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Trajectoire dune sonde Voyage Terre Mars. 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)2 La NASA a lancé lundi 18 novembre la sonde.

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1 trajectoire dune sonde Voyage Terre Mars

2 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)2 La NASA a lancé lundi 18 novembre la sonde Maven (Mars Atmosphere and Volatile Evolution) Départ : 13 h 28, heure locale (19 h 28, heure française). Informations spatiales

3 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)3 Informations spatiales (suite) Mars Orbiter Mission (MOM) ou Mangalyaan (en sanskrit / Ma galyān). Type orbiteur. Lancement le 5 novembre 2013 L'ISRO, l'agence spatiale indienne vient de lancer une sonde martienne. Mise en orbite elliptique très allongée, lorbite est agrandie à chaque passage au périgée. Départ pour Mars : le 1 er décembre. Durée du voyage : 10 mois.

4 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)4 A partir de cette simple constatation, il est possible de construire approximativement et simplement les trajectoires qui amèneront les sondes près de la planète Mars : caractéristiques des orbites, temps de parcours. Le travail va consister en : - faire un petit rappel sur les ellipses : paramètres de base et relations - trouver les relations qui relient caractéristiques de lorbite de la sonde à celles des orbites de la Terre et Mars - tracer les orbites des trois corps (Terre, Mars, sonde) sous GeoGebra - devant les insuffisances de la trajectoire théorique, donner de la souplesse au modèle pour ajuster une meilleure orbite - faire quelques calculs sur la vitesse de la sonde et sur les dates de lancement Introduction et présentation de la construction Comme tout corps isolé dans le système solaire, une sonde spatiale, lancée dans le système solaire, moteurs éteints, suit une orbite keplérienne : une ellipse dont le Soleil est à lun des foyers. orbite keplérienne foyers ellipse

5 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)5 LEllipse Lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes est constante. PF + PF' = C te a = OA = OA ' b = OB = OB ' c = OF = OF ' Seule la deuxième relation va nous être utile. F et F' sont les foyers de l'ellipse. FF : demi-grand axe : demi-petit axe : distance foyer - centre On définit : On pose, c/a = e : excentricité ou ellipticité. c/a = e

6 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)6 a c r e = c/a Mais en Astronomie, où le Soleil est à lun des foyers de lellipse, on utilise les coordonnées polaires. Termes astronomiques aphélie (apogée) : périhélie (périgée) :SA = a + c = a ( 1 + e ) SA = a - c = a ( 1 - e ) On peut définir la position du point P en coordonnées cartésiennes :P Caractéristiques : demi-grand axe distance centre foyer rayon vecteur anomalie excentricité Lellipse

7 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)7 Donner les lois de Kepler I - Les planètes décrivent autour du soleil des orbites elliptiques dont le soleil occupe un des foyers. II - Une ligne joignant une planète au soleil balaye des aires égales en des temps égaux (loi des aires). III - La période de rotation d'une planète et le demi grand axe de son orbite sont liés par la relation : P en années sidérales a en unités astronomiques (ua)

8 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)8 Orbite de la sonde Economie dénergie (carburant) -> orbite képlérienne Profiter de la vitesse de la Terre sur son orbite la sonde sera lancée tangentiellement à lorbite de la Terre. Éviter de changer de direction : trajectoire dictée par la gravitation Faire coïncider larrivée de la sonde sur la trajectoire avec la position de la planète

9 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)9 Orbite de la sonde Partons dun problème simple. Les excentricités des planètes sont faibles, leurs orbites sont assimilées à des cercles Lellipse tangente aux deux cercles, extérieure pour la Terre et intérieur pour Mars On place : - le Soleil - le cercle de la Terre - le cercle de Mars On place lellipse de la sonde. Quelques points de repère H et F les foyers de lellipse, et C son centre. Les dimensions des cercles et ellipses : a T, a M, a S et c S.

10 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)10 Lorbite de la sonde Par simple calcul, on déduit les éléments de lorbite de la sonde : Sa période orbitale vaut : (attention aux unités, ici a S est en ua, le résultats est en années)

11 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)11 Lorbite de la sonde Il reste à placer la Terre et Mars à la date du lancement, car à ce moment là, la sonde est au point de tangence de lorbite de la Terre et de lellipse. Les longitudes des planètes sont : La direction origine : le point vernal ou point. lt 0 et lm 0 La direction du point est la direction origine, on fait tourner de lt 0 pour que la direction H devienne laxe des abscisses.

12 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)12 Lorbite de la sonde Cest ce que lon va tracer sous GeoGebra. Avant rotation Après rotation de lt 0.

13 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)13 Pour commencer il nous faut quelques éléments à trouver dans la littérature ou sur Internet : Les données de départ TerreMars Période Demi-grand axe Et on trouve les données des planètes un peu partout. Il vaut mieux choisir des sites astronomiques officiels, tel : Encore faut-il se méfier, il y a souvent des erreurs. - les demis-grands axes des orbites de la Terre et de Mars - les longitudes écliptiques de la Terre et Mars au jour du départ.

14 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)14 Les données de départ Il nous faut les éphémérides des deux planètes durant une période qui encadre bien la durée du voyage. Sur le site de lIMCCE, on fait calculer les positions qui nous intéressent du 1/10/2013 au 1/10/ La page dEphémérides en ligne de lIMCCE nous donne, à la demande, pour de nombreux corps leurs coordonnées dans tous les systèmes de repérage utilisés par les astronomes : local, équatorial, écliptique, coordonnées sphériques, coordonnées cartésiennes, etc.

15 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)15 Les orbites de la Terre et Mars sous GeoGebra Caractéristiques : 0 à 730, incrément 1, largeur 300 Ouvrir GeoGebra et charger le fichier terre_mars_ephemerides.ggb Créer un curseur temps : tps Créer la valeur ajusté à la date de départ (19/11/2013) t0 = 50 Créer la liste des cellules à (Créer une liste dans le fichier Les éléments de base de GeoGebra) ldatesA4A734 De même que pour les données dates du tableur créer les listes des longitudes de la Terre et de Mars sur la durée de leurs leurs périodes respectives lterre de B4 à B369Terre : lterre de E4 à E691Mars :

16 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)16 Les orbites de la Terre et Mars sous GeoGebra Elément[ dates, tps ] Sauvegarder le travail sous un nouveau nom. Afficher la date en fonction de tps

17 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)17 Orbite de la Terre a T P T Orbite de Mars a M P M Pour simplifier le problème, on considère des orbites circulaires. Rentrer les données des planètes Les orbites de la Terre et Mars sous GeoGebra Longitude de la Terre à la date de départ : lt_0=Elément[lterre, t0]

18 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)18 Les orbites de la Terre et Mars sous GeoGebra Tracer les orbites de la Terre et de Mars Placer le Soleil (point H) au centre, couleur jaune et grandeur 7. Mettre en couleur : bleu pour la Terre, rouge pour Mars. c_T=Cercle[ H,a_T] H = (0,0) c_M=Cercle[ H,a_M] Les planètes sont représentées sous forme de points T et M. Dans le plan xHy, qui est le plan de lécliptique, les longitudes sont comptées à partir de Hx (direction du point gamma).

19 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)19 Les orbites de la Terre et Mars sous GeoGebra Mettre un peu de couleurs aux planètes. Leurs longitudes sont données par les éléments de les listes lterre et lmars. De même pour Mars : Le caractère « ° » est nécessaire car GeoGebra travaille en radians. Placement des planètes en fonction de la date. T = (a_T ; Elément[ lterre, tps ]°) On place le point T dans GeoGebra par : En coordonnées polaire « ; ». M = (a_M ; Elément[ lmars, tps ]°)

20 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)20 Les orbites de la Terre et Mars sous GeoGebra Remarque : à léquinoxe de printemps, la Terre a pour longitude 180°, cest ce jour là que, de la Terre, on voit le Soleil dans la direction du point gamma. Point vernal ( ) Sauvegarder le travail.

21 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)21 Lorbite de la sonde Les éléments de lellipse de la sonde sont : a_S = (a_T + a_M) / 2 c_S = a_S - a_T P_S = sqrt(a_S^3)* On construit lellipse de la sonde comme si la Terre avait la longitude 0. e_S = c_S / a_S On la fera tourner de la longitude de la Terre au jour du départ.

22 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)22 Lorbite de la sonde La syntaxe de lellipse sous Geogebra est : Ici les foyers sont H et F Ellipse[H, (-2*c_S,0),a_S] Ellipse[,, ] H est à lorigine (0,0) F est à - 2 c_S puisque CH = FS = c_S F = (-2*c_S,0) Que lon fait tourner de traj_S = rotation[ Ellipse[ H, (-2*c_S, 0), a_S], lt_0°] lt_0

23 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)23 Lorbite de la sonde Tracer la ligne des apsides AA. Les deux points de la ligne des apsides avec lellipse sont à lintersection de lellipse avec laxe des x que lon a fait tourner de lt 0 ° : I = Intersection[ rotation[ axeX, lt_0° ], traj_S ] qui crée les deux points I 1 et I 2 Tracer le segment AA de I 1 à I 2 AA = Segment[ I_1, I_2 ] A A

24 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)24 Le voyage de la sonde Appliquer la loi des aires au déplacement de la sonde est assez complexe. Mathématiquement, il faut résoudre léquation de Kepler : u –e sin u = M qui se fait par itérations. Simplifions le problème en regardant le mouvement angulaire moyen. La sonde est à lintersection avec lellipse : Si le résultat nest quapproché, il est correcte aux moments du périhélie et de laphélie, juste ce quil nous faut. V_S = 360 / P_S Position de la sonde à tps jours : _S = lt_0+ (tps - t0)* V_S d_S = DemiDroite[ H, (1;α_S°) ] Traçons la demi-droite qui part du Soleil dans la direction de la sonde S = Intersection[d_S,traj_S] Sauvegarder le travail Le temps du voyage est la moitié de la période de la sonde.

25 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)25 Constatations La sonde nest pas au rendez-vous Que peut-on faire pour être plus réaliste ? - avoir des orbites de Mars et de la Terre plus réaliste - pouvoir corriger lorbite de la sonde - pouvoir ajuster le départ Le voyage de la sonde On avance le temps pour que Mars soit au point de tangence avec lellipse de la sonde.

26 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)26 Ajustement des orbites Terre et Mars Au lieu dutiliser des orbite circulaires, on va se baser sur les éphémérides des deux planètes sur une période complète de orbite chacune, 365 jours pour la Terre et 687 jours pour Mars. On a donc pour tracer ces orbites, les longitudes, latitudes et distances. On se place dans le plan de lécliptique, seules les longitudes et distances nous intéressent

27 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)27 Ajustement des orbites Terre et Mars Cellules des longitudes et distances LongitudesDistances cellulesnom listecellulesnom liste TerreB4 - B369lterreD4 - D369dterre MarsE4 - E691lmarsG4 - G691dmars Ce sont ces positions (en coordonnées polaires) qui vont permettre de tracer les orbites sous forme de segments. Il reste à créer les liste des distances : dterre et dmars

28 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)28 Tracé des orbites Terre et Mars - trajectoires Cacher les cercles orbites c T et c M Construire les séquences de segments des deux orbites connaissant la syntaxe dun segment : Segment[, ] Idem pour Mars : traj_T = Séquence[ Segment[ Point 1- (Elément[dterre, i] ; Elément[lterre°, i]), Point 2- (Elément[dterre, i + 1] ; Elément[lterre°, i + 1])], Itération i, 1, P_T] traj_M = Séquence[ Segment[ Point 1- (Elément[dmars, i] ; Elément[lmars, i]°), Point 2- (Elément[dmars, i + 1] ; Elément[lmars, i + 1]°)], Itération i, 1, P_M]

29 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)29 Tracé des orbites Terre et Mars - planètes Placer les planètes en fonction du curseur T = (Elément[dterre, tps]; Elément[lterre°, tps]°) La fonction Reste (ou modulo) apparaît ici lorsque lon va au delà de première période. M = (Elément[dmars, tps] ; Elément[lmars, tps]°) La Terre Mars a_T = Elément[dterre, Δt0] Il faut aussi ajuster la distance Terre Soleil à la date de lancement : tps

30 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)30 Tracé des orbites Terre et Mars - planètes lellipse natteint pas lorbite de Mars. Conclusions Lorbite théorique précédemment calculée ne colle pas - à cause de laplatissement de lorbite de Mars - et de la date de départ choisie Il faut faire une correction dorbite et agir sur le grand axe.

31 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)31 Ajustement de lorbite - correction dexcentricité a_S = (a_T + a_M) / 2 + Δa_S Créer un curseur permettant de faire varier lellipse suivie par la sonde. curseur variant de -0.1 à +0.1, largeur 100. Le changement dexcentricité agira sur la grandeur du demi-grand axe. a S

32 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)32 Ajustement de lorbite - correction dexcentricité On peut donc lancer la fusée, mais avec la date choisie, une trajectoire simplement balistique ne donne pas un rendez-vous possible. Départ – 20 novembre 2013 Arrivée – 6 septembre 2014 Mars est déjà passé.

33 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)33 Ajustement de lorbite – date de lancement Pour réaliser cette jonction, il faut jouer sur la date de lancement. Mars ne doit pas trop en avance, il faut partir plus tard, de façon que la Terre, tournant plus vite ait un peu plus rattrapé Mars. Il faut partir plus tard, de façon que la Terre, tournant plus vite ait rattrapé un peu plus Mars. On peut donc jouer sur la valeur de - et faire tourner lellipse de la trajectoire en fonction de la position de la terre à la nouvelle date. - qui revient à changer la date de lancement Pour faire ceci de façon commode, on va transformer en curseur. t0

34 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)34 Ajustement de lorbite – curseur t0 Dans la fenêtre, cliquer sur le petit point à gauche de. Un curseur se crée dans la fenêtre graphique. lui donner les plages de 0 à 200. En jouant alternativement sur les trois curseurs ( ), on va pourvoir faire coïncider larrivée de la sonde avec Mars. Donner la date de départ et darrivée pour la période qui nous intéresse. Sauvegarder le travail Algèbre t0 tps, t0 et a S

35 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)35 Voyages de la sonde - départ 12 décembre arrivée 14 septembre 2014 Dates : Durée : 276 jours Demi période : jours

36 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)36 Mouvement keplérien de la sonde On peut améliorer le mouvement de la sonde en calculant sa position avec léquation de Kepler écrite habituellement sous la forme : u – e sin u = M Que lon transforme en : x – e_S sin (x) = ams ams = 2 pi tps / P_S Voir le TD sur léquation de Kepler et la loi des aires sous GeoGebra et le cours de Jean Dufay (fichier crs_dufay_lois_kepler&newton.pdf). x – ams = e_S sin (x) étant lanomalie moyenne soitM

37 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)37 Mouvement keplérien de la sonde En se servant des propriétés de GeoGebra, la solution de cette équation est donnée par labscisse du point intersection des deux fonctions : f1:= e_S sin(x) f2:= x - ams Intersection : K = Intersection[ f1, f2, -2 pi, 4 pi ] On obtient lanomalie excentrique en prenant labscisse de (résultat en radians) : u = x(K) K

38 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)38 Mouvement keplérien de la sonde v = 2 arctan(tan(u / 2) sqrt((1 + e_S) / (1 - e_S))) 180 / d_S = DemiDroite[H, (1; (v + lt_0)°)] On trace la demi-droite en direction de la sonde : De là on passe à l qui est la direction de la sonde par rapport à et au grand axe de son ellipse, exprimée en degrés : Il reste à placer le point : S = Intersection[ traj_S, d'_S ] On vérifie quau périhélie et à laphélie, les deux représentations de la sonde S et coïncident. anomalie vraie v H S S S

39 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)39 Vitesses de la sonde On peut aussi utiliser les formules Vitesse moyenne Vitesse au périhélie Vitesse à laphélie Au départ, la sonde bénéficie de la vitesse de la Terre pour être placée sur son orbite. Sur son orbite, la sonde va avoir une vitesse variable, la plus grande au périhélie et la plus petite à laphélie (loi des aires de Kepler).

40 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)40 Vitesses de la sonde La vitesse étant variable tout au long de la période, la vitesse moyenne nest pas égale à 360° divisée par la période, mais par la moyenne de lintégrale de celle-ci sur une période. 2 - Au moyen de Geogebra calculer ces trois vitesses. 3 - Quelle est la vitesse quil faut encore donner à la sonde pour se mettre en orbite ? 1 - Quelle est la vitesse moyenne de la Terre ?

41 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)41 Vitesses de la sonde - résultats Vitesse de la Terre v_T = 2*pi*a_T* /(365.25*24*3600) = km/s Vitesse moyenne v_m = 2*pi*(a_S* )/(P_S*24*3600)*(1-e_S^2)^(-0.5) = km/s Vitesse aphélie v_{aph} = v_m * (1 - e_S) = km/s Vitesse périhélie v_{per} = v_m * (1 + e_S) = km/s Vitesse à acquérir Δvit = v_{per} - v_T = 3.48 km/s

42 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)42

43 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)43 Fin du voyage

44 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)44 IIc - Position de la planète au lancement Angle de rotation de la planète durant le parcours ? La position de la planète est telle que durant le trajet de la sonde, sa rotation lamène à laphélie de la sonde (périhélie pour une planète inférieure) Position de la planète au départ (angle T 1 SM P = 0 ) ? La sonde ayant fait la moitié de son orbite (180 ̊ ) : Pour que Mars (ou la planète) soit au rendez-vous lorsque la sonde arrive, il faut quau lancement la Terre et Mars soit dans la bonne configuration angulaire. (lapalissade ?)

45 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)45 IVa – Vitesses de la sonde Au départ et à larrivée, la sonde doit changer de vitesse - au lancement, de la vitesse de la Terre à sa vitesse pour être au périhélie sur son orbite - à larrivée, de sa vitesse à son aphélie à la vitesse de Mars Vitesse sur une orbite képlérienne : G cte de la gravitation, a demi grand axe de lorbite, Terre, planète ou sonde.

46 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)46 IVa – Vitesses de la sonde On peut aussi utiliser les formules Vitesse moyenne Vitesse au périhélie Vitesse à laphélie

47 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)47 IVb – Vitesses des planètes – calculs tableur Utiliser le [tableau IV]de la [Feuille Orbites] Col. E leurs vitesses moyennes ? Col. F leurs vitesses au périhélie ? Col. G leurs vitesses laphélie ? =2*PI()*C35/(D35*24*3600)*(1-C8^2)^(-0.5) =E35*(1+C8) =E35*(1-C8) A partir des caractéristiques des planètes du système solaire trouver formule tableur

48 2013/11/20Orbite keplérienne et sonde Terre-Mars (Obs. Lyon PhM)48 IVb – Vitesses de la sonde – calculs tableur Utiliser le [tableau V]de la [Feuille Orbites] Mêmes calculs pour les orbites des sondes par rapport aux planètes à atteindre. =2*PI()*J35/(L35*24*3600)*(1-K35^2)^(-0.5) =M35*(1+K35) =M35*(1-K35) =K8*$C$3 Comparer les vitesses de départ et darrivée de la sonde aux vitesses de la Terre et de la planète à atteindre. formule tableur Col. Lla période (en jours)? Col. E leurs vitesses moyennes ? Col. F leurs vitesses au périhélie ? Col. G leurs vitesses laphélie ?


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