèce) Solution Explicite Réaction Réversible (2 espèces)

30 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Schéma I Standard Récurrence sur les Itérations Formulation Explicite par Itérations Récurrence sur les Pas de Temps Solution Explicite Réaction Réversible (2 espèces) Solution Explicite Réaction Irréversible (1 espèce)

31 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Schéma I Symétrique Condition Initiale ChimieTransport Solution Générale

32 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Erreurs et Nombres Adimensionnels N os NI Standard A vérifier numériquement : - sur les bilans de masse - sur les profils de concentration

33 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Erreurs sur le bilan de masse en régime permanent

34 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Erreurs sur les concentrations en régime permanent

35 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Application à un cas concret : Lit de sable (100 m) Bactéries aérobies Oxygène (3 mg/L) Flux deau (1 m/j) Oxygène (3 mg/L) Substrat organique (10 mg/L) 60 m Consommation de loxygène et du substrat jusquà épuisement de loxygène. Concentration en substrat restant : Sub = 8,5 mg/L

36 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Transport et cinétique biologique

37 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Séparation transport équilibre instantané

38 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Schéma NI Standard Pas de contraintes sur la mise en œuvre Diffusion numérique importante TRANSPORT Non réactif CHIMIE Système fermé Pas de temps n Pas de temps n + 1 TransportÉquilibre instantané

39 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Schéma I Standard Formulation de lopérateur de transport implicite en temps nécessaire Diffusion numérique faible TRANSPORT Réactif Pas de temps n Pas de temps n + 1 CHIMIE Système fermé

40 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Conditions du Test daprès Lefèvre et al Précipitation de calcite et de strontionite Échange dions calcium - strontium Longueur 12 cm Référence : mailles Test : 120 mailles

41 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Courbes délution du Strontium Pe comp = 1,6 Pe ref = 0,16

42 Importance de la résolutions des opérateurs Exemple de lOpérateur de transport

43 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Méthodes de résolution Différences finies (centrées) Éléments finis Éléments finis discontinus

44 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Éléments finis discontinus Maîtrise de la diffusion numérique Absence doscillation Autorise les profils de concentration discontinus Très adaptés au fronts raides ou compressifs

45 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Séparation dopérateur et EFD Pe comp = 1,6 Pe ref = 0,16

46 Conclusion

47 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Phénomènes modélisés – Transport : advection – dispersion – Cinétique chimique – Équilibre instantané Modélisation phénoménologique –Description fondamentale –Application possible à dautres domaines

48 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Approche par séparation dopérateur –Distinguer chimie à léquilibre et cinétique –Réduire les erreurs de séparation en adaptant le schéma Avantages : –Programmation très modulaire –Utilisation de méthodes spécifiques pour chaque opérateur

49 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Merci de votre attention

50 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Opérateur de chimie à léquilibre : Transport Cinétique Équilibre

51 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Systèmes Chimiques Réaction Loi daction de masse Conservation de la matière Espèces Composants Nc espèces C i Nx composant X j ThéorieExemple

52 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Fonction Objectif Loi daction de masse Conservation de la matière Coefficient dactivité Nx Fonctions Objectifs

53 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Calcul analytique Méthode de Newton-Raphson Jacobien de la fonction objectif Développement au 1 er ordre Pas davancement Nouvelles concentrations des composants Calcul analytique Développement au 1 er ordre

54 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre X1X1 Y1Y1 X3X3 Y3Y3 X2X2 Y2Y2 X4X4 Méthode de Newton-Raphson : schéma de principe

55 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Newton-Raphson : non convergence Divergence vers des valeurs aberrantes Piège en boucle

56 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Intervalle chimiquement acceptable Respect de la borne inférieure : Respect de la borne supérieure :

57 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Méthode des fractions continues positives Équilibre Somme des RéactifsSomme des Produits

58 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Fractions Continues Positives Convergence grossière rapide Approche très rapide de la solution Newton-Raphson Convergence incertaine loin de la solution Convergence précise rapide à proximité de la solution Recherche fine rapide de la solution Intervalle Chimiquement Acceptable Peu de calculs nécessaires Renforce la stabilité Fractions Continues Positives Convergence précise lente Convergence assurée Assure la convergence dans tous les cas Algorithme Combiné SPECY

59 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Acide Gallique

60 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre

61 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Newton RaphsonNR + Sécante SPECY

62 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Pyrite

63 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre

64 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Newton-Raphson NR + CAI NR+ Sécante SPECY

65 Perspectives Quelques applications… Transport de cadmium Transport de tributyl étain

66 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Transport de Cadmium Expérience en colonne (C. Bürgisser, 1994) Cristobalite pH pH = 4,97 pH = 9 Cd 2+ 17,35 M t / t 0 t / t 0 = 0t / t 0 = 80t / t 0 = 140 Injection Échange dions Complexation de surface

67 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Paramètres daprès J. Lützenkirchen, 1996

68 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Modèle DLM : Couche diffuse Modèle CCM : Capacité constante Détermination des paramètres (J. Lützenkirchen, 1996)

69 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Cd 2+

70 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Transport réactif du TBT à 7 pH différents

71 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Situation initiale : Erreur = 0.3

72 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Un sable naturel… Composition massique : silice : 99,9 % oxydes de fer, daluminium Composition de la surface : Silice Oxydes

73 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Estimation de paramètres Paramètre Erreur

74 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Résultats : après optimisation F = 0.19

75 Conclusion

76 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Présentation des phénomènes – Transport : advection – dispersion – Cinétique chimique – Équilibre instantané Modélisation phénoménologique –Description fondamentale –Application possible à dautres domaines Méthodes de résolutions –Couplage chimie – transport –Résolution des opérateurs

77 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Perspectives – Compréhension des phénomènes – Prévision - dimensionnement – Estimation de paramètres Limites – Méthodes numériques –Structure du milieu –Mécanismes réactionnel –Échelle

78 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Schéma ELLAM pour le transport Formulation variationnelle de léquation de transport On sépare les fonctions tests qui dépendent de z et de t : On choisit une définition lagrangienne des fonctions tests :

79 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Simplification de léquation : Condition aux limites

80 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre

81 J. Carrayrou - INRIA 16 décembre Schéma des caractéristiques, du maillage mobile et des fonctions tests entre deux pas de temps.


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