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2013 - Université catholique de Louvain ELEC 2670cours n° 8 Modélisation du ciel Un document relatif à plusieurs des points (pas tous) développés dans.

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1 Université catholique de Louvain ELEC 2670cours n° 8 Modélisation du ciel Un document relatif à plusieurs des points (pas tous) développés dans les transparents suivants a été placé sur le site icampus du cours (pas sur mon site perso).

2 Université catholique de Louvain 2 Introduction Si on admet la décomposition présentée dans la première partie, on constate que lon a besoin pour caractériser léclairement en fonction de linclinaison et lorientation dun panneau de 3 paramètres ou plus correspondant à léclairement directionnel (1) léclairement diffus hémisphérique - isotrope (1) -ou isotrope + cercle dhorizon (2) -ou isotrope + zénithal (2) -ou plus détaillé (> 2) léclairement diffus du cercle dhorizon (1) léclairement diffus du sol (1, facile à éliminé si on connaît lalbédo local du sol) Or, on ne dispose souvent que de la mesure du rayonnement global sur plan horizontal + parfois la mesure du rayonnement direct. La mesure du rayonnement direct nest pas exploitable à ce stade puisque cest le rayonnement directionnel (direct + diffus circumsolaire) qui nous intéresse. Hypothèses de calcul : Atmosphère plane et homogène

3 Université catholique de Louvain 3 Le rayonnement direct na un intérêt pratique immédiat que dans le cas dun dispositif avec concentration de lumière. Pour un capteur plan, cest le rayonnement directionnel (direct + diffus circumsolaire) que nous souhaitons connaître. La modélisation du rayonnement direct est cependant nécessaire pour pouvoir exploiter une mesure de ce rayonnement et en déduire une information sur létat de latmosphère, information utilisable ensuite pour calculer les autres composantes du rayonnement. Il existe dans la littérature des modèles simplifiés pour létude du rayonnement direct. Modélisation du rayonnement direct

4 Université catholique de Louvain 4 Éclairement hors atmosphère A une distance du Soleil égale à une unité astronomique (distance moyenne Terre- Soleil), léclairement vaut la « constante solaire » I 0 = 1367 W/m² ( à 7 W/m² près). Cependant, léclairement reçu au niveau de la Terre varie au cours de lannée comme linverse du carré de la distance Terre-Soleil. On écrit H e dn = c(N) I 0 Pour nos besoins, on peut prendre, en fonction du jour de lannée c(N) = cos [2 (N-2) / ] On voit que, dans lhémisphère nord, le rayonnement est plus fort en hiver quen été, ce qui adoucit les saisons. Leffet inverse se produit dans lhémisphère sud. Le phénomène change après quelques millénaires (explication des périodes glacières ?)

5 Université catholique de Louvain 5 Épaisseur de latmosphère On suppose que, pour une composition donnée de latmosphère, son effet sur le rayonnement ne dépend que de la quantité dair située au-dessus dun lieu donné. Cette hypothèse est assez forte, car elle sous-entend - que les molécules dair interagissent avec le rayonnement de façon individuelle, dont sans être influencées par les molécules voisines, - que leur température na pas dimportance (on néglige lélargissement des raies dabsorption lié à une modification de leffet Doppler), - que la composition de latmosphère est uniforme (indépendante de laltitude) Avec ces hypothèses, on peut caractériser latmosphère par sa masse (en kg/m²) prise dans la direction du zénith où la masse volumique est fonction de laltitude.

6 Université catholique de Louvain 6 Cette masse atmosphérique est liée à la pression atmosphérique, mesurée dans toutes les stations météo, par Pour pouvoir travailler en nombres sans dimension, on définit une masse atmosphérique standard où p 0 vaut 1 atm. (atmosphère) = Pa (pascals) = hPa (hectopascals ou millibars) g 0 = m s -2 La masse atmosphérique relative dans la direction du zénith est définie comme m z va de 0 (TOA = sommet de latmosphère) à environ 1 (sfc = niveau du sol)

7 Université catholique de Louvain 7 La masse atmosphérique relative dans la direction du zénith vaut donc (en négligeant les variations du champ de gravitation dun lieu à lautre) Si la pression est mesurée en un lieu voisin, mais à une altitude différente, on peut corriger la mesure par la relation approximative (valable pour des altitudes z < 3.5 km) où z est la différence daltitude (en km) entre le lieu considéré et le lieu où la mesure est faite. En particulier, si la valeur de la pression dont on dispose est « ramenée au niveau de la mer », on aura Enfin, si on se contente dun calcul approché, on utilise cette formule en remplaçant la pression au niveau de la mer par la pression standard p 0.

8 Université catholique de Louvain 8 En ce qui concerne le rayonnement direct (et directionnel), son calcul repose sur la masse atmosphérique dans la direction de ce rayonnement, soit où lintégrale est prise le long du rayon lumineux direct, ou encore m = m / m z0 en valeur sans dimension. Il est facile de calculer m en fonction de m z et de la hauteur du Soleil. On a en négligeant la réfraction atmosphérique et la courbure de la terre : Une formule plus précise, qui tient compte approximativement de la réfraction, est

9 Université catholique de Louvain 9 Atténuation du rayonnement direct par latmosphère Latténuation du rayonnement direct POUR CHAQUE LONGUEUR DONDE PRISE SEPAREMENT obéit à une loi simple avec les hypothèses faites sur latmosphère (interaction lumière-molécules indépendante de la pression et de la température). On a : où le coefficient dextinction k sobtient en sommant, pour la longueur donde considérée, les coefficients dabsorption et de diffusion de chaque espèce présente dans latmosphère (pondérés par la teneur de chaque composant dans latmosphère). Quand un faisceau lumineux traverse un milieu matériel, une partie du rayonnement est absorbée ou diffusée. On définit un coefficient dextinction k pour chaque longueur donde. On notera quil est défini par rapport à la masse atmosphérique dm et non à la longueur dl. Donc, en imposant la valeur au sommet de latmosphère (TOA)

10 Université catholique de Louvain 10 On doit donc pour pouvoir faire le calcul connaître non seulement le spectre du rayonnement hors atmosphère et les coefficients dabsorption et de diffusion de chaque espèce présente, mais encore connaître la composition de latmosphère. Latmosphère comporte des gaz et des particules non gazeuses (poussières nommées aérosols, gouttelettes deau, glace). Parmi les gaz, on distingue les gaz constants (azote, oxygène, gaz rares…. mais aussi gaz carbonique CO 2 ), et les gaz variables (ozone et vapeur deau gazeuse). La quantité dozone est spécifiée en donnant lépaisseur que ce gaz occuperait sil était rassemblé en une couche de pression p 0 et de température 15°C (cest la « couche dozone », qui nest pas localisée à une altitude précise). La vapeur deau gazeuse est appelée « eau condensable » et sa quantité est donnée en g/cm², ou en cm deau liquide (alors quil sagit de leau présente sous forme de gaz !)

11 Université catholique de Louvain 11 Malheureusement, le coefficient dextinction dépend fortement de la longueur donde : il comporte une série de pics correspondant aux différentes espèces chimiques présentes dans latmosphère. Pour obtenir la valeur de léclairement sommée sur une bande de longueur donde (voire la totalité du spectre solaire), il faut donc effectuer une intégrale sur une fonction discrétisée finement. Cest ce que font certains programmes (SMART notamment ). Pour les besoins de la simulation, on recherche un calcul plus rapide. Une bonne approximation de lintégrale est où les coefficients A i et k i sont calculés par comparaison avec les résultats dun calcul plus détaillé (à noter que chaque A i rend compte de plusieurs longueurs donde pas forcément voisines, mais ayant des facteurs k l voisins de k i ). Si on considère une somme des A i inférieure à 1, cela signifie que lon admet que certaines longueur donde sont tellement éteintes quelles narrivent jamais au sol quel que soit m !

12 Université catholique de Louvain 12 Le fait de réduire le nombre de termes nest intéressant que si on peut calculer les A i et les k i « à lavance ». Or, cela nest possible que pour une composition standard de latmosphère. Les études divergent sur le choix dune composition de référence. La composition de référence la plus simple suppose que latmosphère ne contient que des gaz (on dit quelle est propre et sèche), ne contient pas deau gazeuse contient une couche dozone de 3 mm est de composition uniforme.

13 Université catholique de Louvain 13 Pour cette atmosphère de référence, on utilise depuis longtemps la formule de Kasten (publiée en 1930) où Quand m augmente, labsorption diminue : normal car les longueurs donde fortement absorbées ont déjà disparu pour de petites valeurs de m. Cette formule ne correspond pas à une somme dexponentielles ! On dispose maintenant de meilleures formules pour k 0, par exemple (Kasten, 1996 et Suri, 2004) :

14 Université catholique de Louvain 14 Lorsque latmosphère na pas la composition standard, une façon de la caractériser consiste à définir un « facteur de trouble ». Le facteur de trouble de Linke T est défini par rapport à latmosphère standard définie ci-dessous. On a EN LABSENCE de nuage devant le Soleil. Il suffit donc de mesurer le rayonnement direct sur un plan quelconque, pourvu quil soit soumis à ce rayonnement, pour pouvoir en déduire T. La valeur du facteur de trouble dépend de lexpression de k 0 utilisée ! Il ne faut donc pas réutiliser une valeur T calculée avec une autre expression de k 0. T vaut 1 pour latmosphère de référence. Il nest inférieur à 1 que si latmosphère est très sèche, très pure et que lépaisseur dozone est faible... ou la pression atmosphérique faible.

15 Université catholique de Louvain 15 Comment faire si lon ne dispose dune mesure du rayonnement que par période longue (par demi-heure à Uccle) ? On va supposer que T reste constant sur cette période. On calcule T par itération. Pour une valeur de T donnée, il suffit de calculer le rayonnement reçu à petite échelle de temps, intégrer numériquement ce rayonnement sur période considérée et comparer le résultat à la valeur mesurée. Si lénergie calculée est supérieure à la valeur mesurée, il faut augmenter le facteur de trouble. Dans le cas contraire, il faut le diminuer.

16 Université catholique de Louvain 16 Par temps nuageux non uniforme, on peut essayer de déterminer T si on connaît, en plus du rayonnement direct moyen, la fraction dinsolation. La fraction dinsolation 120 (à ne pas confondre avec la fraction dirradiation) est la fraction du temps pendant laquelle le rayonnement direct a été supérieur à 120 W/m². Cest une grandeur qui intéresse lindustrie touristique. La valeur de 120 W/m² est à peu près celle quil faut atteindre pour que le Soleil soit bien visible et fasse des ombres nettes. Hypothèse binaire : le Soleil est complètement masqué par un nuage ou ne lest pas du tout. On calcule T par itérations. Pour une valeur de T donnée, on calcule le temps pendant lequel on aurait eu s n > 120 W/m² en labsence de nuages. Si ce temps est inférieur à la fraction dinsolation, T était trop grand. Sinon, on obtient une approximation de la couverture nuageuse en divisant le temps dinsolation mesuré par le temps calculé. On obtient un nombre compris entre 0 et 1. On multiplie léclairement calculé sans nuages par ce facteur et on le compare à léclairement mesuré. Si tout va bien, par tâtonnement, on peut trouver une valeur de T acceptable et en déduire la couverture nuageuse. Un TFE a montré que lon rencontre occasionnellement des situations où ce problème na pas de solution !

17 Université catholique de Louvain 17 Contrairement au rayonnement direct, il nexiste pas de modèle simple fournissant les composantes souhaitées du rayonnement diffus. Une des difficultés vient de ce que le coefficient dextinction k utilisé ci-dessus est la somme dun paramètre relatif à labsorption et dautres relatifs à la diffusion. Il nest pas nécessaire de distinguer les deux termes pour calculer le rayonnement direct. Par contre, pour calculer le rayonnement diffus, il faut impérativement distinguer les deux termes. Modélisation du rayonnement diffus

18 Université catholique de Louvain 18 Même si lon connaît la composition de latmosphère et les coefficients de diffusion de chaque espèce, et que lon accepte un temps de calcul long, lévaluation du rayonnement diffus est difficile : il faut tenir compte du fait que le rayonnement diffusé par une molécule (ou une particule daérosol) nest pas isotrope. On peut donc distinguer parmi les méthodes de calcul du rayonnement diffus - Des méthodes empiriques - Des méthodes physiques mais très simplifiées, à dominante analytique. - Des méthodes physiques moins simplifiées, mais à dominante numérique, conduisant à des temps de calcul longs. Remarque : ce nest pas la peine de faire appel à une méthode sophistiquée si les données dont on dispose sont insuffisantes pour déterminer la valeur des paramètres à introduire dans le calcul !

19 Université catholique de Louvain 19 Les auteurs cherchent à définir à partir dune mesure disponible un paramètre caractérisant latmosphère. Les plus utilisés sont un facteur de trouble de Linke (T linke ) défini plus haut. lindice de clarté déterminé à partir dune mesure du rayonnement global sur un plan horizontal (rapport de ce rayonnement sur le rayonnement hors atmosphère, facile à calculer) Ils fournissent ensuite des formules empiriques fonction de cette caractéristique, de la hauteur du Soleil et du rayonnement hors atmosphère, par exemple une expression pour le rayonnement direct (sauf si cest lui qui est mesuré) une expression pour le rayonnement diffus circumsolaire une expression pour le rayonnement diffus isotrope parfois une expression pour le rayonnement diffus du cercle dhorizon Modélisation empirique du rayonnement diffus

20 Université catholique de Louvain 20 Les expressions empiriques sont très approchées (courbes passant à travers des nuages de points expérimentaux très dispersés). Elles sont tout au plus valables en moyenne. Nous allons fixer les idées en présentant une des nombreuses méthodes empiriques disponibles. Pour un calcul simplifié, la décomposition entre absorption et diffusion peut se faire au niveau du facteur de trouble : T = T absorption + T Cette décomposition nest pas rigoureuse du fait que le rayonnement comporte plusieurs longueurs donde ! Les formules empiriques donnant le rayonnement diffus en fonction des facteurs de trouble sont rares. Celles que nous donnons ci-dessous proviennent de ASA.

21 Université catholique de Louvain 21 diffus total sur plan horizontal Le rayonnement diffus non directionnel comporte une partie correspondant à un rayonnement qui a atteint le sol (directement ou non), y a été diffusé puis a été diffusé (une ou plusieurs fois) dans latmosphère. Cette partie est le diffus rétrodiffusé. Les expressions empiriques du rayonnement diffus (total ou réduit au non directionnel) comportent dès lors deux termes : le premier est donné par une expression établie pour un albédo REGIONAL DU SOL de 0.2, le second est la correction à effectuer pour tenir compte de la valeur réelle de cet albédo. ASA donne une expression pour le diffus sur plan horizontal (avec albédo 0.2) Note : log est très probablement le logarithme népérien.

22 Université catholique de Louvain 22 ASA donne aussi une expression du diffus rétrodiffusé sur plan horizontal A noter que, pour calculer H -, on doit additionner H d- et H s-. On en déduit Le diffus horizontal vaut doncH s- = H s- + H" s-

23 Université catholique de Louvain 23 Rayonnement circumsolaire (diffus directionnel) Pour rappel, le rayonnement directionnel sur plan normal est H d n = H dn + H sdn.

24 Université catholique de Louvain 24 Rayonnement diffus isotrope Sur plan horizontal, le rayonnement du cercle dhorizon est nul. Le rayonnement diffus isotrope sur plan horizontal peut donc sobtenir comme différence entre le rayonnement diffus total sur plan horizontal et le rayonnement diffus directionnel sur le même plan : H si- (h, T) = H s- (h, T) – H sdn (h, T) sin h Pour rappel, on peut en déduire le rayonnement isotrope sur nimporte quel plan H si = H si- 0.5 (1 + cos p )

25 Université catholique de Louvain 25 Expression du diffus du cercle dhorizon ASA donne une expression (pour un albédo du sol régional de 0.2) Pour rappel, on peut en déduire le rayonnement isotrope sur nimporte quel plan H s circle = H s circle90° sin ( p )

26 Université catholique de Louvain 26 Nous avons déjà donné précédemment une expression du diffus du sol. Ainsi, on peut obtenir une estimation de toutes les composantes du rayonnement en fonction de deux paramètres atmosphériques, T absorption et T. Les autres paramètres (albedo local et régional du sol) étant supposés connus, il suffit en principe de deux mesures déclairement pour pouvoir déterminer T et T. On peut alors en déduire chacune des composantes du rayonnement, et donc calculer ces composantes sur nimporte quel plan.

27 Université catholique de Louvain 27 Calcul a priori du trouble dabsorption Labsorption est surtout le fait des gaz variables (ozone et vapeur deau gazeuse) : les gaz constants et les aérosols sont produisent essentiellement de la diffusion. Si on connaît la teneur en gaz variables, on peut donc calculer le trouble dabsorption. Dans ce cas, une seule mesure déclairement suffira pour déterminer le trouble de diffusion, et donc toutes les composantes de léclairement. Le contenu en ozone ( e en mm) varie relativement lentement. Il fait lobjet dune surveillance et on peut donc trouver une valeur approximative. A défaut, il existe des tables (voir ASA) qui donnent des valeurs moyennes de la couche dozone en fonction de la saison et de la latitude. Le contenu en vapeur deau gazeuse (w en g/cm²) est plus difficile à estimer. Si on connaît la pression partielle de vapeur deau, on peut en déduire UNE VALEUR MOYENNE de ce contenu par la formule de Hann w = 0.17 p A défaut, on peut trouver dans ASA un tableau assez sommaire en fonction de la saison et de la latitude.

28 Université catholique de Louvain 28 Connaissant lépaisseur de la couche dozone ( e ) et la hauteur deau condensable (w), on peut calculer approximativement labsorption due à ces gaz : et finalement, en désignant par T 0 le trouble dabsorption

29 Université catholique de Louvain 29 Donc, si on a mesuré le facteur de trouble total comme indiqué précédemment (à partir dune mesure du rayonnement direct), et que lon a calculé le facteur de trouble dabsorption, on peut par différence estimer le trouble diffusif et finalement toutes les composantes du diffus PAR CIEL SANS NUAGE. Souvent, quand on ne dispose que dune mesure déclairement, il sagit du rayonnement global et non du rayonnement direct. Grâce au calcul du trouble dabsorption, on peut rechercher par itération le trouble diffusif PAR CIEL SANS NUAGE. Pour chaque valeur de T, on peut en effet calculer toutes les composantes du rayonnement et en déduire le rayonnement global. On compare alors le rayonnement global calculé à sa valeur expérimentale et on ajuste T. Par temps nuageux, on a peu de renseignements sur leffet de la couverture nuageuse sur le rayonnement diffus. Hypothèse à vérifier : supposer que le diffus du ciel sobtient en multipliant le diffus par temps clair par la couverture nuageuse (allant de 0 à 1).

30 Université catholique de Louvain 30 Décomposition du trouble diffusif On peut comprendre le trouble diffusif comme résultant de la somme de trois termes dus à des phénomènes de diffusion différents. Le trouble diffusif se décompose en trois parties T = T 1 + T 2 + T où T 1 représente leffet des gaz constants T 2 tient compte de leffet des aérosols T tient compte de leffet des gouttelettes deau (brume) T 1 = 1 par définition de latmosphère standard (si on néglige labsorption par les gaz constants ! )

31 Université catholique de Louvain 31 T 2 = 16 où est un coefficient qui tient compte des aérosols. On a approximativement = 0.03 en hivers quand lair dorigine polaire est prépondérant = 0.10 en été quand lair dorigine tropicale est prépondérant Ce coefficient diminue après des précipitation notables (lessivage de latmosphère) pour réaugmenter en deux ou trois jours. Il est aussi influencé par les pollutions. Si on connaît la visibilité (en km), on peut utiliser la formule Enfin, ASA donne un tableau de b en fonction de la couleur du ciel, allant de dun ciel bleu foncé à un ciel bleuté (voile blanc) Il reste T, nul seulement par temps très clair.

32 Université catholique de Louvain 32 Modélisation physique simplifiée du rayonnement diffus Les expressions empiriques comme celles vues ci-dessus sont très approchées (courbes passant à travers des nuages de points expérimentaux très dispersés), tout au plus valables en moyenne. Elles sont établies sur base de mesure faites sur des sites particuliers et dailleurs souvent utilisées pour une étude locale. Rien nest dit quant à leurs conditions de validité pour dautres sites. Lors de travaux de fin détude en MCTR, elles se sont avérées peu efficaces. Pour cette raison, jai recherché des expressions dont la forme serait explicable par un modèle physique, ma conviction (philosophique) étant que de telles expressions sont plus réalistes. Hélas, la littérature ne fournit que soit des modèles numériques trop lourds pour lusage envisagé soit des modèles analytiques destinés à la météorologie, qui nattachent que peu dattention à linclinaison des rayons diffusés. Jai tenté détendre ces modèles.

33 Université catholique de Louvain 33 Rationale to diffuse irradiance Diffuse irradiance comes from all the directions: where I s app is the radiance received from the direction (, ) (radiance is in W / m² /sr ) i is the angle between that direction and the normal to the plane The above integration is done only on i 0). We define

34 Université catholique de Louvain 34 How is it possible to compute I s app (, )? At any point of the atmosphere, one can consider I (m z,, ), the radiance toward the direction (, ). One has, at the ground level I s app (, ) = I(m z sfs, -, + 180°) In order to compute I(m z,, ), the first step is to known the elementary phenomenon. For non polarized light, one has: where H n is the incident light, k the extinction coefficient, the fraction of the extinct light which is scattered and P( ) the so called « phase function ».

35 Université catholique de Louvain 35 P( ) is simple as long as molecular scattering is concerned for non polarized case, but complicated in presence of aerosols or water drops (Lie scattering). Approximations are currently used. The main characteristic is the asymmetry factor (Rayleigh scattering), All computation methods (numerical or analytical) use simplified phase functions.

36 Université catholique de Louvain 36 I(m z,, ) obeys the equation where J(, ) is the source due to multiple scattering and J 0 (, ) is the source due to first scattering. One has with and with

37 Université catholique de Louvain 37 -approximation One assumes [Joseph 1976] that a fraction f of the scattered light keeps the direction of the incident light. P( ) = 2 f circ (1- ) + (1-f circ ) P h ( ) Then, the directional irradiance (direct + circumsolar diffuse) obeys : with k = k (1- f circ ). We obtain:

38 Université catholique de Louvain 38 The hemispherical part of the diffuse radiation obeys to the equation where It is possible [Joseph, 1976] to solve that equation by decomposition of I h (m z, ) in series of Legendre polynomials. The Eddington approximation consists to retain only the two first terms. and

39 Université catholique de Louvain 39 First originality of this work We have shown that it is possible to keep the three first terms (second order approximation) of the polynomial decomposition without increasing the number of freedom degrees. So, one obtains a best approximation of the radiance near the horizon. The result is not physically satisfying because one obtains with the above used experimental data negative values of the radiance ! 0 = 56° k m z = g h = 0 R = (soil albedo)

40 Université catholique de Louvain 40 However, that approximation is globally satisfying. has the interesting property that the altitude dependence is given via only three exponentials functions:

41 Université catholique de Louvain 41 Second originality of this work As the above simplified solution is mathematically simple, it is easy to introduce that solution in the term giving the source of radiance. So, it is easy to obtain a best approximation of the radiance. That second simplified solution contains only one more exponential: Lets return to the hemispherical equation of diffusion (different for each value of )

42 Université catholique de Louvain 42 0 = 56° k m z = 0.22 = g h = 0 R = With above used experimental data, one obtains

43 Université catholique de Louvain 43 In the case considered, the result is very close of an empirical formula [Gueymard 1984] 0 = 56° k m z = 0.22 = g h = 0 R = 0.302

44 Université catholique de Louvain 44 However, if we repeat the computation with different values of 0, H dn,, g h or R, it is not always the case. 0 = 56° k m z = 0.70 = g h = 0 R = 0.302

45 Université catholique de Louvain 45 On peut peut-être faire mieux… et plus simple Dans le cas de la diffusion de Rayleigh, si on extrait une partie circumsolaire, le diagramme restant se déforme … vers larrière, ce qui nest pas naturel. Pour tracer les graphiques précédents, jai imposé g h = 0. même nombre de degrés de liberté (moins 1 si limité à Rayleigh car alors f backward = f forward ) symétrie hémisphérique satisfaite de façon exacte calcul plus simple de la partie hémisphérique ? On pourrait rétablir la symétrie en considérant deux delta de Dirac (un vers lavant et lautre vers larrière) + un diffus hémisphérique supposé isotrope (g h = 0).

46 Université catholique de Louvain 46 Dans ce cas, on a deux rayonnement directionnel : H dn va de la direction du Soleil vers le sol H d"n va du sol vers la direction du Soleil Lexpression de H dn nest plus celle fournie au transparent n° 37 ! Exercice à remettre au cours magistral de la semaine 13 : trouver les expressions de H dn et H d"n. Indications : Au lieu davoir une équation différentielle à une inconnue, comme cest le cas pour le rayonnement direct (transparent 9) et pour le rayonnement directionnel précédemment (transparent 37), on a maintenant un système de deux équations différentielles à deux inconnues. La condition aux limites sur H dn est inchangée (= H e dn au sommet de latmosphère). Pour H d"n, on impose que cette composante soit nulle au niveau du sol (pas deffet catadioptrique au sol). On ne peut pas supposer que f forward est égal à f backward car je souhaite une théorie valable même en présence dune diffusion par les aérosols.

47 Université catholique de Louvain 47 Y a-t-il une façon idéale de décomposer la fonction « de phase » de Rayleight ? Une idée est de décomposer lexpression exacte et lexpression approchée en utilisant un ensemble de fonctions orthogonales, et en imposant aux premiers termes de cette décomposition dêtre identiques, Dans les problèmes décrits en coordonnées sphériques, on utilise souvent les polynômes de Legendre, dont les premiers sont, en posant = cos ( ) : Ces polynômes vérifient une loi dorthogonalité

48 Université catholique de Louvain 48 Pour i = 0, on a la condition (triviale car lexpression de P( ) a été posée pour la satisfaire) Pour i = 1, on a la condition Pour i = 2, on a la condition Finalement : dans le cas de la diffusion de Rayleigh, qui est donc isotrope à 90%,

49 Université catholique de Louvain 49 Conclusions et perspectives Nous avons obtenu une solution simplifiée pour léclairement diffus. Cette solution dépend seulement de trois paramètres atmosphériques avec une signification physique bien définie. Pour le futur reste une idée théorique à exploiter attente de données expérimentales (Daussoulx) étude du cas dun ciel non homogène (nuages concentrés) corrections pour tenir compte des différentes longueurs donde utilisation du modèle pour obtenir une information sur le spectre

50 Université catholique de Louvain 50 Notes sur les méthodes numériques Une ancienne version du programme SMART a été utilisée pour définir le spectre normalisé AM 1.5. SMART étant bien décrit (on connaît les coefficients dabsorption et de diffusion des molécules en fonction de la longueur donde utilisés par ce programme), les données quil utilise ont servi de base pour dautres recherches. Dans les méthodes numériques, le rayonnement diffus est souvent décomposé en plusieurs termes dépendant du nombre de diffusions subies. Par temps clair, la série converge rapidement.


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