La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Cours analyse spectrale Part I ESPEO 3 ème année Philippe Ravier 2000-2001.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Cours analyse spectrale Part I ESPEO 3 ème année Philippe Ravier 2000-2001."— Transcription de la présentation:

1 Cours analyse spectrale Part I ESPEO 3 ème année Philippe Ravier

2

3 Déroulement du cours 1.Définitions : spectre, dsp, corrélation 2.Procédure destimation 3.Estimation de la fonction de corrélation 4.Mesure de fonctions de corrélation par TFD

4 1.Définitions : spectre, dsp, corrélation On définit : - le spectre damplitude - le spectre de phase - on parle de spectre de raies pour le spectre dun signal constitué de fréquences pures La dsp est définie à partir de la fonction dautocorrélation comme Théo. de Wiener-Kintchine

5 Comparaisons corrélations - dsp Forte corrélation Faible corrélation Corrélation négative

6 Corrélation, dse et dsp (cas certain) signal déterministe ou certain signal à énergie finie signal à puissance moyenne finie signal périodique (T) : cas particulier du signal à puissance moy. finie dse dsp

7 signal aléatoire centré Corrélation, dse et dsp (cas aléatoire) Comment calculer la dsp avec une espérance mathématique ? Si le signal est stationnaire et ergodique, on peut remplacer E par un moyennage sur plusieurs réalisations indépendantes. On ne dispose que dune réalisation. On va envisager plusieurs réalisations dun même processus par tronçonnage de ce processus. Corrélogramme Périodogramme moyenné Si le processus aléatoire est stationnaire et ergodique, alors : dont on prend la TF

8 2.Procédure destimation Notions de biais et variance pour un estimateur En pratique, lobservation peut être considérée comme la réalisation dun processus aléatoire, que le signal soit déterministe ou aléatoire. Spectre vrai Spectre estimé Variance Biais

9 Formulations mathématiques des statistiques de lestimateur Biais (moment du 1 er ordre) Variance (moment du 2 ème ordre) Erreur entre la grandeur réelle et lestimée est estimé à partir des observations Y

10 Silestimateur est dit non biaisé On a une borne inférieure de la variance : Borne de Cramér-Rao pour un estimateur sans biais Si la variance atteint la borne de CR, on dit que lestimateur est efficace Lestimateur idéal est non biaisé et efficace mais variance et biais sont liés par lEQM Antagonisme biais-variance Lestimateur est dit consistent si le biais et la variance tendent vers 0 quand le nombre dobservations tend vers linfini

11 Exemple avec lestimateur de la moyenne Signal aléatoire X(n) Stationnaire et ergodique Durée limitée de N points Moyenne estimée Variable aléatoire sur lensemble des réalisations de X(n) On trouve (éch. indép. de var 2 )

12 Exemple avec lestimateur de la corrélation Estimateur « naturel » pour un nombre N de points Est-ce un bon estimateur ? Cet estimateur est biaisé car on ne tient pas compte de la durée finie des signaux. Pour « rendre » le signal à énergie finie, on utilise des fonctions de pondération qui atténuent les extrémités. Estimateur non biaisé

13 3.Estimation de la fonction de corrélation On multiplie le signal temporel par une fonction dapodisation (pondération ou lissage) g(t) atténue les discontinuités qui apparaissent aux 2 extrémités du signal observé permet de régler le biais de lestimateur intervient sur la variance de lestimateur 0 T g(t) Forme générale de la fonction dapodisation Rôle : La fonction dauto-corrélation est alors estimée par

14 Moyenne de lestimateur Variance de lestimateur Fonction de corrélation de g(t) : Pour obtenir un estimateur non biaisé, il suffit de fixer : Expression approchée pour le cas gaussien et un support de fonction de corrélation petit par rapport à la durée dobservation, soit <

15 Introduisons quelques grandeurs - On définit le temps dintégration Cest une mesure de la durée de g(t) qui est le temps dobservation sur lequel on effectue lestimation. - On définit la largeur de bande équivalente de bruit Cest une mesure de la largeur de bande de x(t). Elle est définie à partir de la bande équivalente dun bruit associé à x(t).

16 - On définit le temps de corrélation Cest une mesure de la durée de la fonction de corrélation Variance relative à la puissance de lestimateur avec ces notations dépend de la fonction de corrélations de x(t)

17 La variance est essentiellement contrôlée par le produit B eq T in Pour avoir une variance faible, il faut prendre un temps dintégration le plus grand possible, bien plus grand que le temps de corrélation du signal. Autre interprétation : T in / T c correspond au nombre de supports de la fonction de corrélation contenus dans la durée du signal observé. Cest le nombre de tranches indépendantes (décorrélées) du signal utilisées pour faire lestimation. Variance relative (pour un retard quelconque) La dispersion relative des estimations augmente pour les retards importants. Lestimation est moins bonne pour les grands.

18 4.Mesure de fcts de corrélation par TFD Lestimation par la TFD introduit une estimation de la corrélation circulaire. La notation [n-k] signifie : [n-k] = n-k modulo N 1)Signaux à énergie finie Forme incorrecte venant du repliement induit par la translation circulaire

19 2)Signaux périodiques

20 3)Signaux aléatoires Lestimateur est une variable aléatoire qui a un biais et une variance. Même variance que dans le cas continu est la longueur du support de corrélation en nombre déchantillons. Bilan : - signaux à énergie finie : ajout de zéros pour calcul par TFD - signaux périodiques : estimation erronée sauf si on connaît la période - signaux aléatoires stationnaires : estimation correcte si le calcul est effectué sur une durée supérieure au temps de corrélation. La variance relative croît pour les retards forts.


Télécharger ppt "Cours analyse spectrale Part I ESPEO 3 ème année Philippe Ravier 2000-2001."

Présentations similaires


Annonces Google