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Hassan AAYA UNIVERSIT É HASSAN II FACULTE DES SCIENCES CASABLANCA.

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1 Hassan AAYA UNIVERSIT É HASSAN II FACULTE DES SCIENCES CASABLANCA

2 Sommaire Introduction Formes différentielles Algèbres différentielles graduées Lemme de Poincaré et cohomologie de de Rham Lien avec la topologie : et groupes d'homotopie supérieurs La théorie de Quillen-Sullivan et Le théorème de Quillen-Sullivan sur Passer des réels aux rationnels :Triangulation, modèle de Sullivan La conjecture H.

3 Introduction

4 Ce résultat a été démontré par M. Hilali pour le cas des espaces pures en 1990, et puis par MM. Hilali et Mamouni en 2008 pour le cas hyper-elliptique sous des conditions spécifiques et dautres types despaces topologiques, avant dêtre démontré en 2012 par des espagnoles dans le cas hyper-elliptique. Introduction Historique:

5 Le calcul des groupes dhomotopie dordre supérieur est un problème fondamental de la topologie algébrique. Mais, curieusement, on ne sait même pas calculer les groupes d'homotopie des sphères: Introduction

6 A part quelques cas: Introduction

7 Formes différentielles Une forme différentielle de degré 1 sur un ouvert de est une expression de la forme Où sont des fonctions sur cet ouvert.

8 Formes différentielles Une forme différentielle de degré n 1, sur une variété X consiste en la donnée en chaque point x d'une forme n-linéaire alternée sur l'espace tangent en x. En coordonnées :

9 Formes différentielles On note l'ensemble des formes différentielles de degré n1, l'anneau des fonctions. On note la somme directe des.

10 Algèbres différentielles graduées

11 Si on a Alors

12 Exemple ADG de Koszul

13 On vérifie par le calcul que soit Donc Lemme de Poincaré et cohomologie de De Rham.

14

15 Autrement dit, le nième groupe de cohomologie matérialise l'obstruction pour qu'une forme régulière fermée sur X soit exacte Lemme de Poincaré et cohomologie de De Rham.

16

17 Lien avec la topologie et groupes d'homotopie supérieurs

18

19

20 Groupes dhomotopie des sphères : Lien avec la topologie et groupes d'homotopie supérieurs

21 La théorie de Quillen-Sullivan

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26 Passer des réels aux rationnels :Triangulation

27

28

29 Comment?

30 Passer des réels aux rationnels :Triangulation

31 Comment?

32 Passer des réels aux rationnels :Triangulation Comment?

33 Passer des réels aux rationnels :Triangulation

34 Conjecture H


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