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Journée GéoAlgo 2010 7/05/2010 IREM ALGOBOX. Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 1.Lauteur dAlgobox 2.Les points forts dAlgobox 3.Quelques exemples simples.

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1 Journée GéoAlgo /05/2010 IREM ALGOBOX

2 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 1.Lauteur dAlgobox 2.Les points forts dAlgobox 3.Quelques exemples simples 4.Des activités qui peuvent être faites par les élèves 5.Conclusion

3 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 1. Lauteur Pascal Brachet est professeur de maths au lycée Bernard Palissy d'Agen. En dehors du travail, il s'intéresse aux logiciels libres, programme… est l'auteur de logiciels Dès avril 2009, après la publication du projet de programme pour la seconde, il pense créer un logiciel dont le cahier des charges serait le suivant : - installable facilement et gratuitement à la fois par les professeurs et les élèves - facile d'utilisation pour tous les débutants (élèves et professeurs) - logiciel qui se concentre sur l'apprentissage des structures de base de l'algorithmique - logiciel qui permettent de tester et d'exécuter les algorithmes - logiciel simple mais assez complet pour traiter tous les algorithmes de niveau lycée - logiciel qui puisse être modifié à loisir par d'autres En juin 2009, il propose une première version limitée. Les réactions des utilisateurs furent favorables. Il poursuivit donc le développement dAlgobox... Le tout sans aucune décharge horaire et gratuitement (Voilà un saint laïc!!!) Des mises à jour sont depuis régulièrement disponibles, tenant compte des suggestions que nous pouvons lui faire. La dernière version (0.5) est disponible depuis avril

4 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 1.Lauteur dAlgobox 2.Les points forts dAlgobox 3.Quelques exemples simples 4.Des activités qui peuvent être faites par les élèves 5.Conclusion

5 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 2. Les points forts Obligation de déclarer les variables

6 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 2. Les points forts Obligation de déclarer les variables 3 types de variables: nombre (flottant) Liste (matrice n*1 ou n*2) Chaine

7 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 2. Les points forts Obligation de déclarer les variables 3 types de variables: nombre (flottant) Liste (matrice n*1 ou n*2) Chaine Possibilité de commentaires, présentation

8 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 2. Les points forts Obligation de déclarer les variables 3 types de variables: nombre (flottant) Liste (matrice n*1 ou n*2) Chaine Possibilité de commentaires, présentation Lalgorithme apparaît très structuré

9 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 2. Les points forts Obligation de déclarer les variables 3 types de variables: nombre (flottant) Liste (matrice n*1 ou n*2) Chaine Possibilité de commentaires, présentation Lalgorithme apparaît très structuré Erreurs de syntaxe très limité grâce à la rigidité de linterface: utilisation de boutons, les textes tapés sont réduits à minima.

10 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 2. Les points forts

11 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 1.Lauteur dAlgobox 2.Les points forts dAlgobox 3.Quelques exemples simples 4.Des activités qui peuvent être faites par les élèves 5.Conclusion

12 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 3. Exemples simples Exemple 1 : Afficher la liste des diviseurs dun entier n strictement positif.

13 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 3. Exemples simples Exemple 2 : Tracer (point par point) la courbe dune fonction périodique. La fonction est x 1 - x² sur [-1;1] et de période 2. La courbe est à tracer dans [-2;5]

14 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 1.Lauteur dAlgobox 2.Les points forts dAlgobox 3.Quelques exemples simples 4.Des activités qui peuvent être faites par les élèves 5.Conclusions

15 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 1 (seconde) Il faut tracer la parabole y=x² et la droite y=x, puis colorier la partie située entre les deux. On peut colorier avec des segments ou avec des pointssegmentspoints

16 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 1 variante (seconde) Il faut tracer la parabole y=x² et la droite y=x, puis hachurée la partie située entre les deux. Pour hachurer, il faut trouver x1 et x2, solutions de -x+p=x et –x+p=x² x1 = p/2 et x2 = -0,5 + racine(p+0.25) P doit varier de 0 à 2…

17 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 2 suite logistique (terminal): U n+1 = k*U n (1-U n ) U 1 [0;1] k [0;4] Les cas où k [0 ;1] (U est décroissante, convergente vers 0) k ]1 ;2] (U est monotone, convergente vers 1-1/k) k ]2 ;3] (U est « en escargot », convergente vers 1-1/k) sont très classiques, les conjectures sont faciles et les démonstrations sans problèmes… k ]2 ;1+ [ est beaucoup moins classique: il y a deux points daccumulation démonstrations très difficiles pour un élève de terminal..

18 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 2 suite logistique (terminal): U n+1 = k*U n (1-U n ) U 1 [0;1] k [0;4] Le cas k=4 et U 1 = sin²( /17) est curieux: la suite est de cycle 4. Mais à cause des erreurs de calculs de la machine, la suite devient chaotique U 2 = 4*sin²( /17)(1-sin²( /17)) = 4sin²( /17)cos²( /17) = sin²(2 /17) U 3 = 4*sin²(2 /17)(1-sin²(2 /17)) = 4sin²(2 /17)cos²(2 /17) = sin²(4 /17) U 4 = 4*sin²(4 /17)(1-sin²(4 /17)) = sin²(8 /17) U 5 = sin²(16 /17) = sin²( /17) = U 1

19 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 3 Euler sur une équation différentielle (première): y = 2xy sur [0;1] y(0)=1 La solution de cette équation est sol(x) = exp(x²).

20 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 4 Monte – Carlo (seconde) La méthode: On choisis au hasard n points de ]0;1[². On compte le nombre k de points situés « sous la courbe » déquation y=x². Le rapport k/n est une valeur approchée à 1/ n près de la probabilité quun point pris au hasard dans le carré soit sous la courbe, avec un risque derreur de 5%.. En plus, on a: aire du carré * k / n est une valeur approchée de laire sous la courbe. Pourquoi: X est la variable aléatoire qui, à chaque point M(x,y) du carré ]0;1[ associe 1 si le point M est sous la courbe (y

21 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 4 Monte – Carlo (seconde) Quand n « devient grand », B(n,p) est « proche» de la loi normale despérance np et variance npq. Ci-dessous: n=100, p=1/3 Si Z n = Y n / n, Z n suit une loi proche de la loi normale despérance p et de variance pq/n, décart type = (p(1-p))/ (n). Or (p(1-p)) 0,5 quand p est dans [0;1], on a donc 0,5/ n. Pour une loi normale, 95% de leffectif est entre E-2 et E+2, Donc, on a environ 95% de leffectif entre p - 1/ n et p+1/ n. Il en résulte que la méthode de Monte-Carlo, pour un calcul daire, donne (pour un nombre de points de ) une valeur approchée de laire (erreur relative de 1%) avec un risque derreur de 5%.

22 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 4 Monte – Carlo (seconde) Activité: Calcul daire En utilisant la méthode de Monte Carlo, donner une approximation (à 0,1 près) de laire de la surface colorée comprise entre la parabole (y=x²) et la droite (y=2x+1,25). Les coordonnées des points dintersection sont : (0,5 ; 0,25) et (2,5 ; 6,25). Laire du rectangle est 18,75. Lerreur de lapproximation de laire cherchée par la méthode de Monte-Carlo est 18,75/ n doit être inférieur à 0,1, Donc n doit être supérieur à 187,5² Soit n >

23 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 4 Monte – Carlo (seconde) Résultats: Calcul daire Résultat exact : 4,5

24 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 5 Zoomer avec des fonctions affines (seconde) Dans un premier temps, on trace les ensembles {M(x,x), x [0;1]} et {M( x,x²), x [0;1]} Ensuite on trace les ensembles {M(f(x),f(x)), x [0;1]} et {M( f(x),f(x²)), x [0;1]} avec f : x 2x+2. On peut ensuite faire trouver la fonction affine f qui réalise le dessin ci-dessous par exemple.

25 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 5 Zoomer avec des fonctions affines (seconde) Même question en un peu plus compliqué (avec 2 fonctions affines f sur les abscisses et g sur les ordonnées)

26 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 5 Zoomer avec des fonctions affines (seconde) encore un peu plus compliqué (avec une fonction usuelle f sur les abscisses et une fonction affine sur les ordonnées)

27 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 6 une rosace et une frise (seconde) A partir dun arc de parabole {M(x,x²), x [0;1]}, en utilisant les symétries, on trace une rosace: {M 1 (x²,x), M 2 (-x,x²), M 3 (-x²,x), M 4 (-x,-x²), M 5 (-x²,-x), M 6 (x,-x²), M 7 (x²,-x), x [0;1]}

28 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 6 une frise (seconde) Puis à laide de translations, on créé la rosace

29 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 7 Probabilité, simulation et échantillonnage (seconde) Dans un repère orthonormé (O,I,J): On trace le cercle de centre O(0;0) et rayon 100 et le carré [-100;100]². On choisit au hasard un point à coordonnées entières situé à lintérieur du carré (sens large). Quelle est la probabilité que ce point soit à lintérieur du carré (sens large)? On trouve que la proba est / 40401

30 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 7 Probabilité, simulation et échantillonnage (seconde) On réalise un échantillonnage de 1600 essais dun point à coordonnées entières choisi au hasard dans le carré; on veut connaître la fréquence de lévénement « le point est à lintérieur du disque ». Comparer avec la probabilité du même événement (p = / 40401) : Est-il dans lintervalle [p-1/ 1600; p+1/ 1600] ?

31 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 7 Probabilité, simulation et échantillonnage (seconde) On réalise 200 échantillonnages de 1600 essais chacun en sintéressant à la fréquence de lévénement « le point est dans le disque ». Représenter graphiquement la fluctuation déchantillonnage avec lintervalle de confiance. Combien déchantillons sont hors de lintervalle? Quelle pourcentage cela représente-t-il?

32 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 8 Evolution dune population (délire personnel) La population est découpée en 5 tranches dâge: [0;20[ : « les enfants » [20;40[ : « les reproducteurs » [40;60[ : « les mûrs » [60;80[ : « les retraités » [80;100[ : « les chrysanthèmes » Chaque tranche a son taux de natalité et de mortalité, ainsi que son effectif: TM = [0.6 ; 0.2 ; 0.3 ; 0.4 ; 1] TN = [0 ; 2.4 ; 0.2 ; 0 ; 0] A chaque période k (une génération = 20 ans), chaque tranche dâge q (q variant de 1 à 5) a son effectif POP[k,q]. On a ainsi: Il ne reste plus quà programmer lévolution de la population totale et la répartition entre génération

33 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 9 Optimisation des gammes musicales de « Pythagore » (délire personnel) Notes et fréquences: Ajouter une octave cest multiplier la fréquence par 2: Toutes les notes entre D0 1 et D0 2 sont dans loctave 1 etc. Les différentes notes de la gamme de Pythagore sobtiennent par ajout de quintes. Ajouter une quinte, cest multiplier la fréquence par 1,5:

34 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 9 Optimisation des gammes musicales de « Pythagore » (délire personnel) Gammes: Et on continue ce cycle des quintes. On construit ainsi à partir de DO, à laide de 5 quintes ascendantes et 1 quinte descendante, les 7 notes : FA - DO – SOL - RE – LA – MI - SI (notes blanches du piano) Cest la gamme diatonique. Si on ajoute encore des quintes, on obtient 5 autres notes, proches de notes déjà créées: FA # - DO # - SOL # - RE # - LA # - Cest la gamme chromatique de 12 notes Le problème mathématique est de savoir si, en ajoutant des quintes, on peut retomber sur une note déjà créée (voir si le cycle des quintes « boucle »). Ou encore sil existe q et n entiers non nuls tels que q quintes = n octaves Ou encore si 1,5 q = 2 n ou encore 3 q = 2 n+q. Il ny a évidemment pas de solution (une puissance de 2 ne peut être égale à une puissance de 3) Mais on peut chercher les meilleures solutions approchées pour déterminer le nombre de notes des gammes les plus efficaces.

35 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 9 Optimisation des gammes musicales de « Pythagore » (délire personnel) Les meilleures gammes: Pour chaque octave n variant de 2 à (60 par exemple), on cherche le nombre de quintes q qui est le plus proche: 1,5 q 2 n. Puis on affichera lerreur relative Abs(2 n - 1,5 q )/2 n. Meilleurs résultats: 5 quintes: (gamme pentatonique dite »chinoise) DO – SOL – RE – LA – MI (– SI) (SI et DO sont confondus) ou FA # – DO # – SOL # – RE # – LA # ou SOL b – RE b – LA b – MI b – SI b (notes noires du piano) 7 quintes: (gamme diatonique) FA – DO – SOL – RE – LA – MI – SI (–FA # ) (FA et FA # sont confondus: erreur = 1 dièse) 12 quintes: (gamme chromatique) FA – DO – SOL – RE – LA – MI – SI – FA # – DO # – SOL # – RE # – LA # (–MI # ) (FA et MI # sont confondus; erreur = 1 comma) ou SOL b – RE b – LA b – MI b – SI b – FA – DO – SOL – RE – LA – MI – SI 17 quintes: SOL b – RE b – LA b – MI b – SI b – FA – DO – SOL – RE – LA – MI – SI – FA # – DO # – SOL # – RE # – LA # ( – MI # )

36 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 9 Optimisation des gammes musicales de « Pythagore » (délire personnel) Une autre méthode: les fractions continuées Résoudre 1,5 q 2 n revient à q Ln(1,5) n Ln(2) ou encore q/n Ln(2) /Ln(1,5) Il faut trouver les meilleurs rationnels q/n approximant x = Ln(2) /Ln(1,5). On trouve : Cela donne les meilleurs rationnels approximant x: On retrouve: 5 quintes 3 octaves gamme pentatonique 12 quintes 7 octaves gamme chromatique 53 quintes 31 octaves

37 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 10 Des générateurs de loi : loi normale, loi exponentielle (outils) Loi exponentielle La formule « - m ln( random() ) » où random() est le loi uniforme du logiciel, permet de simuler la loi exponentielle de paramètre 1/m (m est lespérance de la loi) On peut le vérifier sur lexemple suivant... Loi exponentielle de paramètre 1/3( m=3)

38 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 10 Des générateurs de loi : loi normale, loi exponentielle (outils) Loi normale despérance m et écart type s La formule « m + (-2 Ln(random) ) * cos(2 *random) » permet de simuler la loi normale N(m,s) - Méthode de Box-Muller. On peut le vérifier sur lexemple suivant : notes entières au hasard suivant la loi normale N(10,2)...

39 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 4. Activités Activité 10 Des générateurs de loi Loi normale despérance m et écart type s 2 autres exemples: 1000 pts M(x,y) au hasard, x et y suivent N(0,1) 1000 pts M(r, ) au hasard, r: N(0,1) et : uniforme sur[0;2 ]

40 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 1.Lauteur dAlgobox 2.Les points forts dAlgobox 3.Quelques exemples simples 4.Des activités qui peuvent être faites par les élèves 5.Conclusions

41 Journée GéoAlgo07/05/2010IREMALGOBOX 5. Conclusion Conclusion Algobox permet à lévidence de traiter complètement les algorithmes de seconde et de 1 ère. Mais: Quelques manquements pour la classe de Terminale: pas de sous programmes pas de récursivité écran graphique limité: Peu de couleurs, pas de gomme… Modification de la fenêtre graphique dans lalgorithme Pas de tortue logo Sinon on peut quasiment tout faire avec Algobox ….


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