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Terre Lune Soleil phm - version 2007/03/10 Orbite de la Terre et durée des saisons TD d Astronomie, avec quelques mathématiques et un peu de programmation.

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1 Terre Lune Soleil phm - version 2007/03/10 Orbite de la Terre et durée des saisons TD d Astronomie, avec quelques mathématiques et un peu de programmation dans un tableur

2 11/03/2007Durée des saisons2 Préambule La Terre ayant son équateur incliné sur le plan de lécliptique, les durées des jours et des nuits son variables au cours de lannée, cest le phénomène des saisons. Lorbite de la Terre nétant pas circulaire, les durées des saisons sont inégales et influent sur l'ensoleillement reçu aux différents moments de lannée. Comment recalculer la durée des saisons à partir des éléments de l'orbite de la Terre ou d'une planète ?

3 11/03/2007Durée des saisons3 demi-grand axe a excentricité e inclinaison sur lécliptique i longitude du nœud ascendant angle nœud ascendant -périhélie ou période sidérale P temps de passage au périhélie t 0 La Terre demi-grand axe a km excentricité e0,0165 angle nœud ascendant périhélie ° période sidérale P jours temps de passage au périhélie t 0 (à retrouver) Terre : i = 0 et Eléments de l'orbite d'une planète

4 11/03/2007Durée des saisons4 Travail suggéré 1) Retrouver la durée des saisons dans le cas de la Terre 2) Suivre lévolution de la durée des saisons et de lensoleillement avec les paramètres de lorbite (e et En première approximation : les orbites des planètes sont régies par les lois de Képler Calculs et tracés à laide dun tableur

5 11/03/2007Durée des saisons5 Orbite elliptique et équation de Kepler Connaître r et en fonction de t, utilisation de 2 variables u anomalie excentrique M anomalie moyenne, angle au centre d'une planète fictive accomplissant l'orbite à vitesse angulaire constante Passer de à u est simple Et entre u et M (u et M en radians) on a :u - e sin u = M Ces équations vont permettent pour les positions des équinoxes et solstices den calculer les instants t et les durées qui les séparent. (3) (2) (1)

6 11/03/2007Durée des saisons6 Positions des équinoxes et des solstices Pour la Terre tout est simple, à l'équinoxe de printemps, le Soleil est au point et l'on connaît la position du périhélie. On veut calculer langle EP à léquinoxe de printemps puis SE (solstice dété), EA (équinoxe dautomne), EA (solstice dhiver). Que valent ces angles ?

7 11/03/2007Durée des saisons7 Que valent ces angles ? Que valent les angles les autres positions : SE, EA, SH ? Solstice d'été SE = EP + 90 ̊ (modulo 360) Equinoxe d'automne EA = SE + 90 ̊ (modulo 360) Solstice d'hiver SH = EA + 90 ̊ (modulo 360) On part de la position du périhélie que lon connaît par rapport au point à léquinoxe de printemps Positions des équinoxes et des solstices

8 11/03/2007Durée des saisons8 Travail sur tableur A l'aide des trois formules, on calcule les temps de passages aux différents points par rapport au passage au périhélie et on déduit la durée des saisons. Pour chaque position, EP, SE, EA, SH, on calcule : 1 - lanomalie excentrique u (équation 2), 2 - lanomalie moyenne M (équation 3) 3 - les temps t EP, t SE, t EA, t SH (équation 1) temps de passage aux quatre positions remarquables. Les durées des saisons sont les intervalles entre t EP, t SE, t EA, t SH. Si la durée est négative, on ajoute P (365,25j) pour rendre la valeur positive. u - e sin u = M (3) (2) (1)

9 11/03/2007Durée des saisons9 u - e sin u = M (3) (2) (1) Fichier excel : durees_saisons.xls Feuille Terre 1 - Ecrire les formules appropriées dans les cellules C11 à C Les recopier par glissement dans les colonnes D, E, F 3 - Calculer les durées des saisons : cellules C15 àF Décomposer ces durées en jours et heures dans les lignes 16 et 17. N.B. : ne pas oublier de mettre des $ sur les cellules de données fixes B$5$ à B$8$.

10 11/03/2007Durée des saisons10 Variations de la durée des saisons avec « e » En recopiant avec décalage les formules utilisées précédemment, on remplit le tableau des lignes 24 à 50 pour variant de 0 à 0,05 On tracera en fonction de, les quatre courbes des colonnes O, P, Q et R Colonne A : (fixe) Colonne B : e (variable) Colonnes O, P, Q et R durées des saisons Lignes 21 à 47 Feuille Variations Recopier les cellules C11 à F17 de la feuille Terre dans les mêmes cellules de la feuille Variations

11 11/03/2007Durée des saisons11 Variations de la durée des saisons avec Travail identique aux lignes 24 à 50, ici dans la colonne A, varie de 0 à 360. On tracera en fonction de, les quatre courbes des colonnes O, P, Q et R Colonne A : (variable) Colonne B : e (fixe) Colonnes O, P, Q et R durées des saisons Lignes 51 à 75


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