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Horloge hélio-caustique de temps moyen Francis Ziegeltrum 13 octobre 2012 Réunion CCS-Palais de la Découverte.

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1 Horloge hélio-caustique de temps moyen Francis Ziegeltrum 13 octobre 2012 Réunion CCS-Palais de la Découverte

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3 Sommaire Quest ce quune caustique? Aperçu historique Les catacaustiques Les diacaustiques Etude dune horloge hélio-caustique de temps moyen à cadran plat

4 Quest ce quune caustique? On distingue: Le terme caustique désigne dune façon générale lenveloppe des rayons lumineux issus d'un point à distance finie (caustique "au flambeau") ou infinie (caustique "au soleil ") après modification par un instrument optique. Catacaustique: Caustique formée par la réflexion des rayons lumineux par un miroir courbe. Diacaustique:Caustique formée par la réfraction des rayons lumineux par un dioptre.

5 Aperçu historique Siège de Syracuse et les miroirs ardents dArchimède Ars Magna Lucis et Umbrae (Kircher) En 213 av JC les romains assiègent Syracuse Archimède aurait réussi à enflammer les navires des romains à laide de grands miroirs en bronze polie. Cette illustration du livre de Kircher met en scène cette légende. Première remarque: vu la position du Soleil par rapport au navire il semblerait plutot sagir dune boule de verre. Deuxième remarque: Plus intéressants sont les illustrations montrant la parabole, lellipse et le demi- cercle.

6 Renaissance Léonard De Vinci ( ), Codex Arundel Esquisse de la caustique du cercle Il sagit du premier tracé de caustique connu.

7 Premières études La caustique dun cercle est une néphroïde cest-à-dire une épicycloïde à deux rebroussements (cercle de rayon a/2 roulant à l'extérieur d'un cercle de rayon a). En 1690, dans son livre Traité de la lumière, Christian HUYGENS ( ) donne une représentation géométrique de la caustique dun cercle.

8 Premières études Ehrenfried-Walter TSCHIRNHAUSEN ( ) créa le mot caustique à partir du mot grec kaustikos provenant de katein = brûler. Jacques et Jean Bernoulli semparèrent du sujet et le traitèrent dune manière beaucoup plus générale. Ils nont considéré les caustiques que sous leur aspect mathématique, cest à dire, que comme des courbes dont il était intéressant de rechercher les propriétés. On trouve dans l'Analyse des infiniment petits du Marquis de l'Hôpital ( ), une méthode pour déterminer les caustiques de réflexion et de réfraction d'une courbe quelconque.

9 Mise en équation Jean de Thomas de St Laurent ( ), Arthur Cayley ( ) puis Henri Bouasse ( ) parviennent à mettre quelques courbes caustiques en équation. Par exemple léquation de la catacaustique dun miroir cylindrique est:

10 Généralisation La théorie des catastrophes fondée par le mathématicien René Thom ( ) permet une nouvelle interprétation mathématique du phénomène optique de focalisation. Les caustiques peuvent être classées suivant leur topologie. De nombreuses recherches sont en cours pour mettre au point des outils mathématiques pour simuler les surfaces caustiques.

11 Un sujet toujours brûlant Etude des caustiques des tours de lhôtel Vdara à Las Vegas Caustic effects due to sunlight reflections from skyscrapers: simulations and experiments M Vollmer and K-P Möllmann Lhotel Vdara à Las Vegas est un immeuble de 170m qui a ouvert ses portes en Dès septembre 2010 des clients, assis devant la piscine ont été sévèrement brulés par un soi-disant rayon de la mort, qui a également fait fondre des objets en plastique. Une étude a été publiée en aout 2012 par 2 chercheurs allemands. Ils ont démontré que cest la forme en arc de cercle des immeubles et les vitres très réfléchissantes qui produisaient une caustique dont le point de rebroussement balayait les bords de la piscine. Létude montre que des températures de 200 à 250°C pouvaient être atteintes localement en quelques secondes. Dimportant travaux sont envisagés pour éliminer la caustique. Cest à ce jour la plus grande caustique au monde.

12 Les caustiques, phénomènes optiques, ont été un sujet détude pour de nombreux mathématiciens. Certaines caustiques ont même été mises en équation. Conclusion

13 Les catacaustiques

14 Az=-45° Catacaustique dun miroir cylindrique Az=0°Az=45°

15 Source: Playing with caustic phenomena Christian Ucke/Christoph Engelhardt Influence de langle dincidence

16 Source: Kaustik in der Kaffeetasse Christian Ucke und Christoph Engelhardt Influence de la hauteur du miroir

17 Az=-10° Catacaustique dun miroir parabolique Az=0° Az=10° La parabole est très connue pour ses propriétés optiques. Elle concentre en son foyer les rayons parallèles à son axe. Si les rayons ne sont pas parallèles à laxe il se forme une caustiques en forme de courbe de Tchirnhausen. Cette caustique suit le mouvement du Soleil, mais uniquement lazimut et non la hauteur.

18 Az=-45° Catacaustique dun miroir en forme de deltoide Az=0° Az=90° La deltoide est une courbe de la famille des cycloides. Cette coube a la particularité de produire une caustique en forme dastéroide dont les points de rebroussements suivent le mouvement du Soleil. Jean François Echard a déposé un brevet en 2005 pour ce type de cadran solaire. Malheureusement la forme de la caustique nest pas sensible aux variations de la hauteur du Soleil.

19 Les catacaustiques étudiées ne permettent pas de réaliser une horloge hélio-caustique de temps moyen car elles ne prennent pas assez en compte la hauteur du Soleil Conclusion

20 Les diacaustiques

21 Az=-10° Diacaustique dun cylindre en verre Az=0° Az=30°Az=0°

22 Walter Gordon Benoy Erich Pollähne Diacaustique dun cylindre en verre Voici des cadrans solaires dont lindication des heures est réalisée avec une caustique produite par un cylindre en verre.

23 Cadran dErich Pollähne à Wennigsen Diacaustique dun cylindre

24 Diacaustique dune boule en verre

25 Horologium heliocausticum Athanasius Kircher 1646 Ars Magna Lucis et Umbrae Anthanasius Kircher a décrit dans son livre une horloge héliocaustique dont la chaleur permet de mettre le feu à de la poudre à chaque heure. On notera la petitesse de la boule par rapport à sa caustique. Ce qui me dérange cest que lon attribut linvention mot caustique à Tschirnhausen alors que Kircher utilise déjà ce mot.

26 Diacaustique dune boule en verre Johannes Zahn Oculus artificialis teledioptricus Quelques années plus tard Johannes Zahn reprend lidée de Kircher et rajoute un exemple dhorloge héliocaustique.

27 Diacaustique dune boule en verre Héliographe de Campbell-Stokes Vers 1850

28 Diacaustique dune boule en verre Cadran solaire pour aveugle de Claude Guicheteau daprès Jacques Ozanam

29 Diacaustique dune boule en verre Kitt Peak National Observatory Réalisé par Stephen Jacobs Installé en 2005

30 Diacaustique dune boule en verre Iwan Kahn

31 Les réalisations existantes montrent quune boule en verre, grâce à sa caustique, peut servir dhorloge solaire et peut même indiquer le temps moyen. Peut-on réaliser une horloge solaire de temps moyen à cadran plat? Conclusion

32 Etude de la caustique dune boule en verre

33 Diacaustique dune boule de verre Les rayons du Soleil sont déviées une première fois par le passage de lair dans le verre puis une deuxième fois en passant du verre dans lair. Les rayons émergents sont tangents à une courbe en rouge, cest la caustique de la boule de verre.

34 Tous les rayons émergents sont tangents à une surface de révolutions appelée nappe tangentielle et se croisent le long de la nappe sagittale. Seuls les rayons centraux convergent au foyer paraxial Fp. Diacaustique dune boule en verre Nappe sagittale Nappe tangentielle Foyer paraxial Fp

35 SubstanceIndice de réfraction nDistance focale R=50mm Eau1,33100,75 Verre1,5174,0 Calcul de la distance du foyer paraxial Fp au centre de la sphère Fp Cette distance dépend du rayon de la boule et de la matière. Plus lindice de réfraction est faible plus cette distance focale est élevée.

36 Longueur de la nappe sagittale SubstanceIndice de réfraction n Angle critiqueLongueur à partie de Fp Eau1,3348,75°23 mm Verre1, °13 mm La longueur de la nappe sagittale dépend de lindice de réfraction du milieu car à partir dun certain angle, les rayons sont entièrement réfléchis.

37 Géométrie de la caustique Voici trois coupes de la caustique: Lextrémité se réduit à un point très lumineux La coupe au niveau de la nappe sagittale fait apparaitre une tache avec en son centre un point très lumineux La dernière tranche montre labsence du point central.

38 Influence de lindice de réfraction verre eau

39 Taille du point La nappe sagittale est limage du Soleil. Le diamètre apparent du Soleil est de 32, donc lépaisseur de la nappe sagittale est de :

40 Intensité de la nappe sagittale La puissance solaire incidente est en moyenne de 1400W/m 2 Comme la sphère a un rayon de 50mm, la puissance sur la demi-sphère est de 22W. Cette puissance ramenée au point de diamètre de 0.68mm donne une puissance de W/m 2. En utilisant la loi dite de Stefan on peut calculer la température du point sur lécran, on trouve 800°C. Se pose le problème de la matière de lécran. Il doit résister aux hautes températures.

41 Photo de la caustique Aberration sphérique du 3ème ordre d'une lentille Source:

42 Schématisation Sphère de rayon 0Fp Nappe sagittale Foyer paraxial

43 Réalisation dune maquette

44 Impact de la caustique Ecran en bois Quelques secondes dexposition au Soleil ont suffit pour brûler le bois. Le diamètre du point est faible.

45 La nappe sagittale de la diacaustique dune boule de verre peut être utilisée pour indiquer très précisément lheure sur un écran Conclusion

46 Etude dune horloge hélio-caustique de temps moyen à cadran plat Boule en verre de 100mm de diamètre Indice de réfraction n=1.51 soit Fp=74mm Longitude=-7°26 Latitude=47°36 Ecran (matière à définir)

47 Mesure de lazimut Lécran est placé à la limite de la nappe sagittale

48 Mesure de la hauteur latitude

49 (x h, y h, z h) sont les coordonnées du Soleil dans le repère local Le point dimpact est le projeté du centre de la sphère suivant le vecteur S0 S ZhZh XhXh latitude (x h, y h, z h) (0,0,0) XiXi ZiZi

50 Calcul des courbes en huit Les coordonnées(x h, y h, z h) du Soleil dans le repère local sont calculées en utilisant la formule: Lécran étant incliné, les coordonnées du Soleil dans le repère lié à lécran sécrivent: Les coordonnées cartésiennes du Soleil sont calculées à laide des formules présentées dans le Traité abrégé de gnomonique.

51 Calcul des courbes en huit Enfin on projette le centre de la boule dont les coordonnées dans le repère écran sont: suivant la droite passant par S et par le centre de la boule

52 Ecran pour la lecture de lheure Solstice dhiver Solstice dété Un écran circulaire est placé derrière la boule de verre. La boule de verre ne permet que dindiquer les heures de midi à 15h.

53 Solstice dhiver Solstice dété La caustique dun récipient sphérique rempli deau permet dindiquer les heures légales de 11h à 16h.

54 Il est donc possible de réaliser une horloge héliocaustique de temps moyen à cadran plat. Le choix de la matière de lécran est toutefois difficile. Je suis à la recherche de verre vitro- céramique opaque… Conclusion finale


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