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Master - Automatique - Chap. II : 1 Chapitre II : Les outils mathématiques II-1 Les signaux analogiques et échantillonnés II-2 Produits de signaux II-3.

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1 Master - Automatique - Chap. II : 1 Chapitre II : Les outils mathématiques II-1 Les signaux analogiques et échantillonnés II-2 Produits de signaux II-3 Transformées de Fourier II-4 Transformée de Laplace II-5 Transformation en Z

2 Master - Automatique - Chap. II : 2 Chapitre II : Les outils mathématiques II-1 Les signaux - Les différents états dun signal 1 Signal analogique Il est représenté par une fonction continue f(t) de la variable continue t (f et t prenant leurs valeurs dans ). t f 2 Signal échantillonné Il est obtenu à partir dun signal analogique par discrétisation de la variable générique t. Cest donc une suite de valeur f(kT) prélevée sur f(t) aux instants t=kT (k est entier etT période déchantillonnage) Symbole de lopération échantillonnage : f(t) f(kT), f e (t), f k T Le modèle mathématique dun échantillon de valeur f(kT) est la distribution singulière de Dirac kT = (t-kT) damplitude f(kT). Un signal échantillonné sécrit donc : f e (t)=f(t). T t fefe Peigne de Dirac

3 Master - Automatique - Chap. II : 3 3 Signal numérique cest une suite de nombres obtenue à partir dun signal échantillonné après discrétisation de lamplitude f(kT) de léchantillon (cest donc le nombre mis en mémoire dans lordinateur). f(kT) ne peut prendre quune suite de valeurs séparées du pas de quantification q. Lexemple le plus courant est celui des signaux délivrés par un convertisseur analogique-numérique (CAN) et traités ensuite par un ordinateur. Le modèle mathématique du signal numérique est le même que celui du signal échantillonné. Cependant le signal numérique peut etre décomposé en 2 contribution. Signal Numérique = Signal Echantillonné + bruit de quantification de variance On supposera dans la suite du cours que q<<1, aussi ne fera-t-on pas de différence entre un signal numérique et un signal échantillonné. 4 Signal quantifié (Convertisseur Numérique Analogique CNA) Cest le signal obtenu après le convertisseur numérique analogique. Il peut être obtenu aussi à partir de f(t) après quantification de lamplitude de f au pas q (troncature, arrondi,....).

4 Master - Automatique - Chap. II : 4 t f(t) ContinuDiscret ContinuAnalogiqueEchantillonné discret Quantifié (CNA) Numérique (CAN) II-2 Produits de signaux 1 Le produit de convolution a Définition Le produit de convolution modélise la relation entrée sortie dun système linéaire invariant (SLI) h(t) représente la réponse impulsionnelle du système considéré Lélément neutre du produit de convolution est la distribution de Dirac:

5 Master - Automatique - Chap. II : 5 b Convolution de signaux discrets (échantillonnés) Le produit de convolution de 2 signaux échantillonnés est un signal échantillonné dont la suite des échantillons est : 2 Produit Scalaire de deux signaux analogiques Soit f et g deux fonctions réelles ou complexes, le produit scalaire de ces deux fonctions est : P est un nombre réel ou complexe. On dit que P représente la projection de f sur g. Si P=0, on dit que les deux fonctions sont orthogonales. Si f=g, P représente lénergie de f (E f ).

6 Master - Automatique - Chap. II : 6 Exemple : La Transformée de Fourier (voir II-3) représente lensemble des projections dune fonction f(t) sur la base des fonction cissoïdale (qui forment une base de fonctions orthonormée). Remarque : On peut définir le produit scalaire de 2 signaux numériques : 3 Energie et Puissance Les produits précédents nexistent que si au moins lun des signaux est dit à énergie finie. Donc la Transformée de Fourier dun signal échantillonné sécrit : FFT

7 Master - Automatique - Chap. II : 7 II-3 Transformée de Fourier 1 Définition F( ) existe si f(t) est absolument sommable Quelques cas particuliers : TF[ ]= T 1/T 2 Propriétés principales Convolution (lun au moins des signaux est dénergie finie) : Retard : Energie:

8 Master - Automatique - Chap. II : 8 Transformée de Fourier dun signal échantillonné : On remarque que la TF dun signal échantillonnée est périodique de période. Le développement précédent est le développement en série de Fourier complexe de F e ( ) ; les f(kT) sont les coefficients de ce développement et donc : 3 Conséquences de l'échantillonnage et Théorème de Shannon L'échantillonnage est une nécessité pour pouvoir traiter les signaux analogiques par calculateur numériques (traitement plus simple et moins coûteux), la contre partie est la perte dinformation entraînée par L'échantillonnage. La suite numérique f(kT) est censée représenter la signal analogique f(t). Or on vient de voir que la TF de f e ( ) =F e ( ) est périodique de période (T période d'échantillonnage) alors que F( ) na aucune raison de l'être. L'échantillonnage dans le domaine temporel se traduit par une périodisation de spectre dans le domaine fréquentiel.

9 Master - Automatique - Chap. II : 9 Relation entre F e ( ) et F( ) f e (t)=f(t). T F e ( ) = F( )* 1/T F e ( ) est le répétition périodique de F( ), qui représente le motif élémentaire, avec la période Exemple: F e ( ) M e e /2 Dans lexemple ci-dessus, on voit que, dans ce cas il n est pas possible de connaître F( ) à partir de F e ( ) donc il est impossible de remonter à f(t) à partir de la suite des f(kT). Ce problème est provoqué par le repliement des signaux.

10 Master - Automatique - Chap. II : 10 F e ( ) M e e /2 A linverse dans le cas ci-dessous on constate que les deux signaux sont identiques car La suite f(kT) est une représentation suffisante de f(t), si : 1- f(t) doit-être à bande limité (donc existence de M ) 2- la fréquence déchantillonnage doit vérifiée : f(t) peut alors être extrait de f(kT) à partir dun filtre passe bas de gain T et donc la fréquence de coupure vaut Théorème de Shannon F e ( ) M e e /2

11 Master - Automatique - Chap. II : 11 Remarque : En pratique, le signal f(t) nest pas à bande limitée. De plus fréquemment un signal est entaché de bruit à large spectre. On aura donc toujours recouvrement des fréquences du à la périodisation du spectre du signal échantillonné. Donc pour éviter le repliement du spectre autour de e /2 (appelée fréquence de Nyquist). - Il est nécessaire de décider quil existe une fréquence maximum M au delà de laquelle f(t) ne contient plus dinformation utile. - Il faut alors filtrer le signal analogique avant échantillonnage = utilisation dun filtre passe bas anti-repliement dont le rôle est de couper les fréquences supérieures à M. Restitution du signal On désire donc reconstituer un signal à temps continu à partir des valeurs aux instants nT. Pour cela il est nécessaire deffectuer une interpolation entre 2 instants de discrétisation. 1 Interpolateur idéal Comme nous lavons vu précédemment pour obtenir le signal f(t) à partir du signal échantillonné f e (kT e ) il suffit déliminer les bandes translater de F( ) par une fonction fenêtre : F e ( ) M e e /2

12 Master - Automatique - Chap. II : 12 La transformée de Fourier inverse du filtre est bien connue, notamment lorsque lon veut calculer la diffraction dune fente, donc on obtient la formule de linterpolateur idéale : Remarque : Lutilisation de la formule de linterpolateur idéale est impossible en temps réel car pour calculer f(t o ) il faut connaître les valeurs de f(t) aux instants tel que kT>t o 2 Interpolateur réalisable en temps réel = Bloqueur dordre 0 (B 0 ) B0B0 Réponse impulsionnelle du B 0 0

13 Master - Automatique - Chap. II : 13 Exemple de filtre antirepliement: filtre de Butterworth : Représentation fréquencielle : Filtre idéal filtre de Tchebychev : : constante caractérisant londulation dans la BP C n : polynôme de Tchebychev du premier ordre et de degré n

14 Master - Automatique - Chap. II : 14 II-4 Transformée de Laplace dun signal analogique 1 Définition La variable de Laplace est Abscisses de convergence: La transformée de Laplace (TL) définit ci-dessus est la TL bilatère, la TL monolatère ou TL (sans plus de précision) est : Il est à noter quune TL bilatère na de sens que si lon précise le domaine de convergence de Re(p)=r Exemple: Lorsquon travaille avec des sommes de signaux, lintersection des domaines de convergence ( ) doit être non nul pour que lon puisse travailler avec la TL.

15 Master - Automatique - Chap. II : 15 a – Les signaux sont sommables en valeurs absolue alors est non vide puisque r=0. On pourra alors remplacer p par j, donc TL et TF se déduisent lune de lautre b – Les signaux sont nuls t<0 (signaux causals) et sont de croissance au plus exponentielle alors la convergence de la TL est assurée. Donc est non vide puisque la borne supérieur est linfini (+ ), pas de problèmes existence, par contre le passage à la Tf nest pas assuré contrairement au cas précédent. En fait les signaux auxquels nous sommes confrontés rentrent dans lune des deux classes suivantes: 2 Propriétés de la TL Linéarité Le produit de convolution : La dérivation : Quelques TL:

16 Master - Automatique - Chap. II : 16 Cas des fonctions rendues causales L'intégration Théorème de la somme : Théorème de la valeur finale et initiale :

17 Master - Automatique - Chap. II : 17 Théorème du retard : Formule dinversion pour les fonctions causales : Le i ème résidu a pour valeur :

18 Master - Automatique - Chap. II : 18 II-5 Transformation en Z (TZ) 1 Définition Pour les signaux analogiques, l'outils mathématiques utilisé est la TL. Lune de ces propriétés notable est de remplacer le produit de convolution par un produit simple et de substituer lopérateur dérivée (d/dt) par la seule multiplication de la variable p... Un outil analogue a donc été développé pour le traitement des signaux échantillonnés : - A une suite d'échantillons {x n } on fait correspondre X(Z) de la variable complexe où T est la période d'échantillonnage. - Sachant que le modèle mathématique dun signal échantillonné sécrit: Remarque : est un opérateur avance du temps T, cest-à-dire lopérateur avance dun échantillon La TZ sidentifie à la TF pour. On dit que la TZ est TF évaluée sur le cercle unité.

19 Master - Automatique - Chap. II : 19 2 Condition dexistence Appliquons ce critère à F(Z) R+R+ R-R- Remarque : Si f(kT) est causal R + La zone de convergence est un anneau délimité par les rayons R - et R + qui représentent léquivalent des abscisses de convergence de la TL

20 Master - Automatique - Chap. II : 20 Exemples: Définir les rayons de convergence des suites : 3 Transformée en Z inverse a - Formule dinversion

21 Master - Automatique - Chap. II : 21 Cette relation a valeur de définition Cas des signaux causals R + = +,donc tous les pôles de F(z) sont à lintérieurs du contours (c), on peut évaluer lintégrale : Uniquement valable pour les signaux causals

22 Master - Automatique - Chap. II : 22 Exercice: Trouver les rayons de convergence, lexpression de F(Z) b – Inversion numérique directe pour un signal causal Si F(Z) se présente sous la forme dun rapport de 2 polynômes en Z : On calcul le quotient en divisant N(Z) par D(Z) suivant les puissance croissante de Z -1. La suite f(kT) est la suite des coefficients du quotient Exemple: Rampe Remarque : pour un signal causal degrés de N degrés de D

23 Master - Automatique - Chap. II : 23 4 Obtention de la TZ à partir de la TL Exemple: 5 Propriétés de la TZ Linéarité :

24 Master - Automatique - Chap. II : 24 Avance / Retard : Remarque : k 0 = 1 correspond à lavance ou le retard dun échantillon. La variable Z joue le rôle dopérateur avance au même titre que la variable p joue le rôle dopérateur dérivation en TL La variable Z -1 joue le rôle dopérateur retard au même titre que la variable 1/p=p -1 joue le rôle dopérateur intégration en TL

25 Master - Automatique - Chap. II : 25 Avance / Retard (suite) : Cas de la transformation monolatère ou dune suite rendue causale Le décalage à gauche (avance) fait disparaître un certain nombres déchantillon: Le décalage à droite (retard) fait apparaître un certain nombres déchantillon quil faut ajouter : Exemple: Rappel: Retard: Avance:

26 Master - Automatique - Chap. II : 26 Multiplication par a k : On se déplace sur un rayon suivant la valeur de a. Une des applications possible est de multiplier un signal par a k afin de modifier la position des pôles et des zéros de sa TZ Multiplication par le temps (t) : Valeurs limites Valeurs initiales Valeurs finales

27 Master - Automatique - Chap. II : 27 Produits de signaux Equation de récurrence


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