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Algorithmes Génétiques : Principes mathématiques et Utilisations C. Bontemps Merci à Jean Marc Alliot, Christophe Bisiere, Nicolas Durand, Nathalie Lenoir.

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1 Algorithmes Génétiques : Principes mathématiques et Utilisations C. Bontemps Merci à Jean Marc Alliot, Christophe Bisiere, Nicolas Durand, Nathalie Lenoir et Eric Malin

2 Plan Général Principes des algorithmes génétiques Exemples Opérateurs classiques Améliorations Résultats théoriques Utilisations et perspectives

3 Principe des Algorithmes Génétiques Algorithmes Stochastiques itératifs qui opèrent sur des individus codés, à partir dune population initiale. Cette population évolue de la génération k à la génération k+1 à laide de trois opérateurs : –Opérateur de Sélection –Opérateur de Croisement –Opérateur de Mutation.

4 Principe (suite) Chaque individu est reproduit en fonction de son adaptation au problème (fitness). On code les individus de manière à les faireévoluer grâce aux opérateurs On effectue –des croisements sur les individus destinés à être reproduits –Des mutations aléatoires ê Génération de nouveaux individus

5 Ingrédients Une fonction objectif Une population initiale Une méthode de codage Des opérateurs Un critère darrêt

6 Evaluation-Sélection Mutation Population génération k Population génération k+1 Croisement (Nouveaux individus) Pc Pm

7 Exemple élémentaire Max de f(x)=4x(1-x) sur lintervalle [0,1] Tirage dune population initiale de 4 éléments codés sur 8 bits Evaluation et Sélection des individus: –les meilleurs sont plutôt conservés ou transformés, –les mauvais sont plutôt éliminés. Formation dune nouvelle population de 4 individus

8 Exemple élémentaire Eltsf(x)% repr. 0.79/2.59= /2.59= /2.59= /2.59= ,310,490, Cumul On tire 4 nombres entre 0 et 1: 0.47, 0.18, 0.89 et 0.75

9 Exemple élémentaire (suite) Elts Sélectionnés On tire les éléments destinés à se croiser avec la proba P c Eléments Choisis pour le croisement PcPc

10 Croisement des individus 1 et On tire une position parmi les 8 bits : Parent 1Parent 2 Enfant 1Enfant 2 Les deux éléments issus de la sélection

11 Exemple élémentaire (fin) Pop. Finale On réitère ensuite la procédure Apres 100 générations (2,5 sec.), le meilleur élément est x=0, f(x) Meilleur individu

12 Une comparaison Econométrique (Dorsey et Mayer) Comparaison de 6 méthodes : –Simplexe (Nedler & Mead 1965) –Adaptative Random Search (Pronzato et al. 1984) –Simulated Annealing (Corona et al. 1987) –Draw (recherche aléatoire) –Algorithme Génétique –MSCORE (Manski, Thompson 1987) sur 11 problèmes économétriques classiques

13 Evaluation-Sélection A chaque élément i de la génération k on associe la probabilité P i On tire m individus (avec replacement) dans la génération k des ( i, P i ) i=1,..,m Géné H k ê On favorise la reproduction des bons ê On élargit ensuite la population par croisement et mutation

14 Lopérateur de croisement Opérateur dexploration de lespace détat On tire : –un couple déléments de H k : ( j, l ) –une variable aléatoire Y Bernouilli( Si Y =1 Croisement des individus ( j, l ) Si Y=0 Individus replacés dans G(k+1) = P c = Probabilité de croisement (~60-80%)

15 Croisement pour un codage chromosomique On tire une position parmi les 8 bits : Parent 1Parent 2 Enfant 1Enfant 2 Deux éléments (binaires) issus de la génération k

16 Croisement sur éléments réels Deux éléments issus de la génération k : P1 et P2 P1P1 P2P2 Barycentre de P1 et P2 avec a dans [0,1] Barycentre de P1 et P2 avec a hors de [0,1] C 1 =aP 1 +(1-a)P 2 C 2 =(1-a)P 1 +aP 2

17 Limitations de lopérateur de Croisement Si tous les éléments sont dans le même sous-espace. P1P1 P2P2 Barycentre de P1 et P2 avec a dans [0,1] Barycentre de P1 et P2 avec a hors de [0,1] C 1 =aP 1 +(1-a)P 2 C 2 =(1-a)P 1 +aP 2 P3P3 P5P5 P6P6 P4P4 P3P3

18 Limitations de lopérateur de croisement Si on code la population sous la forme : La population Optimum na pas de 7 en dernière position g 1 |g 2 |g 3 5|4|0 2|3|1 7|3|3 9|4|2 6|8|5 4|6|6 1|2|7

19 Lopérateur de mutation Autre opérateur dexploration de lespace détat On tire : –un élément de H k : j –une variable aléatoire Y Bernouilli( Si Y =1 Mutation de lindividu j Si Y=0 Individu replacé dans G( k+1) =P m =Probabilité de mutation (<10%)

20 Mutation sur un codage binaire On tire une position parmi les 8 bits : 6 Un élément tiré avec la probabilité Pm Elément original Elément muté

21 Mutation sur un codage réel On tire un élément de bruit que lon ajoute : Un élément tiré avec la probabilité Pm Bruit Elément muté

22 Croisement avec Recuit simulé Evaluation-Sélection Mutation Population génération k Population génération k+1 Croisement Pc Tournoi PmPm

23 Recuit simulé Méthode dexploration aléatoire de lespace admissible, à partir dune solution quelconque lalgorithme génère une solution voisine, Si le nouveau est meilleur on le garde, Sinon on le garde avec la proba XiXi XfXf

24 Evaluation-Sélection Mutation Population génération k Population génération k+1 Croisement PcPc PmPm

25 Evaluation-Sélection Population génération k Croisement PcPc PmPm Mutation Population génération k+1


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