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Master - Automatique - Chap. V 1 Chapitre V : Commande numérique des SLI par retour de sortie (Systèmes asservis échantillonnés SAE) V-1 Analyse des systèmes.

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1 Master - Automatique - Chap. V 1 Chapitre V : Commande numérique des SLI par retour de sortie (Systèmes asservis échantillonnés SAE) V-1 Analyse des systèmes asservis échantillonnés V-2 Commande des systèmes asservis échantillonnés

2 Master - Automatique - Chap. V 2 Souplesse de correction = on peut modifier la correction sans modification au niveau "hard" Possibilité de commande adaptative si les caractéristiques du systèmes changent (cas des systèmes non stationnaires) Possibilité didentification sans ouverture de boucle par changement de la consigne La consigne peut elle même être générée par le calculateur Chapitre V : Commande numérique des SLI par retour de sortie (Systèmes asservis échantillonnés SAE) En commande numérique cest le calculateur qui assure les fonctions de comparaison et de correction. Les avantages de ce type dasservissement sont multiples : Système quelconque Perturbations s(t) Correcteur C(Z) e(t) ou consigne - CNA Capteur H(p) + CAN T Horloge Lhorloge interne définit la période déchantillonnage (T << cte de temps du système)

3 Master - Automatique - Chap. V 3 V-1 Analyse des systèmes asservis échantillonnés 1 Schéma fonctionnel et transmittance associés à un SAE G(p) S(Z) C(Z) E(p) - B0B0 H(p) + T U(Z) Ce schéma peut aussi se ramené au schéma suivant dit à échantillonnage derreur. G(p) S(Z) C(Z) E - B0B0 H(p) + T U(Z) T T T a Fonction de transfert en BO (FTBO) avec b Fonction de transfert en BF (FTBF) Pour faire apparaître F u (Z) (retour unitaire), on ramène S(Z) avant le bloqueur, puis après H (pour ne pas couper une chaîne en p) R R(Z)

4 Master - Automatique - Chap. V 4 G(p) S(Z) B0B0 H(p) 1 2 GH S(Z) C(Z) E - B0B0 + T U(Z) T Si capteur plus rapide que le processus H=C te c Transmittance relative aux perturbations G1G1 S(Z) C(Z) E - B0B0 + T U(Z) T H G2G2 B0B0 T R R R

5 Master - Automatique - Chap. V 5 La perturbation intervient analogiquement et nest pas exploitable, elle sera approximée par une version discrétisée par un bloqueur dordre 0 (B 0 ). On démontre que : Si le capteur est rapide : H=Cte 2 Stabilité et précision des SAE Il nexiste pas de représentation graphique pour les transmittances en Z donc pas déquivalent du critère de Nyquist pour les SAE. Dans le plan p, un système est stable si les pôles de sa transmittance sont à partie réelle négatives. On peut transposer cette propriété au plan Z, les pôles de la transmittance en Z doivent-être tel que Plan p StableInstable Plan Z Stable Instable

6 Master - Automatique - Chap. V 6 Cependant il est toujours possible dutilise la transformation bilinéaire ( ) qui fait passer de l'intérieur du cercle unité en Z au 1/2 plan gauche en W, pour obtenir la FTBO et appliquer le critère de Nyquist, ou la FTBF et appliquer le critère de Routh-Hurwitz. Exemple dapplication : W2W2 2,74-0,11K0,63K W1W1 1,26-0,52K 0 W0W0 0,63K

7 Master - Automatique - Chap. V 7 a Représentation graphique en W v est une pulsation fictive v joue le rôle dun pulsation appelée pulsation fictive et est telle que : Conséquence: Toutes les représentations graphiques de Bode en W de la FTBO se termine par une horizontale pour les gains et pour la phase. v

8 Master - Automatique - Chap. V 8 Exemple: Etudier la stabilité en fonction de K du système échantillonné suivant : S(Z)E - B0B0 + T T FTBO :

9 Master - Automatique - Chap. V 9 Faisons le changement de variable de la transformation bilinéaire : Système instable en BO (1 pôle à l'origine) Analyse harmonique : T=0,1s T=1s T=5s Pour T=1 et 0,1 deux positions J.O

10 Master - Automatique - Chap. V 10 T=0,1sT=1sT=5s Quelques remarques La précision dynamique est dautant meilleure que T petite Pour T=5, le système est instable en BF Pour T=0,1 la précision dynamique est correcte (voir après) Pour T=1, il y a lieu de multiplier la TBO par un facteur K<1 pour diminuer le gain de résonance, ceci au détriment de la BP. Il est préférable de travailler à un fréquence déchantillonnage grande M=6dB M=0dB

11 Master - Automatique - Chap. V 11 Système stable en BF si on entour pas le point critique -1 puisque pas de pole à partie réelle positive pour T(W) Calcul des abscisses de A et B A B A : v=0,78 B : v Il suffit ensuite de déterminer les valeurs limites de K pour que le critère de Nyquist soit vérifié en calculant Re[T(jv)].

12 Master - Automatique - Chap. V 12

13 Master - Automatique - Chap. V 13 3 Précision statique Elle est définie exactement de la même façon que pour le cas continu. On étudiera donc que les erreurs stationnaires vis à vis de lentrée principale (consigne). Cependant pour annuler les effets permanents dune perturbation en,il faut introduire des pôles Z=1 dordre n et lerreur stationnaire constante (la suivante) sera dautant plus petite que le gain en amont (G) de la perturbation est élevé (cf asservissement continu). a Erreur stationnaire 0n vis à vis de lentrée principale GC(Z) E - B0B0 + T H S

14 Master - Automatique - Chap. V 14 On applique le théorème de la valeur finale : Consigne = échelon ou constante Consigne = rampe Consigne = parabole

15 Master - Automatique - Chap. V 15 En résumé 0n

16 Master - Automatique - Chap. V 16 V-2 Commande des systèmes asservis échantillonnés 1 Traitements des perturbations mesurables Pour annuler formellement leffet des perturbations mesurables (P(t)), on lutilise l'approximation étagée (B 0 ) de P(t) G1G1 S(Z) C(Z) E - B0B0 + T T H G2G2 B0B0 C 1 (Z) On prendra C 1 (Z) de tel façon que : H1H1 H 1 est supposé rapide

17 Master - Automatique - Chap. V 17 2 Méthodes fréquentielles a Synthèse de C(p) dans le domaine analogique puis transposition analogique numérique (Interpolateur) Une des méthodes consiste à déterminer le correcteur dans le domaine analogique et de transposer dans le domaine numérique par différent techniques : Transformation bilinéaire En utilisant un interpolateur dordre n (voir Chap. 2) InIn C(Z) Remarque : T commande u(t) ce que voit le système courbe = u(t) retardé de T/2 Si T nest pas négligeable devant les temps caractéristiques du système, prévoir avant la synthèse en analogique un retard T/2

18 Master - Automatique - Chap. V 18 b Utilisation de TW On part de la FTBO en W non-corrigée (T nc ) pour régler les correcteurs gabarisés : PI Avance de phase Le correcteur C(W) est déterminé de la même façon que pour les SA continus, il suffi de faire le changement inverse pour obtenir C(Z). Attention: les représentations graphiques en W se terminent par des horizontales, les correcteurs utilisables sont: c PID Numérique C(p) U Ils sont obtenus par transposition de PID continu.

19 Master - Automatique - Chap. V 19 Posons : Forme des correcteurs dans le domaine W Correcteur PI ° v v

20 Master - Automatique - Chap. V ° v v Correcteur PD 1 Cest un correcteur à avance de phase Détermination des coefficients du correcteur a.Il peut se faire soit à partir de T BO (W) comme on le fait pour les SA. On détermine toutes les caractéristiques (stabilité, précisions statique et dynamique) à partir des diagrammes de Bode et de Black Nichols. b.En utilisant la méthode de Ziegler/ Nichols/ Takahasi En boucle ouverte, on détermine a et T r sur la réponse indicielle (attention la réponse à léchelon doit-être apériodique). En boucle fermée, on se place à la limite de stabilité (limite de pompage) pour déterminer K 0 et T 0 (position Juste Oscillante). t TrTr a

21 Master - Automatique - Chap. V 21 Méthode de Ziegler/ Nichols/ Takahasi Correcteur Paramètres régulateur essai indiciel (BO) a, Tr Limite de pompage (BF) K 0, T 0 P PI PID


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