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Invariants of Metric Spaces Yashar Memarian 11 janvier 2008, Journée des doctorants,Orsay.

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1 Invariants of Metric Spaces Yashar Memarian 11 janvier 2008, Journée des doctorants,Orsay

2 Directeur de THESE:MISHA GROMOV 1-La Concentration topologique et linvariant WAIST A-Concentration et Isoperimetrie B-Almgren-Morse theorie et Min-Max C-WAIST dun MM-Espace 2-Min-Max cohomologique

3 Concentration et Isoperimetrie (Levy-Milman): Toute fonction 1-Lipshitz sur la sphère S n se concentre autour dun seul point m f (la moyenne de levy): µ{xε S n І І f(x)-m f І ε} < w n (ε)= ε п/2 (cost) n-1 dt/ 0 п/2 (cost) n-1 dt Ce theoreme est prouvé a laide linegalité isoperimetrique spherique(des inegalités en codimension 1)

4 (Levy-Gromov): Soit V une varietée Riemanienne compacte de dimension n verifiant Ricc V Ricc S n =n-1. Soit A une partie mesurable de V et Ac S n une boule dans S n de même volume relatif(VolA/VolV=VolA/VolS n ) Alors pour tout ε0 on a: VolA ε /VolVVolA ε /VolS n Les varietes Riemanienne compacte a courbure de Riccin-1 sont aussi concentrée que la sphere S n.

5 Almgren-Morse théorie et Min-Max (Almgren-Gromov): Soit f une application lisse generique de S n R k (k

6 Remarques: Ce théorème est un principe de Min-Max sur les mesures des fibres des applications lisses. Linégalité dAlmgren(le cas du théorème de Gromov) est la première inégalité de type isoperimetrique en codimension1 dans la littérature Doù lintroduction de la notion de concentration topologique et la formulation en terme dun invariant métrique des MM espace par M.Gromov

7 Waist des MM-espace Soit X=(X,d,µ) un MM-espace,étant donné un espace topologique Z on écrit wst(XZ,ε)w(ε) si pour toute application continue f:XZ il existe un point zεZ tel que la fibre f -1 (z)C X vérifie: µ( f -1 (z)+ε)w(ε) pour tout ε>0

8 Exemples 1-Waist de la sphere canonique S n : (Gromov): wst(S nІR k,ε)Vol(S n-k +ε) Pour tout ε>0 Cette inegalité est optimale. Ce thereme est une generalisation du theoreme dAlmgren a la Paul levy. Ce theoreme est une generalisation de la concentration des fonctions doù la concentration topologique de S n Le cas ε=0 est verifié que pour les applications lisses(Almgren-gromov) mais pour les applications continues ca reste un probleme ouvert.

9 2-Waist des convexes munies dune mesure Log- Concave: (Gromov): Soit X un convexe dans ІR n munie dune mesure Log- Concave alors: Wst(XІR k,ε)wst. (Ga k,ε)= B(0,ε) g k (x)dx cette inegalité est optimale.

10 Bien que ces résultats sont très intéressants en soi mais leur démonstration a aussi une très grande importance.La preuve nutilise en aucun cas les principes variationnelles et elle a une nature topologique: une généralisation très forte du théorème de Borsuk-Ulam.

11 Min-Max cohomologique Formulation de Guth: Z(k,n) est lespace des k-cycles dans la boule unité(a coefficient Z/2Z) F:XZ(k,n) une application continue dun complexe simplicial,αεH * (Z(k,n),Z/2Z),on dit que F détecte α si F * (α)0 alors on note ІF(α) lensemble de toutes les familles de cycle qui détecte α et le volume Min-Max de la classe α : V(α)= Inf Sup Volume(c) FεІF(α) cεF Ainsi on peut définir une volume Min-Max pour chaque classe de cohomologie et les cycles définit par les fibres des applications est un exemple dune classe de cohomologie parmi une infinités dautres.

12 Ce que jai fais et ce que je devrai faire 1-La comprehension des preuves des theoremes de waist de Gromov et appliquer les arguments des preuves a dautres espaces(v.r avec borne sur les courbures,les spheres unités des espaces de banach uniformement convexe…) 2-comparer linvariant waist avec dautres invariants metriques(widths,FillRad,FillVol,PackWidths,obsdiam,…) 3-remplacer le voulme par Volume+ε et essayer de faire marcher les arguments de Guth pour le Min-Max a la paul levy 4-que peut on dire si on prend des coefficients Z,Z/pZ? 5-Que se passe t-il si on remplace la boule par dautres espaces? 6-Peut on gagner quelque chose en utilisant la theorie du spectre non-lineaire?

13 Remerciements: Pierre Pansu,Misha Gromov Ludwig van beethoven


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