La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

1 Mécanique Quantique I -- Chapitre V-VI-VII cours-VII.pdf.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "1 Mécanique Quantique I -- Chapitre V-VI-VII cours-VII.pdf."— Transcription de la présentation:

1 1 Mécanique Quantique I -- Chapitre V-VI-VII cours-VII.pdf

2 2 à une particule on avait associé une amplitude de probabilité (A.P.) (ou fonction donde) qui est un élément dun espace de Hilbert ( E H = L 2 (R 3 ), fonctions de carré sommable sur R 3 ) Un Espace de Hilbert est un espace vectoriel sur le corps des complexes, muni dun produit scalaire Hermitien. On a vu que la donnée de ou de sont équivalentes (transformées de Fourier lune de lautre) ce sont deux des représentations possibles dun même objet mathématique quon appelle vecteur détat Dirac a nommé ces objets kets

3 3 à une particule on associe une A.P., ou vecteur détat ou ket qui est un élément dun espace de Hilbert Un espace de Hilbert est un espace vectoriel sur le corps des complexes, muni dun produit scalaire Hermitien le produit scalaire de par est noté il a la symétrie Hermitienne la norme dun vecteur détat est par définition (si on parle dune particule)

4 4 le produit scalaire de par est noté est appelé bra un bra est un élément de lespace dual E H * (ensemble des applications linéaires continues définies sur E H ) il y a correspondance bi-univoque entre E H et E H * donc on parle des mêmes objets mathématiques (et ~physiques)

5 5 exemple I un espace de Hilbert de dimension finie est un espace Hermitien les vecteurs peuvent se représenter comme des matrices colonne de coefficients complexes |ket> = vecteur colonne,

6 6 exemple II E H = L 2 (R 3 ), fonctions de carré sommable sur R 3 produit scalaire hermitien norme

7 7 OPERATEURS grandeur physique à mesurer opérateur hermitien  opérateur= application linéaire sur lespace de Hilbert Â| >= > > et > E H (dans un espace hermitien cest une matrice de dimension nxn) on fait souvent lopération )= ( = qui est appelée élement de matrice de  entre et valeur moyenne de  sur | > : =

8 8 en notation matricielle:

9 9 operateur adjoint ou conjugué Hermitique  |u> et |v> E H (transposé et complexe conjugué) un opérateur est auto-adjoint ou Hermitien si Â=  pour une matrice: A ij = A ji * si Â=  les valeurs moyennes sont réelles = = = *

10 10 E H = L 2 (R 3 ), fonctions de carré sommable sur R 3 opérateur position et impulsion lopérateur position est donc Hermitien

11 11 E H = L 2 (R 3 ), fonctions de carré sommable sur R 3 opérateur position et impulsion lopérateur impulsion est donc aussi Hermitien on intègre par parties le Hamiltonien est aussi un opérateur Hermitien

12 12 Vecteurs propres et valeurs propres si Â= Â les valeurs propres sont réelles : = = = = *= * les vecteurs propres correspondant à deux valeurs propres différentes sont orthogonaux = )= = ( = =0 si

13 13 Théorème spectral (théorème de Riesz): lensemble {, r >} des vecteurs propres orthonormés dun opérateur Hermitien forme une base Hermitienne de lespace de Hilbert voir dans le cours lexemple des états stationnaires de loscillateur harmonique qui forment une base de lexpace des fonctions de E H = L 2 (R) ceci veut dire que: on peut décomposer tout vecteur de E H comme combinaison linéaire des vecteurs propres dun opérateur Hermitien

14 14 projecteur lopérateur In> > = C n n> = C n C n n> = In> = (In>

15 15 soit Â=  et ses valeurs propres i i=1,…n à chaque valeur propre correspond un sous espace propre (en général ce sous espace propre nest pas de dimension 1) de dimension n. A cette dimension n on fait correspondre un indice r =1, …n On trouve une base orthonormée du sous espace propre correspondant à la valeur propre dont les vecteurs sont, r > r =1, …n lensemble des vecteurs propres de  est { i, r i > r i =1, …n i } i=1,…n si lespace est de dimension finie N, i=1..n n i =N Théorème spectral (théorème de Riesz):

16 16 si on a ainsi défini les vecteurs de base n> on peut écrire tout état sous la forme u> = C n n> et = IC n I 2 lensemble des C n définit complètement letat Iu> et constitue une nouvelle représentation de Iu> si Iv> = D n n> le produit scalaire sécrit = D n * C n

17 17 par exemple lensemble des fonctions propres du Hamiltonien de loscillateur Harmonique: (revoir cours chap. 4 p. 82) n=0,1,2… constitue une base des fonctions de E H = L 2 (R 3 ), que lon pourra noter n = In> on peut reprendre les expressions des opérateurs x et p x

18 18 soit on voit que lapplication de x ou p x fait passer dun état In> à un mélange de In-1> et In+1>

19 19 on peut écrire ces récurrences sous forme matricielle

20 20 exercice: utiliser la relation pour écrire le Hamiltonien et vérifier quon retrouve bien

21 21 Autre exemple: fonctions propres du Hamiltonien dun puits bords infinis à 3D qui sont bien des bases des fonctions définies sur un segment et qui sannulent au bords

22 22 cette fois la représentation sous forme de bra-kets doit tenir compte de ce quon augmente la dimension de lespace produit tensoriel despaces E x = fonctions de carré sommable sur [0,L] E = fonctions de carré sommable sur [0,L x ]x [0,L y ]x [0,L z ] = E x E y E z pour le Hamiltonien considéré les fonctions propres sont

23 23 remarquer que si L x =L y certaines valeurs de lénergie correspondent à plusieurs paires de nombres n x et n y (ex. n x =1, n y =2 aura la même énergie que n x =2, n y =1) cest un exemple de dégénerescence ou lon doit donner un autre nombre quantique que E, soit r dans le cas présent on donnera n x n y, n z ou E, n y,n z pour caractériser un état.

24 24 Mesure dune grandeur physique  on ne trouvera comme résultat possible que les valeurs propres de  pour un état I > = C I > tel que ÂI >= I > la probabilité de mesurer sera P = II II 2 =IIC II 2 les valeurs dépendent de lopérateur, les probabilités dépendent de létat du système valeur moyenne des résultats de la mesure = = = C * C = IIC II 2 = P Après mesure, si le système existe encore, il sera dans létat I >

25 25 Evolution dans le temps Pour un système statique (H ne dépend pas du temps) lévolution dans le temps de lamplitude de probabilité dun système sobtient en décomposant le vecteur détat I > sur la base des états propres I n > du Hamiltonien (Etats stationaires) Dans le cas plus général, lévolution dans le temps sobtient en appliquant léquation de Schrödinger

26 26 Paradoxe! Il semble y avoir deux types dévolution dans le temps. 1.Celui donné par léquation de Schrödinger lévolution est continue, du type 2. lévolution déterminée par une mesure, qui est discontinue Réduction du paquet dondes. Voir la discussion epistémologique dans le livre sur les tentatives visant à réconcilier ces deux modes.

27 27 Avant la mesure, le système évolue mais linformation que lon a ne change pas. La prédiction du résultat de la prochaine mesure varie de façon continue (et ne varie pas pour un état stationnaire). Après la mesure, une information supplémentaire existe, qui est le résultat de la mesure. Le vecteur détat est modifié pour tenir en compte cette nouvelle information, et évolue de nouveau de façon continue et réversible. Linteraction physique de linstrument de mesure avec le système peut contribuer à ce changement, mais pas necessairement. Le passage de avant à aprés mesure est (quasi) discontinu et généralement irréversible.

28 28 Exemple fameux (et quelque peu fumeux): le chat de Schrödinger atome radioactif p.ex. 6 He 6Li + +e - + detecteur (scintillateur et photomultiplicateur) électronique (amplificateur de signal) dispositif brisant une ampoule de gaz toxique animal de laboratoire (chat souris etc…) gedanken experiment

29 29 Comme la boite est fermée il ny a pas moyen de savoir ce qui se passe. A un certain moment on ouvre la boite et effectue lobservation. la souris peut être encore vivante ou …morte. Qui tue la souris? -- latome qui se désintègre? -- la personne qui ouvre la boite et effectue lobservation? En fait la mécanique quantique ne répond pas à cette question Par contre elle est capable de prédire quelle est la probabilité en fonction du temps que lobservation donne le résultat vivant ou mort P mort (t)=1-exp(-t/ ) P vivant = exp(-t/ ) ou est le temps de vie moyen du 6He. la personne qui a préparé lepérience..? ou

30 30 Chapitre VI Sytèmes à deux états Formalisme et exemples On est dans le cas dun espace de Hilbert à deux dimensions. Remarques: I. Ceci peut être une approximation (cas de la molécule dammoniaque si on se restreint au sous espace des deux niveaux les plus bas) ou un cas plus rigoureux (traitement du spin dune particule, polarisation de la lumière, système particule-antiparticule (K 0 - K 0, B 0 - B 0 ) II. le cas de systèmes à trois états (neutrinos), ou à petit nombre détats molécule de benzène etc.. est similaire.

31 31 vecteur quelconque: Espace de Hilbert à deux dimensions vecteurs de base: normalisation: opérateur Hermitien général a,b,c,d réels avec

32 32 Exemple Polarisation de la lumière z y x p s un faisceau de photons = ensemble de photons indépendants La polarisation de la lumière résulte du spin des photons: ils tournent sur eux-mêmes avec un moment cinétique = On peut représenter le spin des photons par un espace de Hilbert à deux dimensions lumière polarisée linéairement selon laxe x, y, lumière polarisée circulairement

33 33 Polariseur Un polariseur sélectionne la lumière polarisée linéairement selon un axe parallel à laxe du polariseur. il sagit bien dune mesure. Létat de la lumière après le polariseur est Ix>, Iy>, I > pour un polariseur orienté selon x, y,. Lopérateur polariseur est représenté par un projecteur  = valeurs propres et états propres: 1 I > ; 0 I + /2> La probabilité quun photon initialement dans létat I > passe est P= II II 2 = II cos cos + sin sin II 2 = cos 2 ( - )

34 34 expériences avec un polariseur on ne peut pas réduire la mécanique quantique à la probabilité des résultats obtenus lors dune mesure. Le fait que létat physique résultant est un vecteur propre de lopérateur correspondant est essentiel.

35 35 revenons sur la molécule dammoniaque niveaux dénergie les plus bas E 0 A E 1 A 1 E 1 -E 0 =0,12 eV A = eV A 1 = eV rapport statistique des populations (loi de Bolzmann): pour T=100 o K N A /N S ~1, N 1 /N 0 ~10 -6 approximation: les états sont IS> et IA> ASAS

36 36 vecteur quelconque: Espace de Hilbert à deux dimensions vecteurs de base Hamiltonien Evolution dans le temps:

37 37 IS> IA> IS> - IA> IS> + IA> IG> et ID> sont les vecteurs propres de 1 pour les valeurs propres -1 et 1. construct observable that is measured to be 1 for ID> and -1 for IG> X= ID>

38 38 Oscillation: cest ce qui se passe typiquement pour un système ou on a deux états et ou lon laisse évoluer le système à partir dun état qui nest pas état propre du Hamiltonien pour la particule libre P(D) P(G) t 1 0 la fréquence de cette oscillation est 24 GHz… La molécule ayant un moment dipolaire, elle émet des photons à cette fréquence qui sont detectés par ex. dans le vide insterstellaire

39 39 Molécule dans un champ électrique La molécule dammoniaque a un moment électrique dipolaire, la présence dun champ électrique E donne une énergie potentielle supplémentaire W pour un champ electrique aligné sur ox modification du Hamiltonien H=H 0 +W Les valeurs propres sont modifiées, les états propres aussi quelles vont être les conséquences mesurables?

40 40 nouvelles valeurs propres v1+v2=Trace=2E 0 v1.v2 = determinant= E 0 2 -A vecteurs propres: solution

41 41 champ E-E 0 +A -A E 0 + E 0 - E-E- E+E+

42 42 Force dans un gradient de champ pour < et I + > séparation des faisceaux!

43 43 _ _ + + on peut ainsi enrichir le faisceau avec un des deux types de molécules. En particulier on obtient un faisceau enrichi en qui est létat dénergie le plus élevé. Cest ce quon appelle une inversion de population. La création dune inversion de population (parfois appelée pompage) est un des préliminaires à leffet MASER (micowave) ou LASER (Light) Amplification by Stimulated Emission of Radiation

44 44 Maser à ammoniaque Emission spontanée: très lent ( >= 1mo) Emission stimulée on soumet les molécules à un champ electromagnétique à une pulsation voisine de 0 : Ceci ajoute au Hamiltonien un terme dans la base,

45 45 Hamiltonien dépendant du temps! On ne peut pas déterminer la dépendance en temps à partir des états stationnaires: ils nexistent pas. appliquons à soit

46 46 equations couplées. Poser on verra un exemple soluble exactement avec la résonnance magnétique. On peut résoudre numériquement aussi

47 47 Evolution: Resonance! T max = 1 ~10 -7 s pour E=1 kV/m t/T La transition est complète si T 0 = 1/24 GHz = s P Max si I (t=0)>=I A > I I 2 =

48 48 MASER _ + + inversion de population emission stimulée applications: amplification de signaux très faibles (la source est un champ extérieur) génération de faisceaux dondes intenses et cohérentes (MASER, LASER)

49 49 Le principe démission stimulée et de résonance est utilisé pour de multiples applications métrologiques Horloges atomiques l++> l+-> 133 Csraie hyperfine de = Hz = définition de la seconde la mesure de fréquence est la plus précise qui existe (on compte les coups par seconde)

50 50 Observables qui commutent Si deux observables Ô 1 et Ô 2 commutent, il existe un base de E H formée de vecteurs propres communs de Ô 1 et Ô 2

51 51 exemple: oscillateur harmonique à deux dimensions etcommutent est une base commune de et

52 52 Ensemble complet dobservables qui commutent v1v1 v2v2 v3v3 en général le sous espace associé à chaque valeur propre v k a une dimension n k. On a un ensemble COMPLET si létat propre commun de V,W,Z est unique: Iv,w,z> est de dimension 1. w1w1 w2w2 w3w3 w4w4 w5w5 w6w6 { } { { } } } } z1z1 z2z2 z3z3 z4z4 z5z5 z6z6 z7z7 etc… note: les valeurs propres w 1 et w 2 sont différentes w 1 et w 3 pas forcément

53 53 pour --un oscillateur harmonique à une dimension, --un puits fini ou infini à une dimension le Hamiltonien constitue un ECOC à lui tout seul. Pour un Oscillateur Harmonique à 2 dimensions H x, H y forment un ECOC. I n x, n y > est unique…bien que son energie ne soit pas unique! Létat I 1, 0 > a la même énergie que létat I 0, 1 > Un autre base possible de ce même sous espace propre est on va voir quils correspondent à un autre ECOC….

54 54 En effet r x y on peut faire apparaitre le moment cinétique fonctions propres de L z ?

55 55 contrainte: (r, )= (r, +2 ) qui permet de trouver les valeurs de lenergie (qui seront fonction de l 2 ) un état propre se caractérise par un nombre radial solution de cette equation et un nombre orbital l correspondant (Oscillateur harmonique à deux dimensions)

56 56 Lexpérience de Stern et Gerlach

57 57

58 58

59 59 Traitement classique: action dun champ magnétique sur une particule neutre se fait par son moment dipolaire magnétique B pour un moment magnétique sans friction precession avec friction: il saligne sur le champ magnétique (boussole)

60 60

61 61

62 62 mouvement dans une force constante (parabolique)

63 63 mouvement dans une force constante (parabolique) z z = 0 cos z -1 cos +1 L

64 64 z Quantique

65 65 quantification des trajectoires? relié à la quantification des raies atomiques?

66 66

67 67 Description quantique Manifestement on doit introduire un degré de liberté interne décrivant le moment magnétique. concentrons nous sur ce degré de liberté interne pour le moment

68 68 On a trois observables correspondant aux composantes dun vecteur moment magnétique Chacune a deux résultats de mesure possible nous nous plaçons donc (au moins) dans un espace à deux dimensions générés par les vecteurs propres de état quelconque on mesurera avec une probabilité 2

69 69 vecteur quelconque: Espace de Hilbert à deux dimensions vecteurs de base: normalisation: opérateur Hermitien général a,b,c,d réels avec

70 70 structure de lespace et règles de commutation: Est-ce que commutent? si oui, on peut trouver une base de vecteurs communs qui pourront sécrire I x, y, z> (8 vecteurs). Une autre possibilité serait quils ne commutent pas et que lepace nait que deux dimensions. Cette question peut être confrontée à des expériences

71 71 observation:

72 72 EXPERIMENTAL: x ne commute pas avec z etc…

73 73 Si x commute avec z la troisième mesure doit donner + 0 avec une probabilité de 100%.

74 74

75 75 toutes les observations sur les moments mahnétiques de latome dargent sont cohérentes avec la non-commutation de et la représentation matricielle suivante: dans la base des états propres de z.

76 76

77 77 Description complète du problème

78 78

79 79

80 80

81 81

82 82 Evolution dun moment magnétique dans un champ magnétique uniforme on a des equations indépendantes pour I+> et I-> on sépare donc avec h =2 0 B z

83 83 On peut calculer les valeurs moyennes des mesures de on retrouve bien le mouvement de precession – sur les valeurs moyennes! B

84 84 Description théorique de lexpérience de Stern et Gerlach on fait lapproximation que B z =B+bz. Ceci ne respecte pas les équations de Maxwell à strictement parler mais est convenable si on se limite au plan x=0. On a vu que reste constante. Appliquons le théorème dEhrenfest à car le seul terme qui ne commute pas est p 2

85 85 de même pour. Le seul terme qui ne commute pas est z zb soit On a une force différente pour les deux états. soit en intégrant jusquà linstant t conditions initiales pour les particules dans létat I+> ou I-> de z resp.

86 86 On retrouve bien les deux trajectoires possibles. Au bout dune distance L on a (on a t=L/v ) ou lexpérience nest significative que si leffet est plus grand que celui qui résulte de la divergence naturelle du faisceau.

87 87 On peut avec 4 appareils de gradient de champ créer un filtre de spin qui remet les particules sur le même axe. x y z Filtre A z Az+Az+ Az-Az- B 0z I0I0 I I= I 0 I >=superposition de I+> et I->

88 88 x y z Filtre A z Az+Az+ Az-Az- B 0z I0I0 I I= I 0 /2 I >=I+z>

89 89 x y z Filtre A z Az+Az+ Az-Az- B 0z I0I0 I I= I 0 /2 I >=I-z>

90 90 x y z Filtre A z Az+Az+ Az-Az- B 0z B 0y Ay+Ay+ Ay-Ay- Filtre A y Filtre B z Bz+Bz+ Bz-Bz- B 0z M1M1 M2M2 M3M3 I0I0 I

91 91 x y z Filtre A z Az+Az+ Az-Az- B 0z B 0y Ay+Ay+ Ay-Ay- Filtre A y Filtre B z Bz+Bz+ Bz-Bz- B 0z M1M1 M2M2 M3M3 I0I0 I

92 92 x y z Filtre A z Az+Az+ Az-Az- B 0z B 0y Ay+Ay+ Ay-Ay- Filtre A y Filtre B z Bz+Bz+ Bz-Bz- B 0z M1M1 M2M2 M3M3 I0I0 I0I0 exemple I I 0 /2 I 0 /4 I 0 /8 0

93 93 x y z Filtre A z Az+Az+ Az-Az- B 0z B 0y Ay+Ay+ Ay-Ay- Filtre A y Filtre B z Bz+Bz+ Bz-Bz- B 0z M1M1 M2M2 M3M3 I0I0 I Exemple II

94 94 Evolution dun moment magnétique dans un champ magnétique uniforme on a des equations indépendantes pour I+> et I-> on sépare donc avec h =2 0 B z

95 95 On peut calculer les valeurs moyennes des mesures de on retrouve bien le mouvement de precession – sur les valeurs moyennes! B

96 96 si MAIS:

97 97 x y z Filtre A z Az+Az+ Az-Az- B 0z B 0y Ay+Ay+ Ay-Ay- Filtre A y Filtre B z Bz+Bz+ Bz-Bz- B 0z M1M1 M2M2 M3M3 I0I0 I0I0 Exemple II B B et L sont tels que t=L/v=2 / 0 0 I0I0

98 98 Le moment cinétique On a vu que pour relation de commutation: On va considérer les propiétés dun opérateur qui obéit à le moment magnétique avait la même propriété en particulier chercher ses valeurs propres et vecteurs propres soit: et permutations circulaires

99 99

100 100 lopérateur J 2 on remarque que on va donc trouver une base qui diagonalise J 2 et par ex. J z On vérifiera que la base est unique il sagit donc dun ECOC On appellera le vecteur propre de J 2 pour la valeur h 2 j(j+1) et de J z pour la valeur hm N.B. cest arbitraire et choisi après connaissance de la solution… mais nimporte quelle valeur de R positive peut sécrire j(j+1) avec j positif!

101 101 Quelles sont les valeurs de j et m? On introduit des opérateurs J + et J - de façon semblable aux opérateurs a, a + pour loscillateur harmonique il est évident que J 2 commute avec J + et J -. Par contre, J Z : étudions létat

102 102 étudions létat est donc un état propre de J 2 pour la valeur j (ou il est nul) est un état propre de J z pour la valeur m+1 (ou il est nul) de même est un état propre de J 2 pour la valeur j (ou il est nul) est un état propre de J z pour la valeur m-1 (ou il est nul)

103 103 j m m m+1 m-1

104 104 ou nul? calculons le module de pour que ces vecteurs soient non-nuls il faut que -j m j

105 105 j m m m+1 m-1 cette valeur nest pas permise car en applicant J + deux fois on obtient un vecteur dont la norme est négative… cette valeur nest pas permise car en applicant J - deux fois on obtient un vecteur dont la norme est négative… il faut donc pouvoir 1. sarrêter à m=j en appliquant J + 2. sarrêter à m= -j en appliquant J - 2j = N 0 m=j m= -j

106 106 si on applique J + ou J - à un vecteur Ij,m> on obtient un vecteur Ij, m+1> ou Ij,m-1>. On obtient un vecteur nul si ImI j. On peut ainsi générer toute une série de N+1>0 vecteurs propres Ij,m> avec -j m j. Soit m max la plus grande valeur. On a forcément J + Ij,m max >=0 ce qui implique m max =j Cette même série va pouvoir être parcourue en appliquant J -, jusquà ce quon arrive à une valeur m min qui, par le même raisonnement sera forcément m min =-j après un nombre N dopérations. donc 2j=N Les valeurs possibles de j sont j=N/2= 0, ½, 1, 3/2, 2 et les valeurs de m sont les valeurs { –j, -j+1, …..j-1, j}

107 107 j m valeurs possibles de j et m

108 108

109 109 Moment cinétique orbital:

110 110 Moment cinétique orbital:

111 111 Moment cinétique orbital:

112 112 Moment cinétique orbital:

113 113 Pour le moment cinétique orbital,

114 114

115 115

116 116 Exemple de quantification du moment cinétique molécule linéaire O 2 Cs 2 (Césium) etc… E rotation = L 2 / 2 I ou I est le moment dinertie Equivalence on observe des pics dabsorbtion de la lumière laser avec des différences dénergies

117 117 Résumé Le moment cinétique est décrit par 2 Observables qui Commutent J 2 et par ex. J z les vecteurs propres sont notés Les valeurs possibles de j et m sont j=N/2 et m= -j, -j+1...j-1, j pour le moment cinétique orbital L=rxp les valeurs propres sont entières!


Télécharger ppt "1 Mécanique Quantique I -- Chapitre V-VI-VII cours-VII.pdf."

Présentations similaires


Annonces Google