AgroParisTech, site de Massy agroparistech.fr

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1 AgroParisTech, site de Massy marc.danzart @ agroparistech.fr
LES PLANS D’EXPÉRIENCES Marc DANZART AgroParisTech, site de Massy 1 Avenue des Olympiades MASSY CEDEX Tel : (33) Fax : (33) agroparistech.fr

2 LA DÉMARCHE STATISTIQUE
Hypothèse Expérience Modèle Résultats probables Risques Résultat expérimental Résultats improbables

3 LES PLANS D’EXPÉRIENCES
Contraintes Hypothèse Expérience Modèle Résultats probables Risques Résultat expérimental Résultats improbables

4 LES PLANS D’EXPÉRIENCES
Satisfaire des contraintes De coût De temps D'organisation ...

5 LES DANGERS La confusion d'effets Pdt 1 Pdt 2 Pdt 3 Pdt 4 Pdt 5 Pdt 6
7 Pdt 8 Sujet n° 1 Sujet n° 2 Sujet n° 3 Sujet n° 4 La confusion d'effets Sujet n° 5 Sujet n° 6 Sujet n° 7 Sujet n° 8 Sujet n° 9 Sujet n° 10

6 OPTIMISATION D’UN COUPLE TEMPS x TEMPÉRATURE
On étudie l’effet du temps de cuisson sur le rendement 75 topt = mn 70 65 Rendement 60 On fixe donc t à 125 mn puis on étudie l’effet de la température 55 50 45 80 50 100 150 200 70 Temps de cuisson (mn) 60 Rendement 50 40 30 20 200 210 220 230 240 250 260 Température (°C)

7 OPTIMISATION D’UN COUPLE TEMPS x TEMPÉRATURE
Optimum réel 91.2 200 210 220 230 240 250 260 255 ° C Rendement = 90 Rendement = 80 Rendement = 70 Température (°C) Optimum apparent 73.4 50 100 150 200 55 min Temps de cuisson (min)

8 LA PESÉE … Version 1 Pesée de l'objet n° 2 Tarage de la balance 2 m m
2 m m 2 Pesée de l'objet n° 1 Pesée de l'objet n° 3 1 3 m m 1 3

9 LA PESÉE … Version 2 Pesée n° 1 Pesée n° 3 1 2 3 2 1 3 P P Pesée n° 2
Pesée n° 3 1 2 3 2 1 3 P P 2 Pesée n° 2 Pesée n° 4 1 2 3 3 1 2 P P 1 3

10 la pesée ... calcul des poids
LA PESÉE : LE CALCUL DES POIDS … OBJET VERSION 1 VERSION 2 m 1 P + P - P - P 1 2 3 4 m = 1 m 2 P + P - P - P 2 1 3 4 m = 2 3 m 3 P + P - P - P 3 1 2 4 m = la pesée ... calcul des poids

11 La pesée ... les précisions
OBJET VERSION 1 VERSION 2 2s 2 s 2 4 1 2 3 La pesée "originale" conduit à une précision près de 3 fois supérieure à celle de la pesée traditionnelle La pesée ... les précisions

12 S (x -x.) y = a + b x + e LES DANGERS
La précision de la réponse du modèle au point x est calculable a priori : 2 Var ( y(x) ) = s ( ) ^ (x-x.) 2 1 n S (x -x.) 2 i

13 q = (X'X) X'Y q = (X'X+H'H) X'Y Y = X q + E LE MODÈLE LINÉAIRE ^ ^
Vecteur des erreurs Vecteur des résultats Matrice du plan d'experience Vecteur des paramètres ^ q = (X'X) X'Y -1 Si X'X est inversible ^ q = (X'X+H'H) X'Y -1 Si X'X n'est pas inversible H représente la matrice des contraintes

14 q = (X'X) X'Y Var( q )= s (X'X) LE MODÈLE LINÉAIRE ^ ^
-1 ^ Var( q )= s (X'X) 2 -1 La corrélation entre les paramètres est prévisible à l'avance et dépend de la structure expérimentale -1 Un bon plan minimise la matrice (X'X) Minimisation du déterminant D-optimalité

15 Détecter les facteurs influents
LES PRINCIPALES CLASSES DE PLANS D’ EXPÉRIENCES EN INDUSTRIE ALIMENTAIRE Détecter les facteurs influents Plans de Plackett-Burman Méthode Taguchi ... Optimiser un process Plans Central composite Plans de Box-Benhken ... Optimiser un mélange Plans de Scheffé Extreme vertices designs ... Comparer un grand nombre de produits Blocs incomplets équilibrés ...

16 LES PLANS FACTORIELS COMPLETS
Facteur n° 1 Facteur n° 2 Facteur n° 3 TOUTES LES COMBINAISONS DES NIVEAUX DES FACTEURS SONT TESTÉES LE NOMBRE D'EXPÉRIENCES EST DONC ÉGAL AU PRODUIT DES NOMBRES DES NIVEAUX Ici n = 3 x 2 x 3 = 18 essais Exp. n° 1 Exp. n° 2 Exp. n° 3 Exp. n° 4 Exp. n° 5 Exp. n° 6 Exp. n° 7 Exp. n° 8 Exp. n° 9 Exp. n° 10 Exp. n° 11 Exp. n° 12 Exp. n° 13 Exp. n° 14 Exp. n° 15 Exp. n° 16 Exp. n° 17 Exp. n° 18 1 2 3 1 2 1 2 3

17 LES PLANS FRACTIONNÉS CONSTATATION : DIFFICULTÉ A INTERPRÊTER LES
INTERACTIONS D‘ ORDRE ÉLEVÉ IDÉE : EN PROFITER POUR MINIMISER LE NOMBRE D'ESSAIS DANGER : LA CONFUSION D'EFFETS

18 LES MATRICES DE HADAMARD (1)
Pour chacun des facteurs étudiés on choisit deux valeurs appelées respectivement niveau bas noté - niveau haut noté + Si le facteur est qualitatif ce sont les deux niveaux Si le facteur est quantitatif ce sont deux valeurs choisies dans la plage de variation du facteur

19 LES MATRICES DE HADAMARD (2)
Facteur n° 1 Facteur n° 2 Facteur n° 3 Facteur n° 4 Facteur n° 5 Facteur n° 6 Facteur n° 7 essai n° 1 essai n° 2 essai n° 3 essai n° 4 essai n° 5 essai n° 6 essai n° 7 essai n° 8

20 LES MATRICES DE HADAMARD (3)
Variable étudiée d 1 Facteur n° 1 Niveau - Niveau +

21 LES MATRICES DE HADAMARD (4)
Variable étudiée d 2 Facteur n° 2 Niveau - Niveau + Erreur due à la non linéarité de l'influence du facteur étudié

22 LES MATRICES DE HADAMARD (5)
Le nombre d'expériences est toujours un multiple de 4 n = 4 n = 8 n = 12 n = 16 n = 20 Hadamard (5)

23 Création d’un nouveau produit :
Le chewing-gum light Nouveau procédé : extrusion Nouvelle composition : les polyols remplacent les sucres 11 paramètres à optimiser simultanément Type de vis de l’extrudeur Vitesse de rotation de la vis Température de la gomme ... Pourcentage de Xylitol Pourcentage de Mannitol Le chewing-gum

24 LES PLANS FRACTIONNÉS 3 p-k
Lorsque les facteurs étudiés sont des facteurs à 3 niveaux, on étudie des fractions du plan complet 3p. Pour cela on construit d’abord un plan complet à 2 facteurs. Ce plan comporte 9 essais (3x3). Il est bien sûr orthogonal ! Facteur de base n° 1 n° 2 Si l’on souhaite étudier plus de 2 facteurs il faut ajouter des colonnes équilibrées (3 expériences au niveau 1, 3 au niveau 2 et 3 au niveau 3) qui doivent être orthogonales aux précédentes A cet effet on étudie la famille des carrés latins orthogonaux 3x3.

25 LES PLANS FRACTIONNÉS 3 p-k
CL1 CL2 Facteur de base n° 1 Facteur de base n° 2 Facteur n° 3 Facteur n° 4 Chacun des deux carrés latins sert à construire une colonne ! Il n’est pas possible d’étudier plus de 4 facteurs avec 9 essais ! … car il n’existe pas d’autre carré latin orthogonal aux deux carrés existants. Il faudra alors au moins 27 essais !!

26 LA PRISE EN COMPTE DES INTERACTIONS
CD BD AD = D BCD ACD ABD 1 I -1 1 A B C 1 -1 AB AC BC ABC Essai 1 Essai 2 Essai 3 Essai 4 Essai 5 Essai 6 Essai 7 Essai 8

27 LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 1 )
OBJECTIF : TROUVER UN OPTIMUM MODÈLE ASSOCIÉ : SURFACES DE RÉPONSE CONTRAINTES : VARIABLES QUANTITATIVES PROPRIÉTÉS : D-OPTIMALITÉ, ROTATABILITÉ et ISOVARIANCE PAR ROTATION

28 LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 2 )
2 points de l'hypercube 2p points du parallèlotope étoilé Facteur n° 2 2 points centraux p Soit n = p + 2 essais au total Chaque facteur est utilisé à 5 valeurs différentes Facteur n° 1

29 LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 3 )
Chaque facteur est étudié à 5 niveaux Plan Central composite à 3 facteurs La valeur minimum N1=min La 1ère valeur intermédiaire N2 La valeur moyenne N3=moy. La 3ème valeur intermédiaire N4 La valeur maximum N5=Max moy. min Max N2 N4 moy. min Max N2 N4 moy. min Max N2 N4 p N2 = moy (moy.-min) p p N4 = moy (moy.-min) p

30 LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 4 )
Equation polynomiale du modèle : Y = a0 + a1.Pv + a2.E/S + a3.(Pv)² + a4.(E/S)² + a5.Pv.E/S -2 2

31 NETTOYAGE DE SALADE (1) Log CF Pv E/S

32 NETTOYAGE DE SALADE (2) Log Rdt E/S Pv

33 NETTOYAGE DE SALADE (3) Log CTh E/S Pv

34 NETTOYAGE DE SALADE (4) Log CF Log Rdt Log CTh Pv E/S Pv E/S Pv E/S 20
20 40 60 80 100 120 140 50 70 90 110 130 150 160 170 180 200 Pv E/S 20 40 60 80 100 120 140 50 70 90 110 130 150 160 170 180 200 Pv E/S 20 40 60 80 100 120 140 70 90 110 130 150 160 170 180 200 Pv E/S 50 40 40 40

35 OPTIMISATION MULTIVARIABLE
NETTOYAGE DE SALADE (5) OPTIMISATION MULTIVARIABLE 20 40 60 80 100 120 140 50 70 90 110 130 150 160 170 180 200 Pv E/S

36 Chaque facteur est étudié
PLANS DE BOX BENHKEN Chaque facteur est étudié à 3 niveaux Plan de Box-Benhken à 3 facteurs min Max moy min Max moy moy min Max minimum min moyenne moy Maximum Max Le nombre d’expériences est égal à 2p² - 2p + 2

37 Réseau Simplex centre de Scheffé
LES PLANS DE MÉLANGE (1) Produit n° 1 Produit n° 2 Produit n° 3 Réseau Simplex centre de Scheffé

38 y = a1c1 + a2c2 + a3c3 + a4c1c2 + a5c1c3 + a6c2c3
PLANS DE MÉLANGE ( 2 ) L’équation habituelle y = a0 + a1c1 + a2c2 + a3c3 + a4c1² + a5c2² + a6c3² + a7c1c2 + a8c1c3 + a9c2c3 Ne peut être résolue (il faudrait estimer 10 paramètres avec seulement 7 expériences !) Ceci est dû à la contrainte c1 + c2 + c3 = 1 La somme totale des ingrédients fait 100 % Il n’y a donc pas besoin de constante a0 + a1c1 + a2c2 + a3c3 = (a0+a1)c1 + (a0+a2)c2 + (a0+a3)c3 Il n’y a pas besoin Des termes carrés c1 (c1 + c2 + c3) = c1 c1² = c1- c1 c2 - c1 c3 On ajuste donc le modèle suivant : y = a1c1 + a2c2 + a3c3 + a4c1c2 + a5c1c3 + a6c2c3

39 OPTIMISATION D’UN VIN PAR
MÉLANGE DE CÉPAGES Cépage n° 3 20 18 26 24 16 22 18 14 16 14 12 Cépage n° 1 Cépage n° 2 20 Cépages M.Sergent D.Mathieu R. Phan-Tan-Luu (1985)

40 Plans avec contraintes
LES PLANS DE MÉLANGE (3) Ingrédient n° 3 Ingrédient n° 1 Ingrédient n° 2 Plans avec contraintes

41 LES PLANS D-OPTIMAUX FACE A DES CAS PLUS DIFFICILES, ON SE RATTACHE
AUX PROPRIÉTÉS DES MATRICES EXPÉRIMENTALES. CERTAINS AUTEURS ONT PROPOSÉS DES ALGORITHMES DE CONSTRUCTION DE PLANS D-OPTIMAUX WYNN FEDOROV WHEELER MITCHELL WELCH

42 LES BLOCS INCOMPLETS ÉQUILIBRÉS (1)
p produits sont étudiés avec un panel de s sujets. k est le nombre de produits testés par chaque sujet r est le nombre de répétitions par produits (nombre de sujets testant un produit donné) l est le nombre de fois où un couple de produits est noté (nombre de sujets testant simultanément deux produits donnés) On peut montrer que les deux conditions suivantes sont nécessaires : p.r = s.k (*) r.(k-1) l = (**) p-1

43 LES BLOCS INCOMPLETS ÉQUILIBRÉS (2)
Produits 1 2 3 4 5 6 7 Sujet 1 Sujet 2 Sujet 3 Sujet 4 Sujet 5 Sujet 6 Sujet 7

44 Traitement statistique des résultats des BIE
Produit n° 1 Produit n° 2 Produit n° 3 Produit n° 4 Produit n° 5 Produit n° 6 Produit n° 7 Sujet n° 1 7 5 9 Sujet n° 2 10 11 12 7 6 14 Sujet n° 3 14 16 15 Sujet n° 4 14 11 17 Sujet n° 5 16 15 17 Sujet n° 6 14 7 12 Sujet n° 7 Somme totale par produit Moyennes

45 ! Traitement statistique des résultats des BIE
Si l’on s’intéresse aux notes données par les 3 sujets qui ont testé le produit 1 7 5 9 10 11 12 6 14 16 15 17 Produit n° 1 n° 2 n° 3 n° 4 n° 5 n° 6 n° 7 Sujet La somme totale de ces notes, notée T1, est égale à 81 Si l’on s’intéresse aux notes données par les 3 sujets qui ont testé le produit 2 Produit n° 1 Produit n° 2 Produit n° 3 Produit n° 4 Produit n° 5 Produit n° 6 Produit n° 7 Sujet n° 1 7 5 9 La somme totale de ces notes, notée T2, est égale à 108 Sujet n° 2 10 11 12 7 6 14 Sujetan n° 3 ! 14 16 15 Sujet n° 4 14 11 17 Sujet n° 5 Par conséquent, les sommes par produit doivent être corrigées pour obtenir des comparaisons non biaisées ! 16 15 17 Sujet n° 6 14 7 12 Sujet n° 7

46 ai gi Si - g1 = 24 - 81/3 = - 3 pour le produit 1
Traitement statistique des résultats des BIE Ti gi Si - La somme corrigée pour le produit i est égale à : = k g1 = /3 = pour le produit 1 g2 = /3 = pour le produit 2 gi ai La moyenne corrigée pour le produit i est égale à : = r E p(k-1) avec E = k(p-1) E est appelé coefficient d’efficacité.

47 CONTRAINTES UN GRAND NOMBRE DE PRODUITS Á ÉTUDIER 20 (environ)
UN NOMBRE LIMITÉ DE BOXES DE DÉGUSTATION 14 boxes UNE TAILLE DE PANEL LIMITÉE sujets au maximum UN NOMBRE RESTREINT DE SESSIONS 15 demi-journées UN NOMBRE LIMITÉ DE PRODUITS PAR SUJET 6 produit maximum / jour

48 BIE (3) LES BLOCS INCOMPLETS ÉQUILIBRES A DEUX ETAGES Produits
pour une session donnée A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A D I J P R S Sujet 1 Sujet 2 Sujet 3 Sujet 4 Sujet 5 Sujet 6 Sujet 7 Sessions BIE (3)

49 A B C D B D A C C A D B D C B A Ordre de présentation des produits
PLANS POUR MAÎTRISER L’ORDRE DE PRÉSENTATION DES PRODUITS ET LES ARRIÈRES-EFFETS Ordre de présentation des produits A B C D Sujet n° 1 B D A C Sujet n° 2 C A D B Sujet n° 3 D C B A Sujet n° 4

50 Carrés latins de Williams
Jour 1 Jour 2 Jour 3 Jour 4 Jour 5 Jour 6 Jour 7 Jour 8 Jour 9 Jour 10 Sujet 1 P1 P2 P10 P3 P9 P4 P8 P5 P7 P6 Sujet 2 P2 P3 P1 P4 P10 P5 P9 P6 P8 P7 Sujet 3 P3 P4 P2 P5 P1 P6 P10 P7 P9 P8 Sujet 4 P4 P5 P3 P6 P2 P7 P1 P8 P10 P9 Sujet 5 P5 P6 P4 P7 P3 P8 P2 P9 P1 P10 Sujet 6 P6 P7 P5 P8 P4 P9 P3 P10 P2 P1 Sujet 7 P7 P8 P6 P9 P5 P10 P4 P1 P3 P2 Sujet 8 P8 P9 P7 P10 P6 P1 P5 P2 P4 P3 Sujet 9 P9 P10 P8 P1 P7 P2 P6 P3 P5 P4 Sujet 10 P10 P1 P9 P2 P8 P3 P7 P4 P6 P5

51 Conseils QUELQUES CONSEILS
Faire les mesures plutôt aux bornes du domaine d'étude Eviter les confusions d'effet en recherchant l'orthogonalité entre les facteurs Utiliser les logiciels de construction de plans d'expériences quand cela est possible valider concrètement les résultats trouvés Conseils

52 Clairement définir les objectifs Lister les facteurs influents
LA DEMARCHE EXPERIMENTALE Clairement définir les objectifs Lister les facteurs influents Choisir le domaine de variation Lister l’ensemble des contraintes Construire le plan d’expériences

53 Conjecture Plan d’expériences Expérimentation Analyse des résultats
L’APPROCHE EXPÉRIMENTALE Conjecture Plan d’expériences Expérimentation Analyse des résultats Conclusions

54 LES PLANS D’EXPÉRIENCES PERMETTENT
Précision Efficacité Flexibilité

55 BIBLIOGRAPHIE BOX G.E.P, HUNTER W.G. & HUNTER J.S.
Statistics for experimenters John Wiley & Sons 1978 KEMPTHORNE O. The design ans analysis of experiments John Wiley & Sons 1952 CORNELL J.A. Experiments with mixtures John Wiley and Sons 1981 BARKER T.B. Quality by experimental designs Marcel Dekker 1985 DAVIES O.L. The design and analysis of industrial experiments Oliver & Boyd Gilles et Marie-Christine SADO Les plans d’expériences AFNOR Technique Yves TOURBIER, et Al Presses Romandes Jacques GOUPY DUNOD