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1 La géométrie au cycle 2 et au cycle 3 Brigitte Bonnet-Philip et Mirène Larguier du GDM (groupe départemental de mathématiques) Lunel 19 mai 2010.

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1 1 La géométrie au cycle 2 et au cycle 3 Brigitte Bonnet-Philip et Mirène Larguier du GDM (groupe départemental de mathématiques) Lunel 19 mai 2010

2 2 Le groupe départemental de mathématiques : qui sommes-nous ? Quelle place pour la résolution de problèmes dans le domaine de la géométrie ? « La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans lactivité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et sexerce à tous les stades des apprentissages. » Quel rôle de lexpérimentation en géométrie ? Expérimenter en manipulant des figures : plier, assembler, découper, décalquer … Expérimenter en vivant des notions mathématiques par son corps : déplacements en ligne droite, saligner, position verticale, faire une ronde... Des ressources pour enseigner les mathématiques : Présentation et objectifs de la formation Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

3 3 1 ère activité Répondre par écrit à la question suivante Identifier les différentes tâches dans le domaine de la géométrie qui sont demandées aux élèves en faisant un inventaire à partir des verbes donnés dans les consignes (exemple : « tracer »). Faire également linventaire des outils utilisés pour lenseignement de la géométrie en cycle 2 et en cycle 3. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

4 4 Les différentes tâches dans le domaine de la géométrie Les termes du programme de 2008 : Reconnaitre, comparer, classer, nommer, décrire, reproduire, dessiner (avec des instruments ou à main levée), tracer, vérifier, estimer, construire, utiliser (des instruments, du vocabulaire), reporter (une longueur) Et aussi : Voir, observer, assembler des figures, décomposer des figures, décalquer, représenter, suivre ou élaborer un programme de construction, faire un plan, utiliser un logiciel de géométrie Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

5 5 Le matériel Règle graduée ou non, compas, équerre, papier calque, papier uni, papier pointé (réseau carré ou triangulaire), papier quadrillé, gabarit (pour des angles, des longueurs, des carrés…). Corde, papier millimétré, guide âne, miroir Le corps est aussi un outil (idée de verticale quand on est debout, estimer une longueur en pas…) Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

6 6 Le rapporteur est un instrument découvert au collège Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

7 7 Un instrument que lon peut utiliser : la « réquerre » Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

8 8 Dessin de gauche : ces 6 droites sont-elles parallèles ? Dessin du milieu : ce quadrilatère est-il un rectangle ? Dessin de droite : ces deux segments sont-ils de la même longueur ? Voir, observer : développer un regard géométrique sur un dessin Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

9 9 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

10 10 Voir, observer : développer un regard géométrique sur un dessin Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

11 11 Voir, observer : développer un regard géométrique sur un dessin Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

12 12 Voir, observer : développer un regard géométrique sur un dessin Combien vois-tu de rectangles sur ce dessin? Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

13 13 Voir, observer : développer un regard géométrique sur un dessin Combien vois-tu de rectangles sur ce dessin? Il y a 9 rectangles dans cette figure géométrique. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

14 14 Avec des carrés... Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010 Voir, observer, reconnaître

15 15 On dispose de 5 carrés parfaitement superposables Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

16 16 Rechercher tous les polygones que lon peut obtenir en juxtaposant les 5 carrés identiques Contrainte : 2 carrés doivent toujours avoir un côté commun Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

17 17 PentaminosPentaminos PentaminosPentaminos Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

18 18 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

19 19 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

20 20 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

21 21 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

22 22 Les objectifs Identifier des figures qui ont ou nont pas la même forme et qui sont donc superposables ou non ( géométrie du papier calque ) Classer en fonction de la présence ou non daxes de symétrie Classer en fonction du périmètre (12 ou 10 unités, lunité étant la longueur dun côté du carré) Identifier des sous-figures comme des carrés et des rectangles* Utiliser les pentaminos pour réaliser des assemblages et former des figures particulières ( comme des carrés, des rectangles...) Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

23 23 des rectangles dautres formes Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

24 24 Réaliser des formes superposables en utilisant des pentaminos différents Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

25 25 et de nombreuses autres situations à découvrir sur : orange.fr/therese.eveilleau/pages/ jeux_mat/textes/pentaminos.htm orange.fr/therese.eveilleau/pages/ jeux_mat/textes/pentaminos.htm Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

26 26 Avec des triangles... Observer, reconnaître, vérifier, nommer à partir dune activité de manipulation Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

27 27 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

28 28 Rechercher tous les polygones que lon peut obtenir en juxtaposant les 2 triangles identiques Contrainte : 2 triangles doivent être juxtaposés en faisant coîncider 2 côtés de même longueur Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

29 29 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

30 30 Combien de figures obtiendrait-on avec 2 triangles équilatéraux ? Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

31 31 Nature du triangleNombre de figuresObjectifs dapprentissage Quelconque 6 Rectangle 6 isocèle 3 Perpendiculaires et parallèles Description de polygones avec linventaire de leurs propriétés Symétrie axiale Tracés avec différents instruments sur différents supports Reproduction de figures Perception de sous figures dans une figure complexe Aire et périmètre Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

32 32 Variantes didactiques Donner aux élèves la quantité suffisante de triangles identiques pour quils puissent rechercher, puis coller les assemblages Faire réaliser le contour des figures pour matérialiser les assemblages Faire reproduire ces figures sur un quadrillage identique à celui figurant sur les modèles Faire reproduire ces figures sur un quadrillage plus petit que celui figurant sur les modèles Faire reproduire les figures sur un papier uni (cela nécessite de reproduire un triangle connaissant les longueurs de ses 3 côtés avec le compas) Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

33 33 Des situations de formulation Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

34 34 Nommer, décrire, écrire un programme de construction. Situations de formulation Principe sous-jacent : Le travail langagier oral et écrit est fondamental dans la construction des apprentissages. Nous distinguons plusieurs types de travail langagier : Les productions langagières demandées par lenseignant : « explique comment tu as fait » : demande scolaire classique ; « prouve que tu as raison » : situation de débat ou dargumentation, de justification ; Les productions langagières nécessitées par la situation-problème : Ces situations sont les plus propices à développer le langage car elles donnent une raison dêtre à la production langagière : Exemple du jeu de la carte didentité et du jeu du portrait dès le cycle 2 ; Exemple des programmes de constructions en cycle 3. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

35 35 Jeu de la carte didentité Nommer, décrire, écrire un programme de construction. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

36 36 But du jeu : deviner la figure choisie en posant des questions Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

37 37 Les objectifs Favoriser une production langagière orale ou écrite Utiliser un vocabulaire de plus en plus précis Réinvestir, renforcer des notions de repérage dobjets les uns par rapport aux autres déjà rencontrées : dessus, dessous, entre, au milieu de... Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

38 38 Phase 1 Le professeur choisit une figure, les élèves doivent deviner laquelle. Un élève choisit une figure, les autres doivent deviner laquelle. But : Apprendre à poser des questions de plus en plus pertinentes. Se familiariser avec le vocabulaire spécifique lié à lactivité. Variantes Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

39 39 Phase 2 Une carte par groupe : ==> chaque groupe doit rédiger « la carte didentité » de la figure qui lui a été confiée. Les groupes échangent 2 à 2 leur production et doivent identifier la figure décrite dans un ensemble de figures données. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

40 40 Phase 3 Réunir toutes les cartes didentité et associer les dessins et les cartes Phase 4 Travail par groupe Créer une nouvelle figure, rédiger sa carte didentité et demander, à un autre groupe, de dessiner la figure. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

41 41 Jeu du portrait Nommer, décrire, réinvestir les propriétés de figures géométriques Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

42 42 Les objectifs Favoriser une production langagière orale Réinvestir le vocabulaire introduit lors des séances en classe Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

43 43 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

44 44 La mise en oeuvre Chaque élève dispose dune fiche plastifiée et dun feutre pour tableau blanc. Une fiche agrandie est à la disposition de la classe. Consignes de jeu : Un élève choisit une figure sans la nommer Les autres doivent tenter de deviner laquelle, en posant des questions mettant en jeu les spécificités de chacune dentre-elles. Lélève qui a choisi la figure ne répond que par oui ou par non. Des figures seront éliminées au fur et à mesure pour tenter didentifier celle choisie. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

45 45 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

46 46 Les élèves apprennent à devenir de plus en plus précis et de plus en plus performants dans le choix et la formulation des questions. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

47 47 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

48 48 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

49 49 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

50 50 Avec des solides... Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

51 51 «La main dans le sac» Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

52 52 Matériel Un sac pas transparent Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

53 53 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

54 54 Consignes de jeu : Un élève met la main dans le sac et choisit un objet (figure ou solide) quil ne montre pas. Les autres doivent tenter de deviner la nature de lobjet en posant des questions ou ils doivent donner le nom de lobjet en prenant en compte les indices donnés par lélève. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

55 55 Variante Jouer par binôme (ou équipe) : lun a le sac, lautre les formes visibles devant lui mais non visibles par celui qui a le sac. Celui qui a le sac doit tenter de trouver la forme dans son sac en suivant les indications de lautre élève. ou inversement Celui qui a le sac, donne les indications et son partenaire doit retrouver la forme parmi celles quil a devant lui. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

56 56 Des situations de formulation Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

57 57 Des situations de formulation Cet exercice a été posé à plusieurs reprises dans les évaluations nationales de début de 6 e. Celui qui est proposé a été donné en Écrire votre réponse personnelle à cette question avec vos connaissances dadulte sans chercher à vous mettre dans le rôle dun élève. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

58 58 Mildred : Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de 2,2 de diamètre. Najoua : Trace un carré qui a pour dimension d'une droite : 5cm et 5mm. A l'angle de droite tout en haut, trace un cercle qui a pour rayon 2cm et 2mm. Michel : Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut à droite du carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre. Meredith : Trace un cercle de 2cm 2mm de diamètre et un carré de 5cm 5mm dont le sommet de droite du haut doit être au centre du cercle. Anaïs : Trace un cercle dont le rayon est de 2,2. Trace une droite de 5,5 cm partant du centre du cercle. A partir de cette droite forme un carré de 5,5 de longueur et 5,5 de largeur. Des situations de formulation Analyse de productions délèves de début de 6 e Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

59 59 Des situations de formulation Mildred : Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de 2,2 de diamètre. Najoua : Trace un carré qui a pour dimension d'une droite : 5cm et 5mm. A l'angle de droite tout en haut, trace un cercle qui a pour rayon 2cm et 2mm. Michel : Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut à droite du carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre. Meredith : Trace un cercle de 2cm 2mm de diamètre et un carré de 5cm 5mm dont le sommet de droite du haut doit être au centre du cercle. Anaïs : Trace un cercle dont le rayon est de 2,2. Trace une droite de 5,5 cm partant du centre du cercle. A partir de cette droite forme un carré de 5,5 de longueur et 5,5 de largeur. Dire : « un carré de 5,5 cm de côté » est-ce si difficile ? Pourquoi ce type derreur ? Quelle conception exprime-t-elle ? Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

60 60 Mildred : Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de 2,2 de diamètre. Najoua : Trace un carré qui a pour dimension d'une droite : 5cm et 5mm. A l'angle de droite tout en haut, trace un cercle qui a pour rayon 2cm et 2mm. Michel : Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut à droite du carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre. Meredith : Trace un cercle de 2cm 2mm de diamètre et un carré de 5cm 5mm dont le sommet de droite du haut doit être au centre du cercle. Anaïs : Trace un cercle dont le rayon est de 2,2. Trace une droite de 5,5 cm partant du centre du cercle. A partir de cette droite forme un carré de 5,5 de longueur et 5,5 de largeur. Pourquoi ce type derreur ? Quelle conception exprime-t-elle ? Des situations de formulation Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

61 61 La clé des maths CE1 Belin 2009 Cap Maths CE2 Hatier 2007 Des pratiques enseignantes vues à travers des manuels pour expliquer la logique des erreurs précédentes Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

62 62 Des situations de formulation Mildred : Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de 2,2 de diamètre. Najoua : Trace un carré qui a pour dimension d'une droite : 5cm et 5mm. A l'angle de droite tout en haut, trace un cercle qui a pour rayon 2cm et 2mm. Michel : Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut à droite du carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre. Meredith : Trace un cercle de 2cm 2mm de diamètre et un carré de 5cm 5mm dont le sommet de droite du haut doit être au centre du cercle. Anaïs : Trace un cercle dont le rayon est de 2,2. Trace une droite de 5,5 cm partant du centre du cercle. A partir de cette droite forme un carré de 5,5 de longueur et 5,5 de largeur. Lorientation doit-elle être un critère à retenir pour construire la figure ? Les instruments à utiliser doivent-ils être précisés ? Un terme du vocabulaire géométrique méconnu : sommet. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

63 63 Des situations de formulation Des critères à enseigner aux élèves pour élaborer un texte qui est un texte de programme de construction géométrique : Lorientation du dessin ne doit pas être prise en compte (penser que cest le papier calque qui validera la construction) ; Les instruments ne doivent pas être précisés ; Les termes mathématiques les plus précis possibles doivent être utilisés ; Toutes les informations nécessaires doivent être données, rien ne doit être deviné (un cercle est défini par un centre et un rayon, ou un centre et un diamètre) ; Ce texte écrit en français respecte évidemment les règles dorthographe et de grammaire de la discipline du français. Prise de conscience pour le professeur : Plusieurs programmes de construction sont en général possibles ; La figure donnée aux élèves doit être très simple, ce qui ne lempêche pas dêtre riche pour développer des connaissances géométriques. Prolongation de ce type de travail : faire rédiger le programme de construction en utilisant le moins de mots possibles Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

64 64 Synthèse relative aux situations présentées Les notions rencontrées : Figures de même forme, ou figures superposables : « la géométrie du papier calque » ; Angles droits, et angles qui ne sont pas droits ! Droites parallèles, ou bien perpendiculaires ; Figure possédant un axe de symétrie ; Notion daire (ou quantité de surface) et de périmètre (longueur du pourtour de la figure) ; Langage spécifique des mathématiques : Nom des figures usuelles ; Vocabulaire de description : sommet, côté, diagonale, angle droit, côtés parallèles, milieu, cercle, centre, rayon …. Expressions langagières spécifiques des mathématiques : « un carré de 5,5cm de côté » Décomposition dune figure en sous-figures et composition dune figure complexe à partir de figures simples. Repérage des verbes daction des différentes tâches géométriques : Observer, vérifier, assembler, décomposer, reconnaitre, tracer, décrire, nommer, écrire ou interpréter un programme de construction. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

65 65 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

66 66 Autres types dactivités géométriques Travailler la notion dalignement Reproduire Trier et classer Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

67 67 Alignement Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

68 68 Une situation-problème dont lobjectif dapprentissage est bien caché aux élèves ! (situation proposée par le groupe IREM premier degré) Consigne : En utilisant les 8 points, tracer le poisson uniquement avec la règle sans utiliser de mesures ( la règle ne sert quà tracer des traits droits) Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

69 69 Lalignement : un outil de résolution du problème des huit points. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

70 70 Reproduire Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

71 71 Reproduire à partir du cycle 2 Évaluations nationales CE2 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

72 72 Reproduire à partir du cycle 2 Évaluations nationales CE2 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

73 73 Reproduire à partir du cycle 2 Évaluations nationales CE2 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

74 74 Reproduire à partir du cycle 2 Évaluations nationales CE2 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

75 75 Reproduire à partir du cycle 2 Évaluations nationales CE2 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

76 76 Reproduire en cycle 3 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

77 77 Reproduire en cycle 3 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

78 78 Reproduire Reproduire un dessin en faisant varier certaines contraintes : La reproduction est de la même dimension (échelle égale à 1) ou pas ; Elle a la même orientation dans la feuille ou pas ; Tous les instruments de géométrie sont autorisés ou pas ; Le support de la reproduction est un papier uni, quadrillé, à réseau pointé, cest un écran dordinateur ; Le dessin à reproduire est réalisé ou non à main levée ; La reproduction est une déformation du dessin original (ce nest ni un agrandissement ni une réduction) Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010


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