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LES PLANS DEXPÉRIENCES Marc DANZART AgroParisTech, site de Massy 1 Avenue des Olympiades 91744 MASSY CEDEX Tel : (33) 1 69 93 50 27 Fax : (33) 1 69 93.

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1 LES PLANS DEXPÉRIENCES Marc DANZART AgroParisTech, site de Massy 1 Avenue des Olympiades MASSY CEDEX Tel : (33) Fax : (33) agroparistech.fr

2 Hypothèse Expérience Résultat expérimental Modèle Résultats probables Résultats improbables Risques LA DÉMARCHE STATISTIQUE

3 Contraintes LES PLANS DEXPÉRIENCES Hypothèse Expérience Résultat expérimental Modèle Résultats probables Résultats improbables Risques

4 Satisfaire des contraintes De coût De temps D'organisation... LES PLANS DEXPÉRIENCES

5 La confusion d'effets Pdt 1 Pdt 2 Pdt 3 Pdt 4 Pdt 5 Pdt 6 Pdt 7 Pdt 8 Sujet n° 1 Sujet n° 2 Sujet n° 3 Sujet n° 4 Sujet n° 5 Sujet n° 6 Sujet n° 7 Sujet n° 8 Sujet n° 9 Sujet n° 10 LES DANGERS

6 Temps de cuisson (mn) Rendement Température (°C) Rendement t opt = mn On fixe donc t à 125 mn puis on étudie leffet de la température On étudie leffet du temps de cuisson sur le rendement OPTIMISATION DUN COUPLE TEMPS x TEMPÉRATURE

7 Temps de cuisson (min) Température (°C) ° C 55 min Optimum apparent 73.4 Optimum réel 91.2 Rendement = 70 Rendement = 80 Rendement = 90 OPTIMISATION DUN COUPLE TEMPS x TEMPÉRATURE

8 Tarage de la balance Pesée de l'objet n° 1 Pesée de l'objet n° 2 Pesée de l'objet n° 3 m 0 m 1 m 2 m 3 LA PESÉE … Version 1

9 Pesée n° 1 Pesée n° 2 Pesée n° 3 Pesée n° 4 P 0 P 1 P 2 P 3 LA PESÉE … Version 2

10 la pesée... calcul des poids VERSION 1 VERSION OBJET m 1 m 2 m 3 P + P - P - P m 1 = m 2 = m 3 = LA PESÉE : LE CALCUL DES POIDS …

11 La pesée... les précisions VERSION 1 VERSION OBJET La pesée "originale" conduit à une précision près de 3 fois supérieure à celle de la pesée traditionnelle LA PESÉE : LES PRÉCISIONS …

12 y = a + b x + Var ( y(x) ) = ( ) 1 n (x-x.) 2 2 i 2 ^ La précision de la réponse du modèle au point x est calculable a priori : LES DANGERS

13 Y = X + E Vecteur des résultats Matrice du plan d'experience Vecteur des paramètres Vecteur des erreurs = (X'X) X'Y Si X'X est inversible = (X'X+H'H) X'Y Si X'X n'est pas inversible H représente la matrice des contraintes ^ ^ LE MODÈLE LINÉAIRE

14 = (X'X) X'Y ^ Var( )= (X'X) ^ 2 La corrélation entre les paramètres est prévisible à l'avance et dépend de la structure expérimentale Un bon plan minimise la matrice (X'X) Minimisation du déterminant D-optimalité LE MODÈLE LINÉAIRE

15 Détecter les facteurs influents Optimiser un process Optimiser un mélange Comparer un grand nombre de produits Plans de Plackett-Burman Méthode Taguchi... Plans Central composite Plans de Box-Benhken... Plans de Scheffé Extreme vertices designs... Blocs incomplets équilibrés... LES PRINCIPALES CLASSES DE PLANS D EXPÉRIENCES EN INDUSTRIE ALIMENTAIRE

16 LES PLANS FACTORIELS COMPLETS TOUTES LES COMBINAISONS DES NIVEAUX DES FACTEURS SONT TESTÉES LE NOMBRE D'EXPÉRIENCES EST DONC ÉGAL AU PRODUIT DES NOMBRES DES NIVEAUX Ici n = 3 x 2 x 3 = 18 essais Exp. n° 1 Exp. n° 2 Exp. n° 3 Exp. n° 4 Exp. n° 5 Exp. n° 6 Exp. n° 7 Exp. n° 8 Exp. n° 9 Exp. n° 10 Exp. n° 11 Exp. n° 12 Exp. n° 13 Exp. n° 14 Exp. n° 15 Exp. n° 16 Exp. n° 17 Exp. n° 18 Facteur n° 1 Facteur n° 2 Facteur n° 3

17 CONSTATATION : DIFFICULTÉ A INTERPRÊTER LES INTERACTIONS D ORDRE ÉLEVÉ IDÉE : EN PROFITER POUR MINIMISER LE NOMBRE D'ESSAIS DANGER : LA CONFUSION D'EFFETS LES PLANS FRACTIONNÉS

18 Pour chacun des facteurs étudiés on choisit deux valeurs appelées respectivement niveau basnoté - niveau hautnoté + Si le facteur est qualitatif ce sont les deux niveaux Si le facteur est quantitatif ce sont deux valeurs choisies dans la plage de variation du facteur LES MATRICES DE HADAMARD (1)

19 essai n° 1 essai n° 2 essai n° 3 essai n° 4 essai n° 5 essai n° 6 essai n° 7 essai n° 8 LES MATRICES DE HADAMARD (2) Facteur n° 1Facteur n° 2 Facteur n° 3Facteur n° 4Facteur n° 5Facteur n° 6Facteur n° 7

20 Facteur n° 1 Variable étudiée Niveau -Niveau + 1 LES MATRICES DE HADAMARD (3)

21 Facteur n° 2 Variable étudiée Niveau -Niveau + 2 Erreur due à la non linéarité de l'influence du facteur étudié LES MATRICES DE HADAMARD (4)

22 Hadamard (5) n = 4 n = 8 n = 12 n = 16 n = 20 Le nombre d'expériences est toujours un multiple de 4 LES MATRICES DE HADAMARD (5)

23 Le chewing-gum Nouveau procédé : extrusion Nouvelle composition : les polyols remplacent les sucres 11 paramètres à optimiser simultanément Type de vis de lextrudeur Vitesse de rotation de la vis Température de la gomme... Pourcentage de Xylitol Pourcentage de Mannitol... Création dun nouveau produit : Le chewing-gum light

24 LES PLANS FRACTIONNÉS 3 p-k Lorsque les facteurs étudiés sont des facteurs à 3 niveaux, on étudie des fractions du plan complet 3 p. Pour cela on construit dabord un plan complet à 2 facteurs. Ce plan comporte 9 essais (3x3). Il est bien sûr orthogonal ! Facteur de base n° 1 Facteur de base n° 2 Si lon souhaite étudier plus de 2 facteurs il faut ajouter des colonnes équilibrées (3 expériences au niveau 1, 3 au niveau 2 et 3 au niveau 3) qui doivent être orthogonales aux précédentes A cet effet on étudie la famille des carrés latins orthogonaux 3 x 3.

25 LES PLANS FRACTIONNÉS 3 p-k Facteur de base n° 1 Facteur de base n° Chacun des deux carrés latins sert à construire une colonne ! CL 1 CL Facteur n° 3 Facteur n° 4 Il nest pas possible détudier plus de 4 facteurs avec 9 essais ! … car il nexiste pas dautre carré latin orthogonal aux deux carrés existants. Il faudra alors au moins 27 essais !!

26 CD BD AD === AB AC BC ABC A B C I Essai 1 Essai 2 Essai 3 Essai 4 Essai 5 Essai 6 Essai 7 Essai 8 D BCD ACD ABD LA PRISE EN COMPTE DES INTERACTIONS

27 OBJECTIF : TROUVER UN OPTIMUM MODÈLE ASSOCIÉ : SURFACES DE RÉPONSE CONTRAINTES : VARIABLES QUANTITATIVES PROPRIÉTÉS : D-OPTIMALITÉ, ROTATABILITÉ et ISOVARIANCE PAR ROTATION LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 1 )

28 Facteur n° 2 Facteur n° 1 2 points de l'hypercube 2p points du parallèlotope étoilé 2 points centraux p Soit n = p + 2 essais au total p Chaque facteur est utilisé à 5 valeurs différentes LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 2 )

29 Chaque facteur est étudié à 5 niveaux La valeur minimum N 1 =min La 1 ère valeur intermédiaire N 2 La valeur moyenne N 3 =moy. La 3 ème valeur intermédiaire N 4 La valeur maximum N 5 =Max Plan Central composite à 3 facteurs N2N2 moy. - (moy.-min) p p = N4N4 p p = LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 3 ) moy. + (moy.-min) moy. min Max N 2 N 4 moy. min Max moy. N 2 N 4 N 2 N 4 moy. min Max moy. N 2 N 4 N 2 N 4 N 2 N 4 N 2 N 4

30 Equation polynomiale du modèle : Y = a 0 + a 1.P v + a 2.E/S + a 3.(P v )² + a 4.(E/S)² + a 5.P v.E/S LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 4 )

31 Log CF Pv E/S NETTOYAGE DE SALADE (1)

32 Log Rdt Pv E/S NETTOYAGE DE SALADE (2)

33 Log CTh Pv E/S NETTOYAGE DE SALADE (3)

34 Pv E/S Log CF Pv E/S Log Rdt Pv E/S Log CTh NETTOYAGE DE SALADE (4)

35 Pv E/S NETTOYAGE DE SALADE (5) OPTIMISATION MULTIVARIABLE

36 Chaque facteur est étudié à 3 niveaux minimum min moyenne moy Maximum Max Plan de Box-Benhken à 3 facteurs min Max min Max moy min Max min Max moy min Max moy min Max min Max min Max min Max moy PLANS DE BOX BENHKEN Le nombre dexpériences est égal à 2p² - 2p + 2

37 Produit n° 1 Produit n° 2 Produit n° 3 Réseau Simplex centre de Scheffé LES PLANS DE MÉLANGE (1)

38 PLANS DE MÉLANGE ( 2 ) y = a 0 + a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3 + a 4 c 1 ² + a 5 c 2 ² + a 6 c 3 ² + a 7 c 1 c 2 + a 8 c 1 c 3 + a 9 c 2 c 3 Léquation habituelle Ne peut être résolue (il faudrait estimer 10 paramètres avec seulement 7 expériences !) Ceci est dû à la contrainte c 1 + c 2 + c 3 = 1 La somme totale des ingrédients fait 100 % y = a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3 + a 4 c 1 c 2 + a 5 c 1 c 3 + a 6 c 2 c 3 On ajuste donc le modèle suivant : c 1 (c 1 + c 2 + c 3 ) = c 1 c 1 ² = c 1 - c 1 c 2 - c 1 c 3 Il ny a pas besoin Des termes carrés a 0 + a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3 = (a 0 +a 1 )c 1 + (a 0 +a 2 )c 2 + (a 0 +a 3 )c 3 Il ny a donc pas besoin de constante

39 Cépages Cépage n° 3 Cépage n° 1 Cépage n° M.Sergent D.Mathieu R. Phan-Tan-Luu (1985) OPTIMISATION DUN VIN PAR MÉLANGE DE CÉPAGES

40 Plans avec contraintes Ingrédient n° 1 LES PLANS DE MÉLANGE (3) Ingrédient n° 2 Ingrédient n° 3

41 FACE A DES CAS PLUS DIFFICILES, ON SE RATTACHE AUX PROPRIÉTÉS DES MATRICES EXPÉRIMENTALES. CERTAINS AUTEURS ONT PROPOSÉS DES ALGORITHMES DE CONSTRUCTION DE PLANS D-OPTIMAUX WYNN FEDOROV WHEELER MITCHELL WELCH LES PLANS D-OPTIMAUX

42 LES BLOCS INCOMPLETS ÉQUILIBRÉS (1) p produits sont étudiés avec un panel de s sujets. k est le nombre de produits testés par chaque sujet r est le nombre de répétitions par produits (nombre de sujets testant un produit donné) est le nombre de fois où un couple de produits est noté (nombre de sujets testant simultanément deux produits donnés) On peut montrer que les deux conditions suivantes sont nécessaires : p.r = s.k (*) = (**) r.(k-1) p-1

43 Sujet 1 Sujet 2 Sujet 3 Sujet 4 Sujet 5 Sujet 6 Sujet Produits LES BLOCS INCOMPLETS ÉQUILIBRÉS (2)

44 Produit n° 1 Produit n° 2 Produit n° 3 Produit n° 4 Produit n° 5 Produit n° 6 Produit n° 7 Sujet n° 1 Sujet n° 2 Sujet n° 3 Sujet n° 4 Sujet n° 5 Sujet n° 6 Sujet n° 7 Somme totale par produit Moyennes Traitement statistique des résultats des BIE

45 Produit n° 1 Produit n° 2 Produit n° 3 Produit n° 4 Produit n° 5 Produit n° 6 Produit n° 7 Sujet n° 1 Sujet n° 2 Sujet n° 3 Sujet n° 4 Sujet n° 5 Sujet n° 6 Sujet n° 7 Si lon sintéresse aux notes données par les 3 sujets qui ont testé le produit 1 La somme totale de ces notes, notée T 1, est égale à Produit n° 1 Produit n° 2 Produit n° 3 Produit n° 4 Produit n° 5 Produit n° 6 Produit n° 7 Sujet n° 1 Sujet n° 2 Sujetan n° 3 Sujet n° 4 Sujet n° 5 Sujet n° 6 Sujet n° 7 La somme totale de ces notes, notée T 2, est égale à 108 Par conséquent, les sommes par produit doivent être corrigées pour obtenir des comparaisons non biaisées ! ! Traitement statistique des résultats des BIE Si lon sintéresse aux notes données par les 3 sujets qui ont testé le produit 2

46 La somme corrigée pour le produit i est égale à : g i S i - TiTi k g 1 = /3 = - 3 pour le produit 1 g 2 = /3 = - 3 pour le produit 2 Traitement statistique des résultats des BIE = gigi i r E = E est appelé coefficient defficacité. E = k(p-1) p(k-1) La moyenne corrigée pour le produit i est égale à : avec

47 CONTRAINTES UN GRAND NOMBRE DE PRODUITS Á ÉTUDIER20 (environ) UN NOMBRE LIMITÉ DE BOXES DE DÉGUSTATION14 boxes UNE TAILLE DE PANEL LIMITÉE20 sujets au maximum UN NOMBRE RESTREINT DE SESSIONS15 demi-journées UN NOMBRE LIMITÉ DE PRODUITS PAR SUJET 6 produit maximum / jour

48 BIE (3) Sujet 1 Sujet 2 Sujet 3 Sujet 4 Sujet 5 Sujet 6 Sujet 7 ADIJPRS Produits pour une session donnée A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U Produits Sessions LES BLOCS INCOMPLETS ÉQUILIBRES A DEUX ETAGES

49 ABCD ABCD ABCD ABCD Ordre de présentation des produits Sujet n° 1 Sujet n° 2 Sujet n° 3 Sujet n° 4 PLANS POUR MAÎTRISER LORDRE DE PRÉSENTATION DES PRODUITS ET LES ARRIÈRES-EFFETS

50 P1P2P10P3P9P4P8P5P7P6 P2P3P4P10P5P9P6P8P7 P3P4P2P5P1P6P10P7P9P8 P4P5P3P6P2P7P1P8P10P9 P5P6P4P7P3P8P2P9P1P10 P6P7P5P8P4P9P3P10P2P1 P7P8P6P9P5P10P4P1P3P2 P8P9P7P10P6P1P5P2P4P3 P9P10P8P1P7P2P6P3P5P4 P10P1P9P2P8P3P7P4P6P5 P1 Sujet 1 Sujet 2 Sujet 3 Sujet 4 Sujet 10 Sujet 5 Sujet 6 Sujet 7 Sujet 8 Sujet 9 Jour 1Jour 2Jour 3Jour 4Jour 5Jour 6Jour 7Jour 8Jour 9Jour 10 Carrés latins de Williams

51 Conseils Faire les mesures plutôt aux bornes du domaine d'étude Eviter les confusions d'effet en recherchant l'orthogonalité entre les facteurs Utiliser les logiciels de construction de plans d'expériences quand cela est possible valider concrètement les résultats trouvés QUELQUES CONSEILS

52 Clairement définir les objectifs Lister les facteurs influents Choisir le domaine de variation Lister lensemble des contraintes Construire le plan dexpériences LA DEMARCHE EXPERIMENTALE

53 Conjecture Plan dexpériences Expérimentation Analyse des résultats Conclusions LAPPROCHE EXPÉRIMENTALE

54 Précision Efficacité Flexibilité LES PLANS DEXPÉRIENCES PERMETTENT

55 BIBLIOGRAPHIE Gilles et Marie-Christine SADO Les plans dexpériences AFNOR Technique Yves TOURBIER, et Al Les plans dexpériences Presses Romandes Jacques GOUPY Les plans dexpériences DUNOD BOX G.E.P, HUNTER W.G. & HUNTER J.S. Statistics for experimenters John Wiley & Sons 1978 KEMPTHORNE O. The design ans analysis of experiments John Wiley & Sons 1952 CORNELL J.A. Experiments with mixtures John Wiley and Sons 1981 BARKER T.B. Quality by experimental designs Marcel Dekker 1985 DAVIES O.L. The design and analysis of industrial experiments Oliver & Boyd 1985


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