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Mathématique au secondaire Journée pédagogique commission 5 novembre 2010 Atelier Les Conjectures Lucie Morasse, conseillère pédagogique.

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1 Mathématique au secondaire Journée pédagogique commission 5 novembre 2010 Atelier Les Conjectures Lucie Morasse, conseillère pédagogique

2 ? Êtes-vous à laise avec les conjectures? Quest-ce que vous en connaissez? À quelle fréquence vous les abordez? Comment les enseignez-vous en classe? Y a-t-il des champs mathématiques où vous abordez davantage les conjectures? Discutons-en…!

3 Que souhaitez-vous retirer de latelier daujourdhui?.

4 Horaire de latelier AM: Secondaires 1, 2 et 3 PM: Secondaires 4 et 5 1.Présentations et mot de bienvenue 2.Partie théorique et exemplification 3.Questions de conjectures dans les SAÉ 4.Pause 5.Où trouver le matériel? 6.Cadres dévaluation: quand? 7.Document sur la « Progression des apprentissages » 8.Régulation des épreuves de juin Évaluation de la rencontre

5 Déployer un raisonnement mathématique – CD2 Les conjectures dans les situations dapplication 1 Cest quoi? 2Comment? 3 En pratique!

6 Cest quoi? Mathématique au secondaire 1

7 Définition selon le PFEQ Énoncé que lon pense vrai; Relations, énoncés, opinions, conclusions, etc., implicites ou explicites, qui nécessitent dêtre découvertes, expliquées, généralisées, prouvées ou réfutées à laide de savoirs mathématiques.

8

9 Émettre des conjectures Analyser les conditions dune situation Organiser des éléments choisis du niveau de concepts et processus relatifs à la situation Sapproprier ou énoncer des conjectures adaptées à la situation Juger la pertinence de conjectures émises et retenir les meilleures, au besoin Composante de la compétence à travailler dans la CD2. Cest lélément à renforcer auprès des élèves en La composante est au programme et elle est là pour y rester.

10 1.Formuler une conjecture nest pas un critère dévaluation Cr.1: Analyse adéquate dune situation dapplication Cr.2: Choix des concepts et des processus Cr.3: Application adéquate des processus retenus Cr.4: Justification correcte dactions ou dénoncés En CD2, les élèves travaillent seulement des situations de validation et daction Que font-ils au primaire?

11 Au premier cycle du secondaire, PFEQ mentionne: Que lélève valide une conjecture en recourant à des raisonnements généraux tels le raisonnement par induction, par déduction, par analogie et à des raisonnements plus spécifiques liés aux champs mathématiques.

12 Quels sont ces champs? Les proportions Lalgèbre La géométrie Larithmétique Les probabilités et les statistiques

13 Quels sont les types de raisonnement? Inductif: Il amène lélève à généraliser à partir de lobservation de cas particuliers. Déductif: Il amène lélève à tirer une conclusion à partir dénoncés considérés comme vrais. Il englobe le raisonnement par labsurde et la disjonction de cas. Analogique: Il amène lélève à percevoir des similitudes entre divers objets mathématiques.

14 Lélève peut aussi… Recourir au raisonnement par réfutation à laide dun contre-exemple qui consiste à invalider une conjecture émise sans statuer sur ce qui est vrai.

15 T (Roy, 2006)

16 2 Comment? Mathématique au secondaire

17 Les 3 niveaux de conjectures 1.La conjecture est émise et on doit la démontrer. 2.La conjecture émise nest pas complète et on doit la compléter. 3.Tout est à découvrir et on doit formuler une conjecture.

18 Comment reconnaître les tâches de conjecture? Les 3 niveaux

19 La conjecture est déjà émise et on demande de la démontrer « Dans un prisme, la somme du nombre de sommets et du nombre de faces est supérieure de 2 au nombre d'arêtes ». Démontre, à laide dexemples, que cette conjecture est vraie.

20 Dans le processus de validation de cette conjecture, supposons que l'élève s'appuie sur plusieurs exemples pour tirer sa conclusion. Il émettra la conjecture (énoncé, affirmation) voulant que cette relation est vraie pour tel prisme, vraie aussi pour l'autre, etc., donc vraie pour l'ensemble des prismes. Ces affirmations (conjectures) peuvent apparaître au fur et à mesure de la démarche ou être groupées dans la conclusion. L'élève devra donc émettre d'autres conjectures et s'appuyer sur elles pour étaler son raisonnement. Cependant les traces seront-elles disponibles? Il faut habituer l'élève à laisser des traces de sa démarche.

21 La conjecture émise nest pas complète et on demande de la compléter Il existe un type de solides pour lequel la somme du nombre de sommets et du nombre de faces est supérieure de 2 au nombre d'arêtes. Complète cette conjecture.

22 La conclusion (ou la démarche) devrait amener l'élève à reformuler une nouvelle conjecture en la précisant (identifier les solides en question). Ici le type de solides pour lequel la conjecture est vraie est à explorer. Lélève aura à énoncer les conditions (type de solides) qui font que la conjecture est vraie. Dans sa démarche, lélève cherche des conjectures intermédiaires; il peut chercher à établir la relation entre le nombre de faces jointes et le nombre d'arêtes engendrées, entre le nombre de faces et le nombre de sommets, etc. Parfois il ne les formulera pas car il n'aboutira pas (il les a réfutées en chemin). Lorsqu'il cherche une relation intermédiaire, il conjecture sur son existence possible. La plupart des conjectures restent implicites. Il faut quand même réussir à en faire expliciter quelques-unes si on veut observer la pensée.

23 Tout est à découvrir, la conjecture émise nest pas complète (niveau de complexité plus grand) et on demande de formuler la conjecture Formule une conjecture décrivant la relation qui existe entre le nombre de sommets, le nombre de faces et le nombre d'arêtes d'un solide.

24 L'élève doit explorer les types de solides, noter les données correspondant aux variables mentionnées, dégager les solides qui montrent une régularité dans les données, les regrouper et établir la relation. Finalement, il doit s'assurer par la suite qu'elle est valable pour tout prisme et reformuler la conjecture en tenant compte de ses découvertes et des façons de considérer tous les aspects de la situation. Cest impossible à établir pour la sphère, possible pour le prisme droit; pas possible pour le cône, la boule et le cylindre, etc.

25 3 En pratique! Situations de conjectures des épreuves du MELS

26 Document de travail Recueil de situations de conjectures dans les différents niveaux tirés dexemples et dépreuves prototypes du MELS.

27 La CD2 et les situations dapplication Sont-elles plus claires pour vous? Vous sentez-vous mieux outillés pour les aborder dans votre enseignement? Est-ce que vous allez modifier votre façon de les enseigner ? Aimeriez-vous approfondir certains aspects de cet atelier éventuellement? Pour conclure ! Les conjectures

28 Informations importantes Dépôt du cadre dévaluation par le MELS: 29 octobre Évaluations de juin 2011: sec. 4 et 5 auront des CD1 et des CD2 (prototype ou appoint) sec. 1 à 3: CD1, CD2 et CD3 (épreuves communes) Document sur la « Progression des apprentissages » Banque de SAÉ du GRMS Informations en maths: Formations sur lévaluation: après les fêtes (février-mars)

29 Littérature du MELS: PFEQ Adapté du document « Questions et réponses sur le contenu de formation » Épreuves prototypes Épreuves dappoint Comité décriture des échelles de niveaux de compétences en mathématique, MELS, 2006, créé par Patrick Roy, collaborateur Adaptation: Document de Karine Roy, conseillère pédagogique à la C.S. Côte-du-Sud, 2009 Sources dinformations

30 Quel message voulez-vous diffuser ? Évaluation de la rencontre


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