Multidiffusion en milieu aléatoire

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1 Multidiffusion en milieu aléatoire
Francine Luppé LOMC-GOA Jean-Marc Conoir IJLRDA Diffuseur On traite de la propagation des ondes en régime linéaire

2 Régime de localisation forte (localisation d’Anderson)
1958, Anderson prédit qu’un désordre suffisamment fort peut bloquer la propagation des électrons dans un métal et transformer un conducteur en un isolant électrique. Régime diffusif (cône de rétro-diffusion cohérente) Direction de propagation localisation faible = régime diffusif ondes cohérentes : régime propagatif Régime propagatif Onde cohérente

3 Formalisme basé sur les fonctions de Green
(équation de DYSON & diagrammes de Feynman) Bourret (1962), Furutsu (1963), Tatarsky (1964), Frish (1965), … Formalisme basé sur les équations de la diffusion multiple (diffuseurs localisés) Foldy (1945), Lax (1951), Waterman & Truell (1961), Twersky (1962), Fikioris & Waterman (1964), Lloyd & Berry (1967),… Green : indice de réfraction dépendant de l'espace anciens : nbre d'onde dépendant de l'espace : bien adapté aux diffusuers localisés Foldy : son approx Lax : QCA utilisée par tous les suivants

4 Plan Milieu hôte = fluide Les équations de la diffusion multiple
Le champ moyen se propage Le nombre d ’onde de l ’onde cohérente = nombre d ’onde effectif ? Milieu hôte = solide élastique / poro-élastique ? Le milieu effectif = milieu équivalent du point de vue de l ’ acoustique et du champ cohérent

5 Relation de fermeture Les équations de la diffusion multiple j
diffuseur j j Relation de fermeture

6 Ne sachant pas résoudre les équations qui gouvernent le champ, on cherche l’équation qui gouverne le champ moyen (en espérant que ce soit plus simple)

7 On moyenne séparément chacune des 2 équs de la diff xle
On introduit les densités de proba conditionnelles les diffuseurs sont supposés indiscernables (ids)

8 APPROXIMATION QUASI CRISTALLINE (QCA)
APPROXIMATION DE FOLDY APPROXIMATION QUASI CRISTALLINE (QCA) En bas, en bleu, relation obtenue sur le T avant C'est sur elle qu'on travaille pour Foldy On obtient l'équation intégrale de foldy-Twersky Foldy : d'après Tw, consiste à négliger les interactions doubles, triples...entre diffs A la QCA, on rajoute la bleue

9 Formule de Foldy (1945) Moyen facile et rapide de montrer que l'onde cohérente se propage et d'introduire le nbre d'onde effectif On repart de l'équ de F-Tw Diffs ponctuels, rayt. Isotrope (même si a été généralisé après), concentration faible répartition uniforme g(k) : coeff de diffusion (ne dépend quqe de frréquence) G : propagateur en espace libre

10 Hypothèse de champ lointain
C’est une hypothèse qui revient implicitement à supposer que la concentration des diffuseurs est « faible » On va voit les autres formules pour keff, pour rayt pas fct isotrope, diffs pas fct ponctuels Dans la suite, les diffs seront cyls (sinon formules légèrement différentes) On garde l ’H de faible concentration Elles font intervenir la fonction de forme….= série de Rayleigh Elle dépend de la fréquence, comme le coeff de diff de tt à l ’heure, mais aussi de l ’angle d ’observation Par la suite, on ne précisera que la dépendance angulaire Fonction de forme en champ lointain

11 Les formules célèbres ISA: Independent Scattering Approximation
Waterman & Truell (1961) Fikioris & Waterman (1964) : hole correction ISA issue de Green, mais Idem que Foldy pour rayt pas isotrope WT et les autres, utilisent la QCA WT : correction de Foldy à l ’ordre 2 en n0 a Rayon d ’exclusion D(keff)=0

12 Chaque onde cohérente obéit-elle à sa propre équation de dispersion ?
Linton & Martin (2005) // Lloyd & Berry (1967) et dans un solide ? dans un milieu poro-élastique ? Chaque onde cohérente obéit-elle à sa propre équation de dispersion ? Par rapport à WT, c ’est l ’ordre 2 qui est différent Pour solide et poreux, on s ’attend à pas de différence pour Foldy, WT L=1,2

13 Yang et Mal 1994  (solide) WT Varadan, Ma, Varadan (solide) FW Couplage , sauf en basse fréquence Luppé, Conoir, Robert 2008 (poro-élastique) Tw=WT Onde T : pas de couplage Ondes rapide et lente couplées Conoir, Norris 2009 (solide) , FW, b tend vers 0 LM Couplage ondes L et T

14 Milieu effectif en moyenne keff complexe Fluide visqueux Mode acoustique Mode rotationnel keff

15 Coefficient de réflexion à l ’interface
1- Coefficient de réflexion à l ’interface fluide parfait / Milieu aléatoire Fluide visqueux Nombre d ’onde effectif du mode acoustique 2- 3- ceff = c0 (fluide hôte) dépendent de la fréquence et de l ’angle d ’incidence sauf (très) basse fréquence (ka<1)

16 Chekroun, Le Marrec, Lombard, Piraux, Abraham (2009)
(a=cte) Pour calculer le R, on a supposé…. En fait, on se doute bien que….. + n0 grand, + la cohérence est « rapide » ?+ il y a de diffuseurs par longueur d ’onde, + la cohérence est « rapide »?

17 Fikioris & Waterman, Linton & Martin
FW+LM+Chekroun et al. FW et LM : il ne faut pas que l ’interface traverse un cyl

18 Le calcul du coefficient de réflexion à l ’interface
n ’est valide que si ka <<1 ?? ?? On ne garde que les ordres 0 et 1 de la série de Rayleigh

19 Nombre d ’onde effectif
Fikioris et Waterman pour poro-élastique b tend vers 0 (Linton et Martin) couplage avec l ’onde T (id solide) Milieu effectif Et si ka n ’est pas <<1 ???? Etudier le milieu infini, relation déplacement /contrainte En résumé, pour les nbres d ’onde effectif, seul change le 2nd ordre Reste à faire à poreux pour le milieu effectif ka>1 possible ????? Décrire entièrement solide, puis poreux Solide et poro-élastique