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Econometrie des Series Temporelles: Principes et Applications en Finance Dr. Anne-Sophie Van Royen Universite de Sherbrooke 16-18 Juillet 2004.

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1 Econometrie des Series Temporelles: Principes et Applications en Finance Dr. Anne-Sophie Van Royen Universite de Sherbrooke Juillet 2004

2 Contact Dr. Anne-Sophie Van Royen Credit Suisse Asset Management, New York Tel: (212)

3 Plan de cours 15 heures reparties sur 3 jours Examen Objectifs: –Familiarisation avec les principaux themes dinteret en econometrie des marches financiers –Modelisation et tests dhypotheses –Applications a travers exemples et exercices –Le programme est charge, ne paniquez pas si vous avez du mal a absorber le programme –POSEZ des questions

4 4 References Hamilton (1994) Time Series Analysis Campbell, Lo, MacKinlay (1997) The Econometrics of Financial Markets Judge, Hill et al. (1988) Introduction to the Theory and Practive of Econometrics Harvey (1993) Time Series Models

5 Introduction Generale Elements dAlgebre lineaire

6 A Priori Negatif? There are three kinds of lies - lies, damned lies and statistics. –Benjamin Disraeli Satan delights equally in statistics and in quoting scripture.... –H.G. Wells, The Undying Fire

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8 Econometrie Utilisation de donnees (variables observees) afin danalyser les relations economiques entre diverses variables Les donnees: observations tirees aleatoirement parmi une population (individus, menages, firmes) ou unites dobservations (industries, pays, marches). Sauf dans de rares cas, les donnees sont tirees dun echantillon reel Buts principaux: –estimation des relations entre differentes variables –test dhypotheses –existence de relation entre variables –direction de la relation entre une variables economique – variable dependante – et ses determinants presumes –importance (significativite) de la relation

9 9 Processus

10 Quatre Etapes 1.Donnees –Collecte et transformation des donnees= matieres premieres –Les donnees sont le plus souvent observees (a distinguer des donnees experimentales / simulees generees sous des conditions pre-determinees) 2.Specification –Specification du modele: comment les donnees ont ete generees –Deux composantes: 1. Modele economique specifiant quelle sont les variable dependantes et les variables explicatives - Souvent tire de la theorie economique/financiere - Eclaire par lintuition et lobservation 2. Modele statistique: specifie les caracteristiques/forme de la relation a etudier

11 Quatre Etapes 3.Estimation Utilisation des donnees collectees afin destimer les valeurs numeriques des variables inconnues du modele 4.Inference Utiliser les valeurs estimees des parametres afin de tester des hypotheses quant aux valeurs numeriques obtenues Methode scientifique Principes et methodes necessares a toute investigation scientifique: 1. Formation de concepts directeurs 2. Conduire experimentations 3. Valider les hypotheses Leconometrie est la branche de leconomie -- the dismal science – qui se focalise sur 2) et 3)

12 Exemple 1 Quels sont les determinants principaux de la depense des menages en nourriture? Donnees: x echantillon de menages Pour chacun: trois variables observees foodexp = depense annuelle du menage, en milliers de dollars revenu = revue annuel du menage, en milliers de dollars hhsize = taille du menage, nombre dindividus foodexp income hhsize

13 Quel type de relation existe entre ces variables? Quel est le processus statistique qui genere ces donnees? Reponse: Nous postulons que la consommation de chaque menage (notee foodexpi) peut sexprimer comme suit: Foodexp(i)=f(income(i),hsize(i))+u(i) Quelle est la forme de la fonction f? Reponse : Nous postulons que f est une fonction lineaire Foodexp(i)=a+b1 income(i)+b2 hsize(i)+u(i) ui: erreur destimation pour le menage i a,b1 et b2 sont les parametres a estimer Si les variables sont transformees en logarithme, les coefficients b sont interpretes comme des elasticites partielles

14 Exemple 2 Importance de la volatilite sur le marche des options Volatilite: Definie comme la variance conditionelle des taux de rendements dun actif sous jacent Comment exprimer et estimer le comportement de la volatilite dun actif au cours du temps? La volatilite nest pas directement mesurable Que remarquez vous sur ce graphique?

15 15 PAS LE CONTRAIRE Caracteristiques 1. Volatility clusters, la volatilite peut demeurer a un haut niveau sur une longue periode 2. Evolution continue – pas de sauts discontinus. 3. Ne diverge pas vers linfini. 4. Asymmetrie: Reagit differemment a un choc positif ou negatif sur les rendements Passer des Faits aux Modeles

16 Notons z le taux de rendement de lactif Moyenne et variance conditionelle Pour simplifier, nous faisons lhypothese Les modeles de volatilite se concentrent sur

17 17 ARCH Engle (1982). Idee principale: 1)Les taux de rendement sont non-correles mais dependents 2)La relation de dependence sexprime sous une forme quadratique

18 18 Interpretation De forts taux de rendement (eleves au carre) impliquent une forte variance conditionelle. Par consequence, les taux de rendement futur tendent a avoir une forte valeur absolue De forts taux de rendement ont tendance a etre suivis par dautres forts taux de rendement (volatility clustering) Pas de prise en compte de lasymmetrie

19 19 Un Bon Analyste… 1) Doit etre capable de formuler ses hypotheses –Justification economique des variables prises en compte –Justification de la forme postulee de la relation entre variables 2) Doit etre conscient que tout nest pas solvable par une regression lineaire 3) Au dela de lintuition economique et financiere, doit posseder certains outils de base - Algebre, mathematiques, statistiques, notations - Outils de modelisation econometrique - Programmation

20 20 Algebre Lineaire La partie du cours tant attendue… Facilite les notations Outils de base –Operations elementaires –Transposition –Determinant –Inversion –Exemple

21 Algebre Lineaire Source: James R. Schott Matrix Analysis for Statistics (New York: John Wiley & Sons, Inc. 1997). Une matrice A de dimension m x n correspond a un groupe rectangulaire delements

22 Notations Les elements dune matrice sont definis par leur position en ligne et colonne Le 1er element fait reference a la ligne et le second a la colonne Ainsi, est lelement se trouvant a lintersection de la i ieme ligne et j ieme colonne

23 Somme La somme de 2 matrices de dimensions identiques sexprime:

24 Multiplication Multiplication par un scalaire: multiplier chaque element par le scalaire Multiplication matricielle: Deux vecteurs x et y peuvent etre multiplies ensemble: z (z=x y) ssi x et y sont conformables Si x est de dimension 1 x n et y de dimension n x 1, les vecteurs sont conformables Dimension de z: (m x n) X (n x p) m x p

25 Extension a deux matrices A and B: Si A et B sont 2 matrices de dimensions respectives k x n et n x l, les matrices sont conformables Trouver AxB

26 Multiplication Ligne Colonne

27 Proprietes Utiles Soient et be scalaires, A, B, et C trois matrices. Nous avons les proprietes suivantes A+B=B+A. (A+B)+C=A+(B+C). (A+B)= A+ B. ( + )A= A+ A. A-A=A+(-A)=(0) A(B+C)=AB+AC. (A+B)C=AC+BC. (AB)C=A(BC).

28 Transposition La transposee dune matrice de dimension n x m matrix est la matrice de dimension m x n ou les lignes et les colonnes sont interchangees. La transposee de A est notee A.

29 Proprietes Soient et deux scalaires et A et B deux matrices. Nous avons: ( A)= A. ( A+ B)= A+ B. (AB)=BA.

30 30 Exercice Quelle est la transposee de A?

31 Determinant Notation technique: Ou toutes les permutations sont prises en compte

32 Utilisation Tres utile en statistiques Le logarithme de la distribution normale multivariee Det(Omega)

33 Cas simple Matrice 2x2: En utilisant la definition precedente

34 Inversion Definition: Une matrice A de dimension m x m telle que |A|<>0 est dite non- singuliere et possede une inverse notee A -1 telle que

35 Proprietes Si alpha est un scalaire different de zero, et A et B sont deux matrices non-singulieres: ( A) -1 = -1 A -1 (A) -1 =(A -1 ) (A -1 ) -1 =A |A -1 |=|A| -1 Si A=diag(a 11,…a mm ), A -1 =diag(a 11 -1,…a mm -1 ). Si A=A, alors A -1 =(A -1 ). (AB) -1 =B -1 A -1.

36 36 Cas Simple Inverse dune matrice 2x2

37 Rang Le rang dune matrice est le nombre de lignes ou de colonnes lineairement independantes Exemple: trois vecteurs x,y,z 2x+3y-5z=0 dependance Condition: Le determinant doit etre different de 0

38 Exemple |A|=0. Pour determiner le rang, nous eliminons la derniere colonne et ligne:

39 39 Valeurs Propres Les valeurs propres dune matrice mesurent la proportion de la variance expliquee Definition: Ax= x, est lensemble des valeurs propres de A. Ax= x (A- I)x=0 Calculer x et : –Calculer det(A- I) Revient a exprimer une forme polynomiale –Identifier les racines det(A- I)=0 Le rang dune matrice est determine par le nombre de valeurs propres differentes de 0

40 40 Forme polynomiale de degre 3 Racines: A est de rang 2

41 Questions 1.Pouvons nous multiplier ces deux matrices? Quel type de matrice est inversible? Quest ce que la transposee dune matrice et son inverse? Si une matrice ne peut pas etre inversee, quel est la valeur de son determinant?


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