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Le codage des nombres en informatique Un ordinateur manipule des données, et a besoin de coder et représenter ces données. Une base est un système de numération.

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1 Le codage des nombres en informatique Un ordinateur manipule des données, et a besoin de coder et représenter ces données. Une base est un système de numération et décriture dans laquelle il faut arriver à N pour passer a une puissance supérieure et dans laquelle on compte de 0 jusquà N-1 avec N caractères différents. Plusieurs bases de codage possibles: -Base 2 (système binaire) : 0,1 un chiffre= un bit -Base 4 (système quaternaire) :,,, -Base 8 (système octal) : 0,1,2,3,4,5,6,7 -Base 10 (décimale) : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (base de calcul usuelle) -Base 16 : (système hexadécimal) : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E -Et plus… -Bases les plus utilisées: -Pour nous: base décimale -Pour un ordinateur: base binaire et dérivées: base octal (8) ou hexadécimale (16).

2 I) LE CODAGE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Pour convertir un nombre de base décimal en une base k, on effectue une répétition de divisions euclidiennes. On divise le nombre connu par k. Le reste constitue le bit le plus à droite, puis on divise le quotient par k et on récupère le reste jusquà ce que le quotient soit nul. Exemple : 13 base 2 En base 2, 13 = I) Le codage des nombres entiers positifs 13 2 6 1 2 2 3 0 1 1 2 1 0

3 Exemple : 47 base 8 47 8 5 7 8 5 0 Base 16 16 15 2 2 47 en base 8 : 47 en base 16 : E Dans dautres bases 16

4 II) Les entiers négatifs Il existe deux manières de coder les nombres négatifs : la méthode la plus simple est de réserver le bit de poids fort (celui le plus à gauche) à la détermination du signe 0 pour positif et 1 pour négatif. Le problème est que les mots 10000000 et 00000000 codent pour -0 et 0. Exemple 5 et -5 sur un octet: Base 2 5 -> 00000101 -5 -> 10000101 Base 8 5 -> 00000005 -5 -> 10000005 Lautre méthode consiste à consacrer la première moitié des mots au nombres positifs ou nuls et la seconde pour les nombres négatifs dans lordre croissant. Ainsi pour un octet, on peut coder de 0 à 127 et de -1 à -128 ; où 0 est codé 00000000 et -1 : 11111111 Base 2 5 -> 00000101 -5 -> 11111011 Base 8 5 -> 00000005 -5 -> 77777773 00000000 = 0 01111111 = 127 11111111 = -1 10000000 = -128

5 III) Les nombres décimaux Pour coder des nombres décimaux en base k, il faut séparer le nombre choisi en deux parties : Une première partie avant la virgule, une seconde partie après. 1 ère partie: codage normal (avant la virgule) 2 ème partie: Au lieu de diviser par k, on multiplie par k (après la virgule) Exemple avec 0.125 :0.125*2 = 0.250.25<1 on pose 0 0.25*2 = 0.5 0.5<1 on pose 0 0.5*2 = 1 1=1 on pose 1 (0.125) 2 = 0.001 Exemple avec 0.75 :0.75*2 = 1.5 0.5*2 = 1 1.5<1 on pose 1 1=1 on pose 1 (0.75) 2 = 0.11

6 Exemple avec 0.9 en base 2 : 0.9*2 = 1.8 0.8*2 = 1.6 0.6*2 = 1.2 0.2*2 = 0.4 0.4*2 = 0.8 0.8*2 = 1.6 1.8>1 on pose 1 1.6>1 on pose 1 1.2>1 on pose 1 0.4<1 on pose 0 0.8<1 on pose 0 1.6>1 on pose 1 (0.9) 2 0.111001 Exemple avec 0.03125 en base 16 : 0.03125*16 = 0.50.5<1 on pose 0 8>1 on pose 80.5*16 = 8 (0.03125) 16 = 0.08 0.125*4 = 0.5 Exemple avec 0.125 en base 4 : 0.5*4 = 22>1 on pose 0.5<1 on pose (0.125) 4 =,

7 A une autre échelle, les nombres décimaux et entiers les plus grands et le plus petit sont représentés dune autre manière. 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 Le bit de point fort correspond au signe. (0 = positif, 1= négatif) Les 11 bits suivants correspondent à lexposant, qui permet de trouver n par : exposant = n+1023. Les 52 suivants correspondent à la mantisse, m. Un nombre en base k est représenté sous la forme s m*k^n Ce qui représente lécriture scientifique en base k Quand on change de base on remplace le « k », par la valeur de la base choisie, ainsi en base 2, on a s m*2^n ou pour la hexadécimal s m*16^n. -Pour une précision simple : 32 bits 1 bit de signe, 8 bits exposant, 23 bits mantisse -Pour une double précision: 1 bit de signe, 11 bits exposant, 52 bits mantisse

8 Exemples Pour -1,0331*10^9 Le signe est négatif donc 1 1.0331*10^9 = 1.924298704*2^29 Exposant = n+1023 Exposant = 29+1023 = 1052 Le nombre 1052 est égal à 10000011100 Mantisse = 9242987047 1000100110111011001100101000100111 Ce nombre est donc représenté par le mot: 1100000111001000100110111011001100101000100111000000000000000000 Cas particulier +=0111111111110000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000 - =1 11111111111 0000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000 NaN*=1111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111111111 * Not a number, qui est une valeur indéfinie.


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