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Émergence du calcul des probabilités (I) De lespérance pascalienne à la théorie laplacienne.

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1 Émergence du calcul des probabilités (I) De lespérance pascalienne à la théorie laplacienne

2 1 - La préhistoire Paris et enjeux dans les Jeux de hasard, Le problème du Grand Duc de Toscane : De Vetula et Galilée

3 La Pirouète Tapisserie, début du 16 ème siècle, musée du Moyen Âge Thermes et hôtel de Cluny, Paris 5 è

4

5 Joueurs de cartes au 17 ème siècle

6 Fresque du 14 ème siècle : Dames jouant avec 3 dés Château de Arco di Trento (Italie, pointe nord du lac de Garde)

7 Les joueurs de dés de Georges de la Tour ( ) Paris sur la somme des faces de trois dés Les jeux de hasard ont eu un rôle important dans la naissance du concept de probabilité.

8 De Vetula : Un po è me m é di é val (1260) qui propose l analyse des jets de 3 d é s, comprenant les d é nombrements des configurations observables et des r é sultats possibles pour calculer la valeur à attribuer à chaque issue par les joueurs.

9 De Vetula : Po è me m é di é val attribu é à Richard de Fournival, recteur de la cath é drale d Amiens, vers L auteur propose l analyse des jets de 3 d é s, comprenant les d é nombrements des configurations observables et des r é sultats possibles pour calculer la valeur à attribuer à chaque issue par les joueurs afin d organiser des paris é quitables. On lance trois d é s et on fait le total des points obtenus. On parie sur une des 16 sommes qui peuvent ainsi se pr é senter. (La traduction qui suit est é tablie à partir du texte latin transcrit d une é dition de 1534).

10 Peut-être cependant diras-tu que certaines [sommes] sont plus avantageuses que d'autres Parmi les sommes possibles pour les joueurs, pour la raison que Puisqu un d é a six faces, avec six num é ros Avec trois d é s il y en a dix-huit, Dont trois seulement peuvent se pr é senter sur les d é s [une fois jet é s]. Ces nombres se pr é sentent diversement, et de l à Apparaissent deux fois huit sommes [3 à 10 et 11 à 18], qui cependant ne sont pas é galement Avantageuses, puisque la plus grande [18] et la plus petite [3] D'entre elles viennent rarement, et les interm é diaires [10 et 11] fr é quemment. ……

11 On le voit en permutant les configurations des points. Et c'est ainsi Qu en cinquante-six possibilit é s se r é partissent Les configurations des faces ; et ces configurations, en deux cent Seize mani è res de tomber, lesquelles donnent Les [16] sommes possibles pour les joueurs, Ainsi qu'elles doivent être r é parties entre eux, Tu conna î tras pleinement quelle valeur peut avoir L'une quelconque d'entre elles, ou quelle perte. C'est ce que le tableau ci-dessous peut t indiquer :

12 Combien de configurations des points [sur les d é s] et combien de mani è res de tomber correspondent à l'une quelconque des sommes [obtenues]: Sommesconfigurations des mani è res de tomber points sur les d é s 3 & & & & & & & & Total des possibilit é s pour l ensemble des configurations de points : 2 fois 108

13 Quelques points de repère

14 Quelques points de repère, suite

15 Le Maître mathématicien italien Luca Paccioli et son élève De Jacob Walch, dit Iacopo de Barbari, Venise, 1495

16 Luca Pacioli ( ), en 1492 : Summa de arithmetica geometria proportioni et proportionalita « Une brigade joue à la paume. Il faut 60 pour gagner et chaque coup vaut 10. L enjeu est de 10 ducats. Un incident survient qui force les soldats à interrompre la partie commenc é e, alors que le premier camp a gagn é 50 et le second 20. On demande quelle part de l enjeu revient à chaque camp ». R é ponse du ma î tre : 50/7 aux uns et 20/7 aux autres !

17 Galileo Galilei Galilée Portrait conservé à lAcadémie des Lincei

18 LE PROBLÈME DU GRAND DUC DE TOSCANE : Comment parier sur la somme des points obtenus avec 3 d é s ? QUESTION : « Bien que le 9 et le 12 se composent en autant de fa ç on que le 10 et le 11, si bien qu'ils devraient être consid é r é s comme ayant la même chance, on voit n é anmoins que la longue observation a fait que les joueurs estiment plus avantageux le 10 et le 11 plutôt que le 9 et le 12 ». Expliquez ce paradoxe.

19 La réponse de Galilée au Grand Duc de Toscane Extrait de Le Opere de Galileo Galilei, Firenze, 1855.vol.XIV, p (texte original, Mss. Palatini, Par.V1 1 Tome 3) « Que dans ce jeu de d é s certains points soient plus avantageux que d'autres, on en a une explication tr è s é vidente, qui consiste dans le fait que ceux-l à peuvent sortir plus facilement et plus souvent que ceux-ci, ce qui d é pend de leur capacit é à se former avec plusieurs sortes de chiffres »… … « Et que le 9 et le 10 se forment (et ce que l'on dit de ceux-ci s'entend pour leurs sym é triques le 12 et le 11) se forment, dis-je, avec la même diversit é de chiffres, est é vident ; en effet le 9 se compose en 1-2-6, 1-3-5, l-4-4, 2-2-5, 2-3-4, 3-3-3, qui sont six triplets, et le 10 en 1-3-6, 1-4-5, 2-2-6, 2-3-5, 2-4-4, 3-3-4, et non d'autres fa ç ons ce qui fait aussi six combinaisons »... … « [Deux d é s pr é sentent 36 sorties]. Puisque chacune des faces [du troisi è me d é ], qui sont aussi au nombre de six, peut s'accoupler avec chacune des 36 sorties des deux autres d é s, nous aurons que les sorties des trois d é s sont au nombre de six fois 36, soit 216, toutes diff é rentes »...

20 « Mais puisque les sommes des tirages des trois d é s ne sont qu'au nombre de 16, c'est à dire 3, 4, 5 jusqu' à 18, entre lesquelles on a à r é partir les dites 216 sorties, il est n é cessaire que pour quelques-unes de ces sommes on ait beaucoup de sorties et, si nous trouvons combien on en a pour chacune, nous aurons ouvert la voie pour d é couvrir tout ce que nous cherchons, et il suffira de faire une telle recherche du 1 au 10, puisque ce qui conviendra à l'un de ces nombres conviendra encore à son sym é trique ». « … Alors on voit que la somme 10 peut se faire par 27 sorties de d é s diff é rentes, mais la somme 9 par 25 seulement ». « … Toute personne qui s'entend au jeu pourra mesurer tr è s exactement tous les avantages, pour minimes qu'ils soient, des parties de d é s, des tournois et de toute autre r è gle particuli è re que l'on observe dans le jeu ». Réponse de Galilée, suite


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