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ELEC 2670 cours n° 8 Modélisation du ciel

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1 ELEC 2670 cours n° 8 Modélisation du ciel
Un document relatif à plusieurs des points (pas tous) développés dans les transparents suivants a été placé sur le site icampus du cours (pas sur mon site perso).

2 Introduction Si on admet la décomposition présentée dans la première partie, on constate que l’on a besoin pour caractériser l’éclairement en fonction de l’inclinaison et l’orientation d’un panneau de 3 paramètres ou plus correspondant à l’éclairement directionnel (1) l’éclairement diffus hémisphérique isotrope (1) ou isotrope + cercle d’horizon (2) ou isotrope + zénithal (2) ou plus détaillé (> 2) l’éclairement diffus du cercle d’horizon (1) l’éclairement diffus du sol (1, facile à éliminé si on connaît l’albédo local du sol) Or, on ne dispose souvent que de la mesure du rayonnement global sur plan horizontal + parfois la mesure du rayonnement direct. La mesure du rayonnement direct n’est pas exploitable à ce stade puisque c’est le rayonnement directionnel (direct + diffus circumsolaire) qui nous intéresse. Hypothèses de calcul : Atmosphère plane et homogène

3 Modélisation du rayonnement direct
Le rayonnement direct n’a un intérêt pratique immédiat que dans le cas d’un dispositif avec concentration de lumière. Pour un capteur plan, c’est le rayonnement directionnel (direct + diffus circumsolaire) que nous souhaitons connaître. La modélisation du rayonnement direct est cependant nécessaire pour pouvoir exploiter une mesure de ce rayonnement et en déduire une information sur l’état de l’atmosphère, information utilisable ensuite pour calculer les autres composantes du rayonnement. Il existe dans la littérature des modèles simplifiés pour l’étude du rayonnement direct.

4 Éclairement hors atmosphère
A une distance du Soleil égale à une unité astronomique (distance moyenne Terre-Soleil), l’éclairement vaut la « constante solaire » I0 = 1367 W/m² ( à  7 W/m² près). Cependant, l’éclairement reçu au niveau de la Terre varie au cours de l’année comme l’inverse du carré de la distance Terre-Soleil. On écrit He dn = c(N) I0 Pour nos besoins, on peut prendre, en fonction du jour de l’année c(N) = cos [2 p (N-2) / ] On voit que, dans l’hémisphère nord, le rayonnement est plus fort en hiver qu’en été, ce qui adoucit les saisons. L’effet inverse se produit dans l’hémisphère sud. Le phénomène change après quelques millénaires (explication des périodes glacières ?)

5 Épaisseur de l’atmosphère
On suppose que, pour une composition donnée de l’atmosphère, son effet sur le rayonnement ne dépend que de la quantité d’air située au-dessus d’un lieu donné. Cette hypothèse est assez forte, car elle sous-entend que les molécules d’air interagissent avec le rayonnement de façon individuelle, dont sans être influencées par les molécules voisines, que leur température n’a pas d’importance (on néglige l’élargissement des raies d’absorption lié à une modification de l’effet Doppler), que la composition de l’atmosphère est uniforme (indépendante de l’altitude) Avec ces hypothèses, on peut caractériser l’atmosphère par sa masse (en kg/m²) prise dans la direction du zénith où la masse volumique r est fonction de l’altitude.

6 Cette masse atmosphérique est liée à la pression atmosphérique, mesurée dans toutes les stations météo, par Pour pouvoir travailler en nombres sans dimension, on définit une masse atmosphérique standard où p0 vaut 1 atm. (atmosphère) = Pa (pascals) = hPa (hectopascals ou millibars) g0 = m s-2 La masse atmosphérique relative dans la direction du zénith est définie comme mz va de 0 (TOA = sommet de l’atmosphère) à environ 1 (sfc = niveau du sol)

7 La masse atmosphérique relative dans la direction du zénith vaut donc (en négligeant les variations du champ de gravitation d’un lieu à l’autre) Si la pression est mesurée en un lieu voisin, mais à une altitude différente, on peut corriger la mesure par la relation approximative (valable pour des altitudes z < 3.5 km) où Dz est la différence d’altitude (en km) entre le lieu considéré et le lieu où la mesure est faite. En particulier, si la valeur de la pression dont on dispose est « ramenée au niveau de la mer », on aura Enfin, si on se contente d’un calcul approché, on utilise cette formule en remplaçant la pression au niveau de la mer par la pression standard p0 .

8 En ce qui concerne le rayonnement direct (et directionnel), son calcul repose sur la masse atmosphérique dans la direction de ce rayonnement, soit où l’intégrale est prise le long du rayon lumineux direct, ou encore m = m’ / m’z0 en valeur sans dimension. Il est facile de calculer m en fonction de mz et de la hauteur du Soleil. On a en négligeant la réfraction atmosphérique et la courbure de la terre : Une formule plus précise, qui tient compte approximativement de la réfraction, est

9 Atténuation du rayonnement direct par l’atmosphère
Quand un faisceau lumineux traverse un milieu matériel, une partie du rayonnement est absorbée ou diffusée. On définit un coefficient d’extinction kl pour chaque longueur d’onde l . On notera qu’il est défini par rapport à la masse atmosphérique dm et non à la longueur dl . L’atténuation du rayonnement direct POUR CHAQUE LONGUEUR D’ONDE PRISE SEPAREMENT obéit à une loi simple avec les hypothèses faites sur l’atmosphère (interaction lumière-molécules indépendante de la pression et de la température). On a : Donc, en imposant la valeur au sommet de l’atmosphère (TOA) où le coefficient d’extinction kl s’obtient en sommant, pour la longueur d’onde considérée, les coefficients d’absorption et de diffusion de chaque espèce présente dans l’atmosphère (pondérés par la teneur de chaque composant dans l’atmosphère).

10 On doit donc pour pouvoir faire le calcul connaître non seulement le spectre du rayonnement hors atmosphère et les coefficients d’absorption et de diffusion de chaque espèce présente, mais encore connaître la composition de l’atmosphère. L’atmosphère comporte des gaz et des particules non gazeuses (poussières nommées aérosols, gouttelettes d’eau, glace) . Parmi les gaz , on distingue les gaz constants (azote, oxygène, gaz rares…. mais aussi gaz carbonique CO2 ), et les gaz variables (ozone et vapeur d’eau gazeuse). La quantité d’ozone est spécifiée en donnant l’épaisseur que ce gaz occuperait s’il était rassemblé en une couche de pression p0 et de température 15°C (c’est la « couche d’ozone », qui n’est pas localisée à une altitude précise). La vapeur d’eau gazeuse est appelée « eau condensable » et sa quantité est donnée en g/cm² , ou en cm d’eau liquide (alors qu’il s’agit de l’eau présente sous forme de gaz !)

11 Malheureusement, le coefficient d’extinction dépend fortement de la longueur d’onde : il comporte une série de pics correspondant aux différentes espèces chimiques présentes dans l’atmosphère. Pour obtenir la valeur de l’éclairement sommée sur une bande de longueur d’onde (voire la totalité du spectre solaire), il faut donc effectuer une intégrale sur une fonction discrétisée finement. C’est ce que font certains programmes (SMART notamment ). Pour les besoins de la simulation, on recherche un calcul plus rapide. Une bonne approximation de l’intégrale est où les coefficients Ai et ki sont calculés par comparaison avec les résultats d’un calcul plus détaillé (à noter que chaque Ai rend compte de plusieurs longueurs d’onde pas forcément voisines, mais ayant des facteurs kl voisins de ki ). Si on considère une somme des Ai inférieure à 1, cela signifie que l’on admet que certaines longueur d’onde sont tellement éteintes qu’elles n’arrivent jamais au sol quel que soit m !

12 Le fait de réduire le nombre de termes n’est intéressant que si on peut calculer les Ai et les ki « à l’avance ». Or, cela n’est possible que pour une composition standard de l’atmosphère. Les études divergent sur le choix d’une composition de référence. La composition de référence la plus simple suppose que l’atmosphère ne contient que des gaz (on dit qu’elle est propre et sèche), ne contient pas d’eau gazeuse contient une couche d’ozone de 3 mm est de composition uniforme.

13 Pour cette atmosphère de référence, on utilise depuis longtemps la formule de Kasten (publiée en 1930) Quand m augmente, l’absorption diminue : normal car les longueurs d’onde fortement absorbées ont déjà disparu pour de petites valeurs de m . Cette formule ne correspond pas à une somme d’exponentielles ! On dispose maintenant de meilleures formules pour k0 , par exemple (Kasten, 1996 et Suri, 2004) :

14 Lorsque l’atmosphère n’a pas la composition standard, une façon de la caractériser consiste à définir un « facteur de trouble ». Le facteur de trouble de Linke T est défini par rapport à l’atmosphère standard définie ci-dessous. On a EN L’ABSENCE de nuage devant le Soleil. Il suffit donc de mesurer le rayonnement direct sur un plan quelconque, pourvu qu’il soit soumis à ce rayonnement, pour pouvoir en déduire T. La valeur du facteur de trouble dépend de l’expression de k0 utilisée ! Il ne faut donc pas réutiliser une valeur T calculée avec une autre expression de k0 . T vaut 1 pour l’atmosphère de référence. Il n’est inférieur à 1 que si l’atmosphère est très sèche, très pure et que l’épaisseur d’ozone est faible... ou la pression atmosphérique faible.

15 Comment faire si l’on ne dispose d’une mesure du rayonnement que par période longue (par demi-heure à Uccle) ? On va supposer que T reste constant sur cette période. On calcule T par itération. Pour une valeur de T donnée, il suffit de calculer le rayonnement reçu à petite échelle de temps, intégrer numériquement ce rayonnement sur période considérée et comparer le résultat à la valeur mesurée. Si l’énergie calculée est supérieure à la valeur mesurée, il faut augmenter le facteur de trouble. Dans le cas contraire, il faut le diminuer.

16 Par temps nuageux non uniforme, on peut essayer de déterminer T si on connaît, en plus du rayonnement direct moyen, la fraction d’insolation. La fraction d’insolation 120 (à ne pas confondre avec la fraction d’irradiation) est la fraction du temps pendant laquelle le rayonnement direct a été supérieur à 120 W/m². C’est une grandeur qui intéresse l’industrie touristique. La valeur de 120 W/m² est à peu près celle qu’il faut atteindre pour que le Soleil soit bien visible et fasse des ombres nettes. Hypothèse binaire : le Soleil est complètement masqué par un nuage ou ne l’est pas du tout. On calcule T par itérations. Pour une valeur de T donnée, on calcule le temps pendant lequel on aurait eu sn > 120 W/m² en l’absence de nuages. Si ce temps est inférieur à la fraction d’insolation, T était trop grand. Sinon, on obtient une approximation de la couverture nuageuse en divisant le temps d’insolation mesuré par le temps calculé. On obtient un nombre compris entre 0 et 1. On multiplie l’éclairement calculé sans nuages par ce facteur et on le compare à l’éclairement mesuré. Si tout va bien, par tâtonnement, on peut trouver une valeur de T acceptable et en déduire la couverture nuageuse. Un TFE a montré que l’on rencontre occasionnellement des situations où ce problème n’a pas de solution !

17 Modélisation du rayonnement diffus
Contrairement au rayonnement direct, il n’existe pas de modèle simple fournissant les composantes souhaitées du rayonnement diffus. Une des difficultés vient de ce que le coefficient d’extinction k utilisé ci-dessus est la somme d’un paramètre relatif à l’absorption et d’autres relatifs à la diffusion. Il n’est pas nécessaire de distinguer les deux termes pour calculer le rayonnement direct. Par contre, pour calculer le rayonnement diffus, il faut impérativement distinguer les deux termes.

18 Même si l’on connaît la composition de l’atmosphère et les coefficients de diffusion de chaque espèce, et que l’on accepte un temps de calcul long, l’évaluation du rayonnement diffus est difficile : il faut tenir compte du fait que le rayonnement diffusé par une molécule (ou une particule d’aérosol) n’est pas isotrope. On peut donc distinguer parmi les méthodes de calcul du rayonnement diffus Des méthodes empiriques Des méthodes physiques mais très simplifiées, à dominante analytique. Des méthodes physiques moins simplifiées, mais à dominante numérique, conduisant à des temps de calcul longs. Remarque : ce n’est pas la peine de faire appel à une méthode sophistiquée si les données dont on dispose sont insuffisantes pour déterminer la valeur des paramètres à introduire dans le calcul !

19 Modélisation empirique du rayonnement diffus
Les auteurs cherchent à définir à partir d’une mesure disponible un paramètre caractérisant l’atmosphère. Les plus utilisés sont un facteur de trouble de Linke (Tlinke) défini plus haut. l’indice de clarté déterminé à partir d’une mesure du rayonnement global sur un plan horizontal (rapport de ce rayonnement sur le rayonnement hors atmosphère, facile à calculer) Ils fournissent ensuite des formules empiriques fonction de cette caractéristique, de la hauteur du Soleil et du rayonnement hors atmosphère, par exemple une expression pour le rayonnement direct (sauf si c’est lui qui est mesuré) une expression pour le rayonnement diffus circumsolaire une expression pour le rayonnement diffus isotrope parfois une expression pour le rayonnement diffus du cercle d’horizon

20 Les expressions empiriques sont très approchées (courbes passant à travers des nuages de points expérimentaux très dispersés). Elles sont tout au plus valables en moyenne. Nous allons fixer les idées en présentant une des nombreuses méthodes empiriques disponibles. Pour un calcul simplifié, la décomposition entre absorption et diffusion peut se faire au niveau du facteur de trouble : T = Tabsorption + T’ Cette décomposition n’est pas rigoureuse du fait que le rayonnement comporte plusieurs longueurs d’onde ! Les formules empiriques donnant le rayonnement diffus en fonction des facteurs de trouble sont rares. Celles que nous donnons ci-dessous proviennent de ASA.

21 diffus total sur plan horizontal
Le rayonnement diffus non directionnel comporte une partie correspondant à un rayonnement qui a atteint le sol (directement ou non), y a été diffusé puis a été diffusé (une ou plusieurs fois) dans l’atmosphère. Cette partie est le diffus rétrodiffusé. Les expressions empiriques du rayonnement diffus (total ou réduit au non directionnel) comportent dès lors deux termes : le premier est donné par une expression établie pour un albédo REGIONAL DU SOL de 0.2 , le second est la correction à effectuer pour tenir compte de la valeur réelle de cet albédo. ASA donne une expression pour le diffus sur plan horizontal (avec albédo 0.2) Note : log est très probablement le logarithme népérien.

22 ASA donne aussi une expression du diffus rétrodiffusé sur plan horizontal
Le diffus horizontal vaut donc Hs- = H’s- + H"s- A noter que, pour calculer H- , on doit additionner Hd- et Hs- . On en déduit

23 Rayonnement circumsolaire (diffus directionnel)
Pour rappel, le rayonnement directionnel sur plan normal est Hd’ n = Hdn + Hsdn .

24 Rayonnement diffus isotrope
Sur plan horizontal, le rayonnement du cercle d’horizon est nul. Le rayonnement diffus isotrope sur plan horizontal peut donc s’obtenir comme différence entre le rayonnement diffus total sur plan horizontal et le rayonnement diffus directionnel sur le même plan : Hsi- (h, T’) = Hs- (h, T’) – Hsdn (h, T’) sin h Pour rappel, on peut en déduire le rayonnement isotrope sur n’importe quel plan Hsi = Hsi- 0.5 (1 + cos qp )

25 Expression du diffus du cercle d’horizon
ASA donne une expression (pour un albédo du sol régional de 0.2) Pour rappel, on peut en déduire le rayonnement isotrope sur n’importe quel plan Hs circle = Hs circle90° sin ( qp )

26 Nous avons déjà donné précédemment une expression du diffus du sol.
Ainsi, on peut obtenir une estimation de toutes les composantes du rayonnement en fonction de deux paramètres atmosphériques, Tabsorption et T’ . Les autres paramètres (albedo local et régional du sol) étant supposés connus, il suffit en principe de deux mesures d’éclairement pour pouvoir déterminer T et T’. On peut alors en déduire chacune des composantes du rayonnement, et donc calculer ces composantes sur n’importe quel plan.

27 Calcul a priori du trouble d’absorption
L’absorption est surtout le fait des gaz variables (ozone et vapeur d’eau gazeuse) : les gaz constants et les aérosols sont produisent essentiellement de la diffusion. Si on connaît la teneur en gaz variables, on peut donc calculer le trouble d’absorption. Dans ce cas, une seule mesure d’éclairement suffira pour déterminer le trouble de diffusion, et donc toutes les composantes de l’éclairement. Le contenu en ozone (e en mm) varie relativement lentement. Il fait l’objet d’une surveillance et on peut donc trouver une valeur approximative. A défaut, il existe des tables (voir ASA) qui donnent des valeurs moyennes de la couche d’ozone en fonction de la saison et de la latitude. Le contenu en vapeur d’eau gazeuse (w en g/cm²) est plus difficile à estimer. Si on connaît la pression partielle de vapeur d’eau, on peut en déduire UNE VALEUR MOYENNE de ce contenu par la formule de Hann w = 0.17 p A défaut, on peut trouver dans ASA un tableau assez sommaire en fonction de la saison et de la latitude.

28 Connaissant l’épaisseur de la couche d’ozone (e) et la hauteur d’eau condensable (w), on peut calculer approximativement l’absorption due à ces gaz : et finalement, en désignant par T0 le trouble d’absorption

29 Donc, si on a mesuré le facteur de trouble total comme indiqué précédemment (à partir d’une mesure du rayonnement direct), et que l’on a calculé le facteur de trouble d’absorption, on peut par différence estimer le trouble diffusif et finalement toutes les composantes du diffus PAR CIEL SANS NUAGE. Souvent, quand on ne dispose que d’une mesure d’éclairement, il s’agit du rayonnement global et non du rayonnement direct. Grâce au calcul du trouble d’absorption, on peut rechercher par itération le trouble diffusif PAR CIEL SANS NUAGE. Pour chaque valeur de T’, on peut en effet calculer toutes les composantes du rayonnement et en déduire le rayonnement global. On compare alors le rayonnement global calculé à sa valeur expérimentale et on ajuste T’. Par temps nuageux, on a peu de renseignements sur l’effet de la couverture nuageuse sur le rayonnement diffus. Hypothèse à vérifier : supposer que le diffus du ciel s’obtient en multipliant le diffus par temps clair par la couverture nuageuse (allant de 0 à 1).

30 Décomposition du trouble diffusif
On peut comprendre le trouble diffusif comme résultant de la somme de trois termes dus à des phénomènes de diffusion différents. Le trouble diffusif se décompose en trois parties T’ = T1 + T2 + DT T1 représente l’effet des gaz constants T2 tient compte de l’effet des aérosols DT tient compte de l’effet des gouttelettes d’eau (brume) T1 = 1 par définition de l’atmosphère standard (si on néglige l’absorption par les gaz constants ! )

31 T2 = 16 b où b est un coefficient qui tient compte des aérosols
T2 = 16 b où b est un coefficient qui tient compte des aérosols. On a approximativement b = 0.03 en hivers quand l’air d’origine polaire est prépondérant b = 0.10 en été quand l’air d’origine tropicale est prépondérant Ce coefficient diminue après des précipitation notables (lessivage de l’atmosphère) pour réaugmenter en deux ou trois jours. Il est aussi influencé par les pollutions. Si on connaît la visibilité (en km), on peut utiliser la formule Enfin, ASA donne un tableau de b en fonction de la couleur du ciel, allant de d’un ciel bleu foncé à un ciel bleuté (voile blanc). Il reste DT, nul seulement par temps très clair.

32 Modélisation physique simplifiée du rayonnement diffus
Les expressions empiriques comme celles vues ci-dessus sont très approchées (courbes passant à travers des nuages de points expérimentaux très dispersés), tout au plus valables en moyenne. Elles sont établies sur base de mesure faites sur des sites particuliers et d’ailleurs souvent utilisées pour une étude locale. Rien n’est dit quant à leurs conditions de validité pour d’autres sites. Lors de travaux de fin d’étude en MCTR, elles se sont avérées peu efficaces. Pour cette raison, j’ai recherché des expressions dont la forme serait explicable par un modèle physique, ma conviction (philosophique) étant que de telles expressions sont plus réalistes. Hélas, la littérature ne fournit que soit des modèles numériques trop lourds pour l’usage envisagé soit des modèles analytiques destinés à la météorologie, qui n’attachent que peu d’attention à l’inclinaison des rayons diffusés. J’ai tenté d’étendre ces modèles.

33 Rationale to diffuse irradiance
We define Diffuse irradiance comes from all the directions: where Is app is the radiance received from the direction (q, j) (radiance is in W / m² /sr ) i is the angle between that direction and the normal to the plane The above integration is done only on i < 90° (cos i > 0).

34 How is it possible to compute Is app(q, j)?
At any point of the atmosphere, one can consider I (mz , q, j), the radiance toward the direction (q, j). One has, at the ground level Is app (q, j) = I(mz sfs , -q, j + 180°) In order to compute I(mz , q, j), the first step is to known the elementary phenomenon. For non polarized light, one has: where Hn is the incident light, k the extinction coefficient, w the fraction of the extinct light which is scattered and P(Q) the so called « phase function ».

35 P(Q) is simple as long as molecular scattering is concerned
(Rayleigh scattering), for non polarized case, but complicated in presence of aerosols or water drops (Lie scattering). Approximations are currently used. The main characteristic is the asymmetry factor All computation methods (numerical or analytical) use simplified phase functions.

36 I(mz , q, j) obeys the equation
where J(m,j) is the source due to multiple scattering and J0(m,j) is the source due to first scattering. One has with and with

37 d-approximation One assumes [Joseph 1976] that a fraction f of the scattered light keeps the direction of the incident light. P(m) = 2 fcirc d(1-m) + (1-fcirc ) Ph (m) Then, the directional irradiance (direct + circumsolar diffuse) obeys : with k’ = k (1-w fcirc ) . We obtain:

38 The hemispherical part of the diffuse radiation obeys to the equation
where and It is possible [Joseph, 1976] to solve that equation by decomposition of Ih(mz , m) in series of Legendre polynomials. The Eddington approximation consists to retain only the two first terms.

39 First originality of this work
We have shown that it is possible to keep the three first terms (second order approximation) of the polynomial decomposition without increasing the number of freedom degrees. So, one obtains a best approximation of the radiance near the horizon. The result is not physically satisfying because one obtains with the above used experimental data negative values of the radiance ! q0 = 56° k’ mz = w’= gh = R = (soil albedo)

40 However, that approximation
is globally satisfying. has the interesting property that the altitude dependence is given via only three exponentials functions:

41 Second originality of this work
Let’s return to the hemispherical equation of diffusion As the above simplified solution is mathematically simple, it is easy to introduce that solution in the term giving the source of radiance. So, it is easy to obtain a best approximation of the radiance. That second simplified solution contains only one more exponential: (different for each value of m)

42 With above used experimental data, one obtains
q0 = 56° k’ mz = w’ = gh = R = 0.302

43 In the case considered, the result is very close of an empirical formula [Gueymard 1984]
q0 = 56° k’ mz = w’ = gh = R = 0.302

44 However, if we repeat the computation with different values of q0 , Hd’n , w’ , gh or R, it is not always the case. q0 = 56° k’ mz = w’ = gh = R = 0.302

45 On peut peut-être faire mieux… et plus simple
Dans le cas de la diffusion de Rayleigh, si on extrait une partie circumsolaire, le diagramme restant se déforme … vers l’arrière, ce qui n’est pas naturel. Pour tracer les graphiques précédents, j’ai imposé gh = 0. On pourrait rétablir la symétrie en considérant deux delta de Dirac (un vers l’avant et l’autre vers l’arrière) + un diffus hémisphérique supposé isotrope (gh = 0). même nombre de degrés de liberté (moins 1 si limité à Rayleigh car alors fbackward = fforward ) symétrie hémisphérique satisfaite de façon exacte calcul plus simple de la partie hémisphérique ?

46 Dans ce cas, on a deux rayonnement directionnel :
Hd’n va de la direction du Soleil vers le sol Hd"n va du sol vers la direction du Soleil L’expression de Hd’n n’est plus celle fournie au transparent n° 37 ! Exercice à remettre au cours magistral de la semaine 13 : trouver les expressions de Hd’n et Hd"n . Indications : Au lieu d’avoir une équation différentielle à une inconnue, comme c’est le cas pour le rayonnement direct (transparent 9) et pour le rayonnement directionnel précédemment (transparent 37), on a maintenant un système de deux équations différentielles à deux inconnues. La condition aux limites sur Hd’n est inchangée (= Hedn au sommet de l’atmosphère). Pour Hd"n , on impose que cette composante soit nulle au niveau du sol (pas d’effet catadioptrique au sol). On ne peut pas supposer que fforward est égal à fbackward car je souhaite une théorie valable même en présence d’une diffusion par les aérosols.

47 Y a-t-il une façon idéale de décomposer la fonction « de phase » de Rayleight ?
Une idée est de décomposer l’expression exacte et l’expression approchée en utilisant un ensemble de fonctions orthogonales, et en imposant aux premiers termes de cette décomposition d’être identiques, Dans les problèmes décrits en coordonnées sphériques, on utilise souvent les polynômes de Legendre, dont les premiers sont, en posant m = cos () : Ces polynômes vérifient une loi d’orthogonalité

48 Pour i = 0, on a la condition (triviale car l’expression de P(m) a été posée pour la satisfaire)
Finalement : dans le cas de la diffusion de Rayleigh, qui est donc isotrope à 90%,

49 Conclusions et perspectives
Nous avons obtenu une solution simplifiée pour l’éclairement diffus. Cette solution dépend seulement de trois paramètres atmosphériques avec une signification physique bien définie. Pour le futur reste une idée théorique à exploiter attente de données expérimentales (Daussoulx) étude du cas d’un ciel non homogène (nuages concentrés) corrections pour tenir compte des différentes longueurs d’onde utilisation du modèle pour obtenir une information sur le spectre

50 Notes sur les méthodes numériques
Une ancienne version du programme SMART a été utilisée pour définir le spectre normalisé AM 1.5. SMART étant bien décrit (on connaît les coefficients d’absorption et de diffusion des molécules en fonction de la longueur d’onde utilisés par ce programme), les données qu’il utilise ont servi de base pour d’autres recherches. Dans les méthodes numériques, le rayonnement diffus est souvent décomposé en plusieurs termes dépendant du nombre de diffusions subies. Par temps clair, la série converge rapidement.


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