La géométrie au cycle 2 et au cycle 3

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1 La géométrie au cycle 2 et au cycle 3
Brigitte Bonnet-Philip et Mirène Larguier du GDM (groupe départemental de mathématiques) Lunel 19 mai 2010

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Présentation et objectifs de la formation Le groupe départemental de mathématiques : qui sommes-nous ? Quelle place pour la résolution de problèmes dans le domaine de la géométrie ? « La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. » Quel rôle de l’expérimentation en géométrie ? Expérimenter en manipulant des figures : plier, assembler, découper, décalquer … Expérimenter en vivant des notions mathématiques par son corps : déplacements en ligne droite, s’aligner, position verticale, faire une ronde ... Des ressources pour enseigner les mathématiques : Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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1ère activité Répondre par écrit à la question suivante Identifier les différentes tâches dans le domaine de la géométrie qui sont demandées aux élèves en faisant un inventaire à partir des verbes donnés dans les consignes (exemple : « tracer »). Faire également l’inventaire des outils utilisés pour l’enseignement de la géométrie en cycle 2 et en cycle 3. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

4 Les différentes tâches dans le domaine de la géométrie
Les termes du programme de 2008 : Reconnaitre, comparer, classer, nommer, décrire, reproduire, dessiner (avec des instruments ou à main levée), tracer, vérifier, estimer, construire, utiliser (des instruments, du vocabulaire), reporter (une longueur) Et aussi : Voir, observer, assembler des figures, décomposer des figures, décalquer, représenter, suivre ou élaborer un programme de construction, faire un plan, utiliser un logiciel de géométrie Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Le matériel Règle graduée ou non, compas, équerre, papier calque, papier uni, papier pointé (réseau carré ou triangulaire), papier quadrillé, gabarit (pour des angles, des longueurs, des carrés…). Corde, papier millimétré, guide âne, miroir Le corps est aussi un outil (idée de verticale quand on est debout, estimer une longueur en pas…) Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

6 Le rapporteur est un instrument découvert au collège
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7 Un instrument que l’on peut utiliser : la « réquerre »
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8 Voir, observer : développer un regard géométrique sur un dessin
Dessin de gauche : ces 6 droites sont-elles parallèles ? Dessin du milieu : ce quadrilatère est-il un rectangle ? Dessin de droite : ces deux segments sont-ils de la même longueur ? Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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10 Voir, observer : développer un regard géométrique sur un dessin
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11 Voir, observer : développer un regard géométrique sur un dessin
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12 Voir, observer : développer un regard géométrique sur un dessin
Combien vois-tu de rectangles sur ce dessin? Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

13 Voir, observer : développer un regard géométrique sur un dessin
Combien vois-tu de rectangles sur ce dessin? Il y a 9 rectangles dans cette figure géométrique. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

14 Voir, observer, reconnaître
Avec des carrés... Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

15 On dispose de 5 carrés parfaitement superposables
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16 Rechercher tous les polygones que l’on peut obtenir en
juxtaposant les 5 carrés identiques Contrainte : 2 carrés doivent toujours avoir un côté commun Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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s P e n t a m i o s Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Les objectifs Identifier des figures qui ont ou n’ont pas la même forme et qui sont donc superposables ou non (géométrie du papier calque) Classer en fonction de la présence ou non d’axes de symétrie Classer en fonction du périmètre (12 ou 10 unités, l’unité étant la longueur d’un côté du carré) Identifier des sous-figures comme des carrés et des rectangles* Utiliser les pentaminos pour réaliser des assemblages et former des figures particulières (comme des carrés, des rectangles ...) * prépare efficacement la décomposition en sous figures nécessaire notamment dans la résolution de problème d’aire Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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des rectangles rectangle 1 10X6 rectangle 1 20X3 autres possibilités d’autres formes Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

24 Réaliser des formes superposables
en utilisant des pentaminos différents Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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et de nombreuses autres situations à découvrir sur : orange.fr/therese.eveilleau/pages/ jeux_mat/textes/pentaminos.htm Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Observer, reconnaître, vérifier, nommer à partir d’une activité de manipulation Avec des triangles... Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Rechercher tous les polygones que l’on peut obtenir en juxtaposant les 2 triangles identiques Contrainte : 2 triangles doivent être juxtaposés en faisant coîncider 2 côtés de même longueur Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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30 Combien de figures obtiendrait-on avec 2 triangles équilatéraux ?
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31 6 3 Nature du triangle Nombre de figures Objectifs d’apprentissage
Quelconque 6 Rectangle isocèle 3 Perpendiculaires et parallèles Description de polygones avec l’inventaire de leurs propriétés Symétrie axiale Tracés avec différents instruments sur différents supports Reproduction de figures Perception de sous figures dans une figure complexe Aire et périmètre Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

32 Variantes didactiques
Donner aux élèves la quantité suffisante de triangles identiques pour qu’ils puissent rechercher, puis coller les assemblages Faire réaliser le contour des figures pour matérialiser les assemblages Faire reproduire ces figures sur un quadrillage identique à celui figurant sur les modèles Faire reproduire ces figures sur un quadrillage plus petit que celui figurant sur les modèles Faire reproduire les figures sur un papier uni (cela nécessite de reproduire un triangle connaissant les longueurs de ses 3 côtés avec le compas) 2ème phrase ==> indiquer la fabrication des triangles par plastification ou cas de l’utilisation de triangles plastiques style blocs logiques Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

33 Des situations de formulation
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34 écrire un programme de construction.
Nommer, décrire, écrire un programme de construction. Situations de formulation Principe sous-jacent : Le travail langagier oral et écrit est fondamental dans la construction des apprentissages. Nous distinguons plusieurs types de travail langagier : Les productions langagières demandées par l’enseignant : « explique comment tu as fait » : demande scolaire classique ; « prouve que tu as raison » : situation de débat ou d’argumentation, de justification ; Les productions langagières nécessitées par la situation-problème : Ces situations sont les plus propices à développer le langage car elles donnent une raison d’être à la production langagière : Exemple du jeu de la carte d’identité et du jeu du portrait dès le cycle 2 ; Exemple des programmes de constructions en cycle 3. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

35 Jeu de la carte d’identité
Nommer, décrire, écrire un programme de construction. Jeu de la carte d’identité Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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But du jeu : deviner la figure choisie en posant des questions Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Les objectifs Favoriser une production langagière orale ou écrite Utiliser un vocabulaire de plus en plus précis Réinvestir, renforcer des notions de repérage d’objets les uns par rapport aux autres déjà rencontrées : dessus, dessous, entre, au milieu de ... Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Variantes Phase 1 Le professeur choisit une figure, les élèves doivent deviner laquelle. Un élève choisit une figure, les autres doivent deviner laquelle. jeu que l’on peut pratiquer rituellement pendant plusieurs jours avant de lancer les activités suivantes. Phase d’oralisation But : Apprendre à poser des questions de plus en plus pertinentes. Se familiariser avec le vocabulaire spécifique lié à l’activité. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Phase 2 Une carte par groupe : ==> chaque groupe doit rédiger « la carte d’identité » de la figure qui lui a été confiée. Les groupes échangent 2 à 2 leur production et doivent identifier la figure décrite dans un ensemble de figures données. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Phase 3 Réunir toutes les cartes d’identité et associer les dessins et les cartes Phase 4 Travail par groupe Créer une nouvelle figure, rédiger sa carte d’identité et demander, à un autre groupe, de dessiner la figure. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

41 Nommer, décrire, réinvestir les propriétés de figures géométriques
Jeu du portrait Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Les objectifs Favoriser une production langagière orale Réinvestir le vocabulaire introduit lors des séances en classe Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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La mise en oeuvre Chaque élève dispose d’une fiche plastifiée et d’un feutre pour tableau blanc. Une fiche agrandie est à la disposition de la classe. Consignes de jeu : Un élève choisit une figure sans la nommer Les autres doivent tenter de deviner laquelle, en posant des questions mettant en jeu les spécificités de chacune d’entre-elles. L’élève qui a choisi la figure ne répond que par oui ou par non. Des figures seront éliminées au fur et à mesure pour tenter d’identifier celle choisie . Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Les élèves apprennent à devenir de plus en plus précis et de plus en plus performants dans le choix et la formulation des questions. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Avec des solides... Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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«La main dans le sac» Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Matériel Un sac pas transparent Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Consignes de jeu : Un élève met la main dans le sac et choisit un objet (figure ou solide) qu’il ne montre pas. Les autres doivent tenter de deviner la nature de l’objet en posant des questions ou ils doivent donner le nom de l’objet en prenant en compte les indices donnés par l’élève. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Variante Jouer par binôme (ou équipe) : l’un a le sac, l’autre les formes visibles devant lui mais non visibles par celui qui a le sac. Celui qui a le sac doit tenter de trouver la forme dans son sac en suivant les indications de l’autre élève. ou inversement Celui qui a le sac, donne les indications et son partenaire doit retrouver la forme parmi celles qu’il a devant lui. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

56 Des situations de formulation
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57 Des situations de formulation
Cet exercice a été posé à plusieurs reprises dans les évaluations nationales de début de 6e. Celui qui est proposé a été donné en 2000. Écrire votre réponse personnelle à cette question avec vos connaissances d’adulte sans chercher à vous mettre dans le rôle d’un élève. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

58 Des situations de formulation
Analyse de productions d’élèves de début de 6e Mildred : Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de 2,2 de diamètre. Najoua : Trace un carré qui a pour dimension d'une droite : 5cm et 5mm. A l'angle de droite tout en haut, trace un cercle qui a pour rayon 2cm et 2mm. Michel : Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut à droite du carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre. Meredith : Trace un cercle de 2cm 2mm de diamètre et un carré de 5cm 5mm dont le sommet de droite du haut doit être au centre du cercle. Anaïs : Trace un cercle dont le rayon est de 2,2. Trace une droite de 5,5 cm partant du centre du cercle. A partir de cette droite forme un carré de 5,5 de longueur et 5,5 de largeur. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

59 Des situations de formulation
Pourquoi ce type d’erreur ? Quelle conception exprime-t-elle ? Mildred : Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de 2,2 de diamètre. Najoua : Trace un carré qui a pour dimension d'une droite : 5cm et 5mm. A l'angle de droite tout en haut, trace un cercle qui a pour rayon 2cm et 2mm. Michel : Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut à droite du carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre. Meredith : Trace un cercle de 2cm 2mm de diamètre et un carré de 5cm 5mm dont le sommet de droite du haut doit être au centre du cercle. Anaïs : Trace un cercle dont le rayon est de 2,2. Trace une droite de 5,5 cm partant du centre du cercle. A partir de cette droite forme un carré de 5,5 de longueur et 5,5 de largeur. Dire : « un carré de 5,5 cm de côté » est-ce si difficile ? Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

60 Des situations de formulation
Pourquoi ce type d’erreur ? Quelle conception exprime-t-elle ? Mildred : Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de 2,2 de diamètre. Najoua : Trace un carré qui a pour dimension d'une droite : 5cm et 5mm. A l'angle de droite tout en haut, trace un cercle qui a pour rayon 2cm et 2mm. Michel : Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut à droite du carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre. Meredith : Trace un cercle de 2cm 2mm de diamètre et un carré de 5cm 5mm dont le sommet de droite du haut doit être au centre du cercle. Anaïs : Trace un cercle dont le rayon est de 2,2. Trace une droite de 5,5 cm partant du centre du cercle. A partir de cette droite forme un carré de 5,5 de longueur et 5,5 de largeur. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

61 La clé des maths CE1 Belin 2009
Des pratiques enseignantes vues à travers des manuels pour expliquer la logique des erreurs précédentes La clé des maths CE1 Belin 2009 Cap Maths CE2 Hatier 2007 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

62 Des situations de formulation
Mildred : Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de 2,2 de diamètre. Najoua : Trace un carré qui a pour dimension d'une droite : 5cm et 5mm. A l'angle de droite tout en haut, trace un cercle qui a pour rayon 2cm et 2mm. Michel : Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut à droite du carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre. Meredith : Trace un cercle de 2cm 2mm de diamètre et un carré de 5cm 5mm dont le sommet de droite du haut doit être au centre du cercle. Anaïs : Trace un cercle dont le rayon est de 2,2. Trace une droite de 5,5 cm partant du centre du cercle. A partir de cette droite forme un carré de 5,5 de longueur et 5,5 de largeur. L’orientation doit-elle être un critère à retenir pour construire la figure ? Les instruments à utiliser doivent-ils être précisés ? Un terme du vocabulaire géométrique méconnu : sommet. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

63 Des situations de formulation
Des critères à enseigner aux élèves pour élaborer un texte qui est un texte de programme de construction géométrique : L’orientation du dessin ne doit pas être prise en compte (penser que c’est le papier calque qui validera la construction) ; Les instruments ne doivent pas être précisés ; Les termes mathématiques les plus précis possibles doivent être utilisés ; Toutes les informations nécessaires doivent être données, rien ne doit être deviné (un cercle est défini par un centre et un rayon, ou un centre et un diamètre) ; Ce texte écrit en français respecte évidemment les règles d’orthographe et de grammaire de la discipline du français. Prise de conscience pour le professeur : Plusieurs programmes de construction sont en général possibles ; La figure donnée aux élèves doit être très simple, ce qui ne l’empêche pas d’être riche pour développer des connaissances géométriques. Prolongation de ce type de travail : faire rédiger le programme de construction en utilisant le moins de mots possibles Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

64 Synthèse relative aux situations présentées
Les notions rencontrées : Figures de même forme, ou figures superposables : « la géométrie du papier calque » ; Angles droits, et angles qui ne sont pas droits ! Droites parallèles, ou bien perpendiculaires ; Figure possédant un axe de symétrie ; Notion d’aire (ou quantité de surface) et de périmètre (longueur du pourtour de la figure) ; Langage spécifique des mathématiques : Nom des figures usuelles ; Vocabulaire de description : sommet, côté, diagonale, angle droit, côtés parallèles, milieu, cercle, centre, rayon …. Expressions langagières spécifiques des mathématiques : « un carré de 5,5cm de côté » Décomposition d’une figure en sous-figures et composition d’une figure complexe à partir de figures simples. Repérage des verbes d’action des différentes tâches géométriques : Observer, vérifier, assembler, décomposer, reconnaitre, tracer, décrire, nommer, écrire ou interpréter un programme de construction. Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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66 Autres types d’activités géométriques
Travailler la notion d’alignement Reproduire Trier et classer Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Alignement Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Une situation-problème dont l’objectif d’apprentissage est bien caché aux élèves ! (situation proposée par le groupe IREM premier degré) Consigne : En utilisant les 8 points, tracer le poisson uniquement avec la règle sans utiliser de mesures (la règle ne sert qu’à tracer des traits droits) Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

69 L’alignement : un outil de résolution du problème des huit points.
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Reproduire Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

71 Reproduire à partir du cycle 2
Évaluations nationales CE2 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

72 Reproduire à partir du cycle 2
Évaluations nationales CE2 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

73 Reproduire à partir du cycle 2
Évaluations nationales CE2 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

74 Reproduire à partir du cycle 2
Évaluations nationales CE2 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

75 Reproduire à partir du cycle 2
Évaluations nationales CE2 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Reproduire en cycle 3 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Reproduire en cycle 3 Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010

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Reproduire Reproduire un dessin en faisant varier certaines contraintes : La reproduction est de la même dimension (échelle égale à 1) ou pas ; Elle a la même orientation dans la feuille ou pas ; Tous les instruments de géométrie sont autorisés ou pas ; Le support de la reproduction est un papier uni, quadrillé, à réseau pointé, c’est un écran d’ordinateur ; Le dessin à reproduire est réalisé ou non à main levée ; La reproduction est une déformation du dessin original (ce n’est ni un agrandissement ni une réduction) Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER GDM 34 LUNEL 19/05/2010