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Optimisation globale non déterministe Recuit simulé et algorithmes évolutionnaires.

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1 Optimisation globale non déterministe Recuit simulé et algorithmes évolutionnaires

2 Optimisation stochastique zMéthodes doptimisation qui ne requièrent pas de régularité sur les fonctions à optimiser zMéthodes couteuses en temps de calcul qui ne garantissent pas de trouver loptimum. zLes résultats de convergence ne sappliquent pas en pratique.

3 Le recuit simulé zInitialisation: on part dun point x 0 choisi au hasard dans lespace de recherche. yOn construit x n+1 =x n +B(0,s) yOn fait évoluer la température de recuit: t n+1 =H(t n ) ySi f(x n+1 )f(x n ) alors : xSi |f(x n+1 )-f(x n )|e - k t alors on conserve x n

4 Paramètres importants zLe schéma de recuit H détermine la façon dont lalgorithme converge. yTrop rapide=>Lalgorithme converge vers un minimum local yTrop lent=>Lalgorithme converge trop lentement. zLe déplacement B(0,s) doit balayer suffisamment lespace sans trop déplacer le point.

5 Efficacité zLes algorithmes de recuit sont utiles sur des problèmes trop difficiles pour les techniques déterministes. zOn leur préfèrera des algorithmes de type génétique quand on peut construire des croisements qui ont un « sens ».

6 Algorithmes génétiques zTechniques doptimisation sappuyant sur des techniques dérivées de la génétique et de lévolution naturelle: yReproduction yCroisement yMutation zApparus aux Etats-Unis dans les années 60 à travers les travaux de John Holland zPopularisés par David Goldberg.

7 Codage dun élément et création de population zSoit x, variable de la fonction f(x) à optimiser sur [x min,x max ]. zOn réécrit x :2 n (x-x min )/(x max -x min ) zOn obtient alors un nombre compris dans lintervalle [0,2 n ], soit une chaine de n bits: yPour n=8: yPour n=16: zOn tire n éléments au hasard et les code comme ci-dessus.

8 Croisement zOn choisit deux parents : y y zOn tire au sort un site de croisement (3): y011|00111 y100|10111 zOn récupère les deux enfants: y011|10111 y100|00111

9 Mutation zOn sélectionne un élément: y zOn sélectionne un site de mutation (5): y zOn inverse la valeur du bit: y

10 Reproduction zPour chaque élément x i on calcule f(x i ) et S= (f(x i )) zPour chaque x i on calcule p(x i )=f(x i )/ (f(x i )) zOn retire les n éléments de la population k+1 à partir des n éléments de la population k en prenant comme probabilité de tirage p(x i )

11 Exemple de reproduction zSoit f(x)=4x(1-x) zx prend ses valeurs dans [0,1[

12 Fonctionnement dun AG zEtape 1: reproduction zEtape 2: croisement zEtape 3: mutation zEtape 4: test de fin, et retour à létape 1.

13 Le scaling zLe fonctionnement de lalgorithme dépend fortement de la valeur de ladaptation. zAu lieu dutiliser directement f(x) comme adaptation, on la « met à léchelle » en appliquant une fonction croissante. zExemples: y 5 (f(x)-10)/3: augmente la pression y 0.2 f + 20 : diminue la pression

14 Exemple de scaling

15 Le sharing zLa pression de sélection peut entrainer une convergence locale trop rapide. zLe sharing modifie ladaptation en fonction du nombre déléments voisins de lélément courant: f s (x i )=f(x i )/ j s(d(x i,x j )) ys est une fonction décroissante. yd(x i,x j ) mesure la distance entre i et j

16 Le sharing zLe sharing demande la mise en place dune fonction distance sur lespace des variables. zForme générale de s:

17 Problème du codage en chaine de bit zDeux éléments très différents au niveau du génotype peuvent avoir des phénotypes identiques. ySur un codage simple de [0,1] en 8 bits: y et représentent quasiment la même valeur (1/2) mais leur distance de Hamming est maximale. yOn peut utiliser des codes de Grey, ou employer des représentations adaptées.

18 Représentation adaptée zPour les fonctions à variable réelle, on code directement la variable par sa valeur zCroisement: y 1 = x 1 + (1- ) x 2 y 2 = (1- ) x 1 + x 2 pris dans [0.5,1.5] zMutation: y 1 = x 1 + B(0, )

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20 Résolution de conflits aériens

21 Modélisation

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25 Résultats

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32 Le voyageur de commerce

33 Le voyageur de commerce: croisement

34 Nouveau croisement

35 Voyageur de commerce: mutation


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