La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 39 2 - Introduction au traitement des signaux aléatoires Introduction Processus aléatoire Corrélation,

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 39 2 - Introduction au traitement des signaux aléatoires Introduction Processus aléatoire Corrélation,"— Transcription de la présentation:

1 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE Introduction au traitement des signaux aléatoires Introduction Processus aléatoire Corrélation, autocorrélation... Stationnarité, ergodicité Densité spectrale

2 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE Introduction Signaux aléatoires : bruit électronique, le signal de parole... Signal déterministe information Quand on connaît le passé, la probabilité dapparition dun niveau donné à linstant t est soit nulle, soit certaine (=1). Linformation est liée à un certain degré dincertitude, daléatoire. Signal déterministe formule définissant parfaitement le signal. Signal aléatoire paramètres statistiques définissant les POSSIBILITES dévolution du signal. Valeur future exacte du signal

3 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 41 Introduction Paramètres statistiques dun signal aléatoire: –Moyenne, variance, autocorrélation, moments,... Ces paramètres peuvent être eux mêmes aléatoires (non stationnaire) –exemple: le signal de parole

4 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 42 Introduction L «astuce» du temps différé: –on enregistre et on rejoue le signal. –le signal nest plus aléatoire. Il est parfaitement connu. Oui, mais.... –traitement en temps réel, futur inconnu –généraliser un traitement à des signaux futurs «presques» identiques à ceux que lon posséde déjà Le passé ne permet pas de déterminer complètement lavenir.

5 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 43 Introduction Signal aléatoire = Bruit Exemple –Transmettre la parole sur des cables dalimentation secteur 50 Hz Le signal important est la parole, cest un signal aléatoire Le bruit génant est déterministe, cest une sinusoïde à 50 Hz Exemple –Réception dun signal numérique au bout dune ligne de transmission Le signal numérique est aléatoire Le bruit sur la ligne de transmission est aussi aléatoire

6 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE Processus aléatoire ou stochastique Processus stochastique = famille de fonction aléatoire X(t,u) t est une variable réelle (par exemple le temps) u est un ensemble dévénements t et u peuvent être des variables continues ou discrètes X(t,u) peut prendre des valeurs continues ou discrètes, scalaires ou vectorielles.

7 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 45 Exemple 1 Bruit thermique dans un ensemble de résistances R={R i, i=1,N} de même valeur ohmique R 1 R 2 R 3 t t t t k t est une variable continue, R est une variable discrète X(t,R i ) est une représentation particulière du processus X(t,R) pour lévénement «R i a été choisie»

8 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 46 Exemple 1 (suite) Pour un instant t k donné, X(t k,R) est une variable aléatoire Le processus aléatoire prend des valeurs continues, scalaires et réelles. Si les signaux étaient numérisés, la variable t deviendrait discrète, ainsi que les valeurs prises par le processus (à cause de la quantification du CAN) Une réalisation particulière X(t,R i ) nest pas un signal déterministe. Tous les signaux sont à priori différents, mais le phénomène physique à lorigine du signal est le même pour toutes les résistances Trouver des lois statistiques communes

9 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 47 Exemple 2 Signal sinusoïdal à phase aléatoire phase u variable aléatoire uniformément répartie entre 0 et 2 X(t,u) t u est à valeur réelle continue X(t,u) est à valeur continue, scalaire et réelle Un signal particulier X(t,u i ) est déterministe.

10 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 48 Exemple 2 (suite) Densité de probabilité de la phase u Pour un instant donné t k, calcul des moments statistiques de la variable aléatoire X(t k,u) Espérance mathématique Variance

11 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 49 Exemple 2 (suite) Pour une valeur particulière u i (événement) de la phase, on peut calculer des paramètres temporels du signal X(t,u i ) Moyenne temporelle Variance temporelle, carré de la valeur efficace Remarque: On obtient ici des valeurs identiques à léspérance et à la variance statistiques

12 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 50 Caractérisation dun processus aléatoire. Lois de probabilité. Statistiques du premier ordre –Fonction de répartition et densité de probabilité pour un t k donné Léspérance mathématique (n=1) et les moments dordre supérieur sont définis par Remarque: Les moments peuvent dépendre de t k

13 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 51 Exemple: Processus gaussien Un processus, ou signal, ou bruit, gaussien posséde une densité de probabilité définie par une loi normale m étant la moyenne et lécart-type =1 m=0

14 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 52 Exemple: processus gaussien La densité de probabilité représente la statistique des amplitudes du signal à un instant donné, pour lensemble des réalisations possibles du processus. Lallure temporelle des réalisations dun processus gaussien ne ressemble pas forcément à un bruit comme ci dessous.

15 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 53 Exemple: signal sinusoïdal à phase aléatoire La phase ayant une densité de probabilité uniforme, les statistiques ne dépendent pas de linstant t k. Par commodité on se place à t k =T/2=0.5 T On cherche la fonction de répartition F X (x 1 ) = F X (0.5 T,u) = Prob ( X(0.5 T,u) < x 1 ) Cest à dire F X (x 1 ) = Prob (u > -arcos(-x 1 /a) et u < arcos(-x 1 /a) ) x1x1 a T

16 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 54 Exemple: signal sinusoïdal à phase aléatoire (suite) Cest à dire La densité de probabilité sobtient par dérivation de la fonction de répartition a-a-a x

17 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 55 Caractérisation des processus aléatoires Statistique du deuxième ordre –Relation entre les statistiques prises à deux instants t 1 et t 2 différents –On considère deux variables aléatoires X(t 1,u) et X(t 2,u) Fonction de répartition conjointe Densité de probabilité Si les deux variables aléatoires sont indépendantes (Ce qui se passe à t 1 ne dépend pas de ce qui se passe à t 2 )

18 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE Corrélation, Autocorrélation... Signaux déterministes –Signaux à énergie finie –Signaux à puissance finie Mesure de ressemblance Autocorrélation temporelle Processus aléatoires Statistique du second ordre Caractérisation fréquentielle des signaux aléatoires (Densité spectrale) Autocorrélation statistique

19 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 57 Corrélation, autocorrélation... Signaux à énergie finie Energie dun signal continu ou discret Signaux transitoires Signaux de durée finie Existence de la transformée de Fourier Dans la réalité, en pratique, tous les signaux sont à énergie finie. Exemples: x(t) = Rect(t) énergie finie x(t) = a constant nest pas à énergie finie x(t) = V sin(2 ft) nest pas à énergie finie

20 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 58 Corrélation, autocorrélation... Signaux à énergie finie Autocorrélation temporelle Si x(t) est réel, lautocorrélation est réelle Dimension V²/Hz ou A²/Hz Analogie avec la convolution Cest un produit scalaire, projection de x*(t) sur x(t) décalé de Pour = 0, on retrouve lénergie du signal R xx (0) = E x R xx ( ) est maximale en =0. Rien ne ressemble plus au signal que lui-même.

21 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 59 Corrélation, autocorrélation... Signaux à énergie finie Lautocorrélation posséde la propriétés de symétrie hermitique Si le signal est réel, lautocorrélation est donc réelle est paire. Exemple x(t) = Rect (t/T) R xx ( )=T Tri( /T) T/2-T/2 1 Rect(t/T) T-T T R xx ( ) t

22 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 60 Corrélation, autocorrélation... Signaux à énergie finie Intercorrélation Symétrie hermitique (Attention à linversion de x et y dans le deuxième membre des équations) Mesure du degrè de ressemblance entre deux signaux en fonction dun décalage Projection de x(t) sur y(t+ ), produit scalaire

23 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 61 Corrélation, autocorrélation... Signaux à énergie finie Exemple dintercorrélation x(t)y(t) t t -T/2T/2 -T T -3T/2 3T/2 1 1 T/2 -T/2 -T T R xy ( ) Le signal x(t) ressemble le plus à y(t) aux instants -T/2 et T/2. En =0, x(t) ne ressemble pas du tout à y(t) (ils sont orthogonaux, produit scalaire nul).

24 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 62 Corrélation, autocorrélation... Signaux à puissance finie Approximation de signaux réels Exemples –Signal continu x(t)=a –Signal sinusoïdal x(t)=V Sin(2 ft) –Signaux aléatoires, signaux périodiques, impulsion de Dirac, échelon unité... Puissance finie Signal à énergie finie = puissance nulle Signal à puissance finie = énergie infinie

25 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 63 Corrélation, autocorrélation... Signaux à puissance finie Autocorrélation temporelle, intercorrélation Problème de convergence des intégrales et des sommes Notation Dimensions: V² ou A² Autocorrélation: y(t)=x(t) dans les formules précédentes

26 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 64 Corrélation, autocorrélation... Signaux à puissance finie Autocorrélation des signaux périodiques Le calcul sur une seule période suffit Lautocorrélation dun signal périodique est elle même périodique. Par définition, le signal périodique ressemble parfaitement à lui même, décalé dune ou plusieurs périodes.

27 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 65 Corrélation, autocorrélation... Processus aléatoires On peut calculer lautocorrélation temporelle sur une réalisation X(t,u i ) dun processus aléatoire. On se retrouve alors dans le cas précédent. CE NEST PAS CE QUI NOUS INTERESSE ICI !!! On cherche une définition au sens statistique. Observation dun processus aléatoire X(t,u) à deux instant t 1 et t 2. Statistique du second ordre, moment conjoint Autocorrélation statistique

28 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 66 Corrélation, autocorrélation... Processus aléatoires Dans le cas dun processus réel continu Fonction dautocovariance Moment conjoint des variables aléatoires centrées X(t 1 )-m x (t 1 ) et X(t 2 )-m x (t 2 ), m x (t) moyenne du processus aléatoire à l'instant t Quand t 1 =t 2, on obtient la variance du processus aléatoire en t 1.

29 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 67 Corrélation, autocorrélation... Processus aléatoires Remarques: 1) On obtient des fonctions bidimensionnelles des variables t 1 et t 2. Dans le cas dun processus échantillonné discret, on obtiendra des matrices dautocorrélation et dautocovariance. 2) Si ces fonctions ne dépendent que de lécart temporel t 1 -t 2, les fonctions d'autocorrélation et d'autocovariance sont monodimensionnelles et dépendent du temps t 1 -t 2.

30 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 68 Corrélation, autocorrélation... Processus aléatoires Exemple Signal sinusoïdal à phase aléatoire u étant une variable aléatoire uniformément répartie, la moyenne du premier terme est nulle. (Voir la densité de probabilité du signal sinusoidal à phase aléatoire) On obtient Cest une fonction périodique, ne dépendant que de lécart t 1 -t 2. Pour t 1 =t 2, on retrouve la variance du processus aléatoire.

31 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE Stationnarité, ergodicité Processus stationnaire aus sens strict Les propriétés statistiques sont invariantes dans le temps Les statistiques du second ordre ne dépendent plus que de lécart =t 1 -t 2 Densité conjointe du second ordre Autocorélation Pour un processus réel

32 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 70 Stationnarité, ergodicité Processus stationnaire (au sens large) Espérance mathématique constante Autocorrélation dépendante de =t 1 -t 2 Symétrie hermitique Stationnaire au sens strict Stationnaire au sens large Linverse nest pas vrai Fonction dautocorrélation bornée par la puissance moyenne du processus

33 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 71 Stationnarité, ergodicité Processus ergodique au sens strict Moments statistisques = Moments temporels Processus ergodique (au sens large) Egalité des Moyennes statistiques et temporelles ainsi que des fonctions dautocorrélation Moyenne

34 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 72 Stationnarité, ergodicité Fonctions dautocorrélation statistique et temporelle Ergodique (au sens large) Stationnaire (au sens large) Linverse nest pas vrai. Signaux stationnaires ergodiques Estimation des paramètres statistiques à partir des paramètres temporels

35 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE Densité spectrale Signaux déterministes Transformée de Fourier Module et phase Interprétation fréquentielle Signaux aléatoires Transformée de Fourier ???? (oui, mais pour une réalisation X(t,u i ) ) Exemple Signal sinusoïdal à phase aléatoire X(t,u)=a sin( ft+u) Intuitivement: Une fréquence f damplitude a. Quelle phase ? elle est aléatoire.

36 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 74 Densité spectrale Contenu fréquentiel des processus aléatoires défini par lénergie ou la puissance (carré de lamplitude) Densité spectrale dénergie ou de puissance Représentation de la répartition de lénergie ou de la puissance dun signal en fonction de la fréquence Intuitivement: relation entre densité spectrale et spectre (transformée de Fourier) pour les signaux déterministes ???

37 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 75 Densité spectrale Signaux à énergie finie Densité spectrale dénergie (DSE) Fonction réelle. Fonction paire si le signal est réel DSE = Transformée de Fourier de la fonction dautocorrélation temporelle Dimension V²s/Hz ou A²s/Hz

38 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 76 Densité spectrale Energie du signal Transformée de Fourier inverse de la DSE S xx (f) est bien une densité spectrale

39 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 77 Densité spectrale Signaux à puissance finie Densité spectrale de puissance (DSP) Transformée de Fourier de la fonction dautocorrélation temporelle Dimension V²/Hz ou A²/Hz ! Relation avec la transformée de Fourier T.F. de x(t) limité à une durée T

40 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 78 Densité spectrale Puissance du signal S xx (f) est bien une densité de puissance

41 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 79 Densité spectrale Processus aléatoire stationnaire Densité spectrale de puissance (Théorème de Wiener-Khintchine) Transformée de Fourier de la fonction dautocorrélation statistique Processus aléatoire ergodique Estimation de la fonction dautocorrélation statistique donc de la DSP à partir de la fonction dautocorrélation temporelle des réalisations disponibles du processus aléatoire.

42 Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 80 Densité spectrale Exemple: Signal sinusoïdal à phase aléatoire Autocorrélation statistique ( transp.30 ): Autocorrélation temporelle (pour une réalisation donnée u i de la phase) (T=1/f 0 ) Densité spectrale de puissance Le signal est donc ergodique (au sens large)


Télécharger ppt "Traitement du Sigal - 3TC Transparents C. Odet, Prof. GE 39 2 - Introduction au traitement des signaux aléatoires Introduction Processus aléatoire Corrélation,"

Présentations similaires


Annonces Google