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1 Détection et isolation de défauts dans les procédés industriels Contrôle Statistique des Procédés Statistical Process Control (SPC)

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1 1 Détection et isolation de défauts dans les procédés industriels Contrôle Statistique des Procédés Statistical Process Control (SPC)

2 2 Définition Outils statistiques pour analyser la nature des variations au sein dun procédé 2 types de variations: dues à causes communes (« common-cause variations »); variations habituelles « normales » du procédé (bruits de mesure, variabilité matières premières ou tolérances composants, …) Variations dues à des causes spéciales (« special- cause variations ») ; dues à dysfonctionnement du procédé, non prévisibles CSP vise à détecter apparition variations dues à causes spéciales

3 3 Graphiques de contrôle Permettent de suivre lévolution dune grandeur et de détecter changements de moyenne (ou variance) significatifs caractérisant une variation de cause spéciale Plusieurs types : Shewart EWMA CUSUM …

4 4 Graphique type Shewart (1) Hypothèse: Echantillons successifs indépendants (au sens probabiliste) Détection causes spéciales induisant changement de moyenne

5 5 Graphique type Shewart (2) y k o o o o o o o o o o o o o oo Shewart c=3 Justifications: -Densité de probabilité Gaussienne pour -Pour toute densité de probabilité (inégalité de Chebychev; borne très conservative) - Expérience

6 6 Performance – LME –ARL (1) Définition: Longueur moyenne dexécution – LME (Average run length – ARL) LME (ARL): Nombre moyen dobservations jusquà la première observation hors contrôle (correspondant à linstant dalarme), cette dernière observation comprise. Calcul: Considérer suite {y(k)} : avec y(k) mutuellement indépendants pour tout k Suppose apparition dune cause spéciale (changement de moyenne) à linstant inconnu :

7 7 Performance – LME – ARL (2) Probabilité quune observation tombe entre les limites de contrôle après changement:

8 8 Performance – LME – ARL (3) Calcul de la LME en fonction de

9 9 Performance – LME – ARL (4) Temps moyen entre fausses alarmes [Nombre dobservations]: LME(0) Temps moyen de détection dun changement de moyenne damplitude [Nombre dobservations]:

10 10 Performance – LME – ARL (5) Détection rapide des changements importants Peu approprié pour faibles changements (1 à 2 fois lécart type) car ne prend en compte que lobservation au temps présent Approche prenant en compte lensemble des observations EWMA ou CUSUM

11 11 Graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (1) EWMA: Exponentially Weighted Moving Average Utilise toutes les données antérieures pondérées par un poids exponentiellement décroissant avec lancienneté des observations. Sapplique à suite dobservations i.i.d. (indépendantes identiquement distribuées) Statistique EWMA (moyenne glissante pondérée de manière exponentielle)

12 12 Graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (2) Solution de léquation récurrente pour EMWA décroissance poids sur observations donnée par série géométrique autre dénomination: moyenne glissante géométrique Limites du graphique de contrôle variance de w(k) Equation de Lyapunov algébrique:

13 13 Graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (3) w k o o o o o o o o o o o o o oo

14 14 LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (1) On considère alarme si Notation: Longueur dexécution égale à 1 si y(1) tel que sinon exécution continue à partir de

15 15 LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (2) A partir de ce point, longueur moyenne dexécution escomptée:

16 16 LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (3) Source: Wieringa 99

17 17 LME du graphique de contrôle EWMA pour la moyenne (4) Evolution du LME dans le cas dobservations indépendantes [Wieringa, 99]

18 18 Influence dune corrélation entre les observations (1) Modèle de type AR(1) Graphique de contrôle type Shewart en utilisant écart type de y pour les bornes LME(0) supérieure au cas où pas corrélation (bénéfique) LME( ) supérieure au cas où pas corrélation (effet négatif)

19 19 Références J.E. Wieringa (1999) Statistical process control for serially correlated data, Thèse de doctorat, Rijksuniversiteit Groningen M. Basseville et I.V. Nikiforov(1993)Detection of abrupt changes:theory and applications,Prentice-Hall, Englewood cliffs, N.J. Weisstein, E.W. "Fredholm Integral Equation of the Second Kind." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. onoftheFirstKind.htmlMathWorld onoftheFirstKind.html


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