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Géométries non planes Sylvestre GALLOT et Bernard GENEVES IREM de Grenoble Institut Fourier-Mathématiques pures & Equipe IAM-Imag.

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1 Géométries non planes Sylvestre GALLOT et Bernard GENEVES IREM de Grenoble Institut Fourier-Mathématiques pures & Equipe IAM-Imag

2 La géométrie après Euclide La géométrie Euclidienne est une construction logique et déductive qui sappuie sur des propriétés primitives, les axiomes. En modifiant un axiome qui posait question (le célèbre « axiome dEuclide »), Lobatchevski, Bólyai et Gauss ont pu reconstruire dautres géométries logiquement cohérentes. La sphère, le cube, les polyèdres fournissent des exemples concrets, sur lesquels il est possible de définir une distance et de développer une géométrie qui nobéit plus à certains des axiomes dEuclide. Commençons par le cas de la sphère, qui nous est peut-être le plus naturel, car quiconque a pris un avion sest posé la question de la ligne « droite » ou du plus court chemin… Dans une géométrie comme celle de la sphère, que sont les droites ? Les axiomes dEuclide sont-ils satisfaits ?

3 Le cas de la sphère Il existe une représentation plane classique de la « sphère » terrestre (si on admet cette approximation pour la terre), celle des cartographes ; elle consiste à représenter chaque morceau de la sphère sur un morceau de plan. Y a-t-il quelque espoir de construire des cartes qui soient « fidèles », cest-à-dire qui conservent les droites, les angles, et (à léchelle près) les distances ? Commençons par regarder les cartographies les plus simples, comme la projection cylindrique, dont la célèbre projection de Mercator est une variante un peu plus sophistiquée.

4 La cartographie cylindrique entraîne-t-elle des distorsions ? En agissant sur le point m, on déplace la portion de la sphère (en rouge) et (par conséquent) sa projection sur le cylindre (en bleu). Selon lendroit, observez- vous des distorsions entre la portion rouge de la sphère et sa représentation cartographique en bleu ? (Cette portion bleue du cylindre peut facilement être développée sur un plan).

5 La cartographie cylindrique entraîne bien des distorsions Cliquer sur la figure pour lancer le déplacement automatique. Au cours de ce déplacement, la figure bleue ne change pas, alors que les dimensions et angles de la figure rouge varient. La projection cylindrique entraîne donc des distorsions (c'est à dire des modifications des distances, des longueurs des courbes et des angles)

6 Que sont les « droites » de la sphère ? Sur la sphère, les chemins qui (localement) réalisent les plus courtes distances, sont les intersections avec la sphère des plans diamétraux (passant par le centre de la sphère), aussi appelés « grands cercles ». Ces grands cercles sont comme les « droites » de la sphère. Sur la figure, on a construit une telle « droite » de la sphère en intersectant celle-ci avec le plan violet. On peut déplacer cette « droite » en agissant sur les points A et B, ou faire tourner la sphère en maintenant le clic droit. Vérifier ainsi que le secteur violet est bien dans un plan diamétral.

7 Représentation cartographique des « droites » de la sphère Sur la figure jointe, on a dessiné la « droite » (le grand cercle) passant par A et B ; le point M parcourt cette droite. la projection de M sur le cylindre est le point M, obtenu comme intersection du cylindre avec la perpendiculaire à laxe passant par M. Déplacer le point M pour observer le lieu parcouru par le point M (cest limage de la « droite » de la sphère dans la carte obtenue par projection cylindrique). En mettant par la pensée la carte cylindrique à plat, essayer de deviner la représentation de ces droites dans la carte ; que se passe- t-il quand la droite passe près du pôle Nord (le réaliser en déplaçant A et B) ?

8 Réponse : observer les distorsions La droite AB est tracée dans un plan tangent à la sphère ; l'arc rouge est la trace sur la sphère du plan passant par le centre O et contenant la droite AB. L'arc rouge est une "droite" pour la géométrie de la sphère. La courbe verte est la projection sur le cylindre de la "droite" sphérique rouge ; en déplaçant A et B, on pourra vérifier que la courbe verte n'est pas une droite de la carte : en effet, lorsqu'on déroule le cylindre sur le plan, la courbe verte ne donne pas une droite du plan.

9 La géométrie de la sphère est-elle euclidienne ? La « droite » AB passant par A et B est obtenue par intersection du plan OAB avec la sphère ; La « droite » CD passant par C et D est obtenue par intersection du plan OCD avec la sphère. Y a-t-il une position des droites AB et CD telle que celles-ci ne se rencontrent pas ? Existe-t-il une parallèle à la droite AB ? Saisir les points pour modifier la position des plans et répondre ainsi aux questions.

10 La géométrie de la sphère est-elle euclidienne ? En maintenant le clic droit, faites tourner la figure, afin de situer les points A et B. Au regard de la figure ci-contre, que pensez-vous de la validité dans ce cadre de laxiome dEuclide, qui dit que par deux points passe une seule droite ? En déplaçant le point M, faites tourner la droite passant par A,M et B. Combien de « droites » de la sphère (grands cercles) passent par les points A et B ? Vérifier que les points A et B sont situés aux antipodes lun de lautre.

11 La géométrie de la sphère nest pas euclidienne En effet : Par deux points (antipodaux) passent plusieurs droites (en fait une infinité). Par un point extérieur à une droite ne passe aucune droite parallèle à la première droite.

12 En fait toute carte, ou toute tentative pour développer un morceau de sphère sur un plan entraîne soit des déchirures (faire lexpérience avec une écorce dorange) soit des distorsions et des déformations qui modifient la longueur des courbes et les distances entre points de la surface. Si lon essayait de repasser une surface sphérique faite dun tissu inextensible, aussi petit que soit le fer à repasser, on introduirait des plis. Aplatir une sphère Nous venons dobserver quune carte particulière, la projection cylindrique, entraîne des distorsions dans la représentation de la sphère.

13 Quest-ce quune surface polyèdrale ? Cest une surface obtenue par recollement (le long de leurs côtés) de polygones du plan. En voici quelques exemples : Un tétraèdre un cube un « origami »

14 Le cube Pour changer le point de vue, déplacer la souris en gardant le bouton droit enfoncé ; en tirant délicatement sur une face, on peut ouvrir le cube et le développer

15 Surface polyédrale ? …Cependant, lobjet ci- contre nest pas une surface polyèdrale. Les faces doivent être des polygones ; les faces adjacentes ont en commun une arête, qui est un côté de deux polygones exactement. Une surface polyédrale peut, en chacun de ses points (sauf un nombre fini appelés sommets), être appliquée sur un plan.

16 Développer un polyèdre Dans une surface polyédrale, tout point M admet-il un voisinage qui s'envoie sans distorsion (cest à dire sans modification de la longueur des courbes ni des distances) sur un morceau du plan ? Quand M est sur une face cest clair. Est-ce encore vrai quand M est situé sur une arête?

17 Développer dautres polyèdres

18 Surfaces en papier Prenez une morceau de feuille de papier, mettez-la à plat sur la table et tracez une ou plusieurs courbes sur cette feuille. Déformez ensuite cette feuille pour obtenir un cylindre, une surface ondulée, une surface en forme de toit, etc… Ces déformations ont elles modifié la longueur des courbes que vous aviez tracées? Imaginez un développement de la surface que vous venez dobtenir. On pourra sexercer sur des surfaces en papier.

19 Surfaces polyédrales en papier Les surfaces polyédrales peuvent être réalisées avec du papier (en découpant, en collant et en pliant), cest la raison pour laquelle le développement nintroduit aucune modification de la longueur des courbes que vous pouvez tracer sur la surface.

20 Droites sur une surface

21 Droites sur un polyèdre Est droite toute courbe qui, au voisinage de chacun de ses points, admet un développement qui envoie la portion de courbe sur une portion de droite du plan.

22 Tracer un segment de droite : le principe Sur le cube ci-joint, deux points A et B ont été choisis sur des faces opposées ; B, image de B sur le patron, est joint au point A par un segment de droite ; ce segment est ensuite reporté sur le cube, pour former une « droite » joignant A à B. On peut vérifier la construction en déplaçant A et B, et en ouvrant le cube, pour lamener à coïncider avec le patron. On pourra sexercer sur des surfaces en papier, que lon dépliera pour tracer à plat les droites.

23 Prolonger une droite sur le cube Le chemin tracé en trait rouge plein sur le cube est développé sur le patron en une droite du plan (en trait rouge tireté). Ceci prouve que ce chemin est une « droite » du cube, puisque, autour de tout point du chemin, il existe un développement dans lequel la portion de chemin située de part et dautre du point est transformée en une portion de droite du plan. On peut ouvrir le cube pour vérifier que ce développement est correct. En agissant sur le point m, on peut changer la direction de la droite. On peut changer le point de vue à laide du bouton droit pour mieux voir et vérifier.

24 Un Test…

25 La géométrie du cube est-elle euclidienne ? On peut développer le cube pour vérifier que les courbes tracées sur le cube, et joignant les points A et B, sont chacune des segments de droite. Combien y a-t-il de droites joignant les points A et B ?

26 La Géométrie du parallélépipède nest pas Euclidienne En effet, il existe plusieurs droites qui passent par les deux points A et B La difficulté est de démontrer réellement que les deux courbes verte et rouge sont deux droites. Cliquer sur limage pour obtenir la figure Cabri donnant une démonstration visuelle…

27 La géométrie du cube nest pas euclidienne (suite) En agissant sur le point m, on peut changer la direction de la droite du cube (en trait rouge plein). En particulier, on observera que la droite peut repasser très près de son point initial, et même lorsque m est en position extrême, se recouper elle- même (changer le point de vue à laide du bouton droit pour le vérifier). Ces phénomènes sont incompatibles avec une géométrie euclidienne, puisquils impliquent que, par deux points voisins du cube, peuvent passer plusieurs droites.

28 La Géométrie de la pyramide nest pas Euclidienne Par le point I ne passe aucune parallèle à la droite verte…

29 « Lorigami » L'origami est obtenu en recollant le long de leurs côtés quatre secteurs angulaires égaux (figurés ici par des triangles isocèles) IOL, IOJ, JOK, LOK, dont l'angle au sommet O est supérieur à 90°. Cette figure est manipulable : déplacer la souris, bouton droit enfoncé, pour changer le point de vue, ou déplacer le point K, pour replier lorigami.

30 Droites de lorigami Sur les figures dynamiques, on peut replier lorigami, et vérifier des alignement et des propriétés sur un patron, ou sur des projections.

31 La géométrie de lorigami est-elle euclidienne ? En rouge, on a tracé deux "droites" de l'origami (vous pouvez modifier leur direction de manière à obtenir d'autres droites en déplaçant les points m et n le long du segment ab). En noir on a dessiné les projections de ces droites sur le plan horizontal (vous pouvez le vérifier en trouvant une "vue de dessus" où les "droites" se confondent avec leurs projections). Pour que les "droites" (rouges) ne se coupent pas il suffit que leurs projections (en noir) ne se coupent pas. Fixez une des deux "droites" et modifiez la position de l'autre "droite" de manière à ce qu'elle ne coupe pas la première, tout en passant toujours par le point c qui reste fixe. Y-a-t-il 0, 1, 2 ou une infinité de positions possibles qui répondent à la question?

32 La géométrie de lorigami est-elle euclidienne ? Pour que les "droites" (rouges) ne se coupent pas il suffit que leurs projections (en noir) ne se coupent pas. On a vu qu'en fixant une des deux "droites", on peut modifier la position de l'autre "droite" de manière à ce qu'elle ne coupe pas la première, tout en passant toujours par un même point qui reste fixe... et qu'il y a une infinité de positions possibles qui répondent à la question. Dans toutes ces positions, la seconde droite est parallèle à la première, puisqu'elle ne la rencontre pas. Or l'axiome d'Euclide le plus célèbre affirme que "par un point extérieur à une droite passe une parallèle à cette droite et une seule". La géométrie de l'origami n'est donc pas euclidienne!

33 La Géométrie de lorigami nest pas Euclidienne Cette figure dynamique permet de vérifier une fois de plus que, sur lorigami, par un point extérieur à une droite passent plusieurs droites ne rencontrant pas la première.

34 Au fait, quest-ce quune géométrie ? Au XIXème siècle, il y avait un hiatus entre deux manières de pratiquer la géométrie : 1. la méthode axiomatique « à la Euclide » applicable par exemple à la géométrie euclidienne, à la géométrie sphérique, à la géométrie de Lobachevsky Dans ce point de vue, une géométrie est la donnée dun espace X, de ses « droites », de la longueur des segments de ces « droites », etc… plus un certain nombre de conditions : les « axiomes » de la géométrie Euclidienne par exemple. 2. Lautre point de vue a son origine dans la pratique courante de la géométrie des surfaces…

35 2. Lautre point de vue a son origine dans la pratique courante de la géométrie des surfaces… … cest-à-dire la géométrie des surfaces dans lespace tridimensionnel, comme lellipsoïde ou la surface du globe terrestre modélisée par Gauss dans sa cartographie du Danemark. Dans ce deuxième cas, on admet de pouvoir travailler avec des surfaces « bosselées » ou « déformées », cest-à-dire où la géométrie nest pas la même du voisinage dun point au voisinage dun autre point.

36 Point de vue de physicien Du point de vue du physicien, dans la modélisation axiomatique traditionnelle de la géométrie, deux observateurs situés en deux points différents sont équivalents, cest-à-dire quils ont la même perception de la géométrie de lespace ; dans le cas des surfaces (éventuellement bosselées), deux observateurs situés en deux points différents ont une perception différente de la géométrie.

37 Quel point de vue avons-nous privilégié lorsque nous avons décidé que, sur un polyèdre, est droite toute courbe dont chaque point admet un développement local (sans distorsion) sur une portion de plan qui envoie chaque portion de la courbe sur une portion de droite ? Y a-t-il moyen dunifier les différents points de vue ? Quel point de vue avons nous suivi jusquici ?

38 Riemann Lapport de Riemann et de ses successeurs a été dunifier les deux points de vue en admettant que laxiomatique (ou plutôt la manière de la quantifier) puisse varier dun point à un autre. Ceci se traduit par lintroduction dune distance entre couple de points qui nest pas la distance euclidienne « à vol doiseau ». Observons que, dans le cas euclidien, la distance est déterminée par le produit scalaire. Pour définir une géométrie « à la Riemann » dans le cas général, il suffit dadmettre que ce produit scalaire varie avec le point.

39 La projection cylindrique entraîne des distorsions dautant plus fortes quon se rapproche des pôles. Pour compenser ce phénomène, il faut que la norme dun vecteur libre de la carte ne soit pas la même suivant quon se trouve en un point de la carte proche de léquateur ou proche dun pôle. Les distorsions de la projection cylindrique, sont des variations du produit scalaire de la sphère.

40 Chaque point de la surface admet un voisinage quon peut cartographier en le projetant sur le plan horizontal ou sur un plan vertical; lidée est toujours de décrire le produit scalaire dans la carte ainsi obtenue La géométrie dune surface décrite à travers les variations du produit scalaire

41 La distance On aurait pu partir directement de la donnée dune distance (entre paires de points) différente de la distance euclidienne. Cependant, dans la théorie de Riemann, on impose à la distance de conserver quelques propriétés de la distance euclidienne, à savoir : Lexistence dun point milieu ; plus précisément, pour tout couple de points A et B, il existe un point M tel que d(A,M)=d(M,B) et d(A,M)+d(M,B)=d(A,B) Lespace de la géométrie, vu avec un microscope centré en un de ses points, tend vers un espace euclidien quand le grossissement G tend vers linfini. Par exemple, une surface vue par un microscope centré en un de ses points M tend vers lespace tangent en M, et lensemble des points de la surface situés à distance 1/G de M tend (après grossissement) vers un cercle euclidien de rayon 1.

42 Les droites et autres notions… Dans ce cadre, restent à définir –Les droites (et vérifier si les grands cercles de la sphère, et les droites des surfaces polyédrales, sont des droites en ce sens) –Les angles –Les triangles Ces thèmes seront développés, accompagnés de figures dynamiques commentées sur le site de lIrem de Grenoble : Avec dautres thèmes : la formule de Gauss-Bonnet, loptique et les surfaces polyédrales.

43 La somme des angles dun triangle Dans le plan, afin dévaluer la somme des angles dun triangle ABC, traçons la parallèle au côté BC passant par A : Sur une surface polyédrale, ou sur une sphère, sur lesquelles il ny a pas de parallèles, ou bien trop de parallèles, cet argument ne fonctionne plus. Que devient alors la somme des angles dun triangle ? La valeur de cette somme est-elle vraiment liée à la validité de laxiome sur les parallèles ? La formule de Gauss-Bonnet calcule cette somme, ou ce qui en tient lieu, et la relie au défaut de planéité de la surface. La somme des angles intérieurs au triangle est égale à langle plat en A.

44 Une interprétation géométrique pour loptique En optique, les rayons lumineux obéissent à une stratégie de plus court chemin ; cependant, le trajet dun rayon lumineux réfléchi sur un miroir obéit-il à cette loi ? En dupliquant la surface parcourue, et la dépliant le long dune arête figurant le miroir, on peut interpréter la réflexion comme un déplacement sur une surface polyédrale. En cours de publication sur le site de lIrem de Grenoble :


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