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Cours CTN 504 Mécanique des sols Li Li, ing., Ph.D Professeur en géotechnique Département de génie de la construction Bureau: A-1484 Courriel:

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1 Cours CTN 504 Mécanique des sols Li Li, ing., Ph.D Professeur en géotechnique Département de génie de la construction Bureau: A-1484 Courriel:

2 Éteindre vos cellulaires, SVP!

3 Références supplémentaires: Cedergren, H.R Seepage, drainage and flow nets. 3 rd edition, John Wiley & Sons McCarthy, D.F Essentials of soil mechanics and foundation: Basi geotechnics. 6 th edition, Prentice Hall. Philipponnat, G Fondation et ouvrages en terre. Éditions Éyrolles.

4 Écoulement d'eau souterraine Une introduction à l'Hydro-géologie (Séance 1)

5 Introduction "L'eau, une source de vie, est une source de souci pour l'ingénieur" Quelques notions sur l'eau souterraine: Terrains aquifères. Terrains dans lesquels l'eau circule avec des débits importants. E.g., sols ou roches perméables; Terrains aquifuges. sols ou roches peu ou imperméables; Surface de la nappe. Surface de l'eau limitant la partie supérieure de la nappes; Nappe libre. Nappe où la pression interstitielles de l'eau au niveau de la surface est nulle; Nappe phréatique. Première nappe libre rencontrée depuis la surface. La surface de cette nappe s'appelle le niveau phréatique; Nappe artésienne. Nappe pour laquelle la pression de l'eau à la surface de la nappe est positive. C'est le cas d'un écoulement artésien ou confiné.

6 Rappel de quelques notions de mécanique des fluides En mécanique des fluides, les écoulements peuvent être distingués de: - Permanents vs transitoires (temps); - Laminaires ou turbulent (forme); L'eau est généralement considérée comme incompressible. Un gradient hydraulique i est définit comme la perte de charge par unité de longueur: où h = perte de charge l = longueur d'écoulement.

7 Vitesse et régime d'écoulement s'applique pour les sols pour la plupart des cas Loi de Darcy

8 Quelques principes de mécanique des fluides Loi de conservation de la masse: Cette équation est appelée aussi Équation de continuité. Équation (d'énergie) de Bernoulli:

9 Équation de Bernoulli exprimée en charge: charge de vitesse charge de position charge de pression Prise en compte de la perte de charge, h f :

10 Loi de Darcy: où A = aire d'une surface transversale; q = débit total à travers la surface transversale, A; v = vitesse d'écoulement; k = coefficient de perméabilité (appelé aussi conductivité hydraulique); h = perte de charge l = longueur d'écoulement

11 Vitesse réelle vs. vitesse apparente Considérons une longueur unitaire: ou où v = vitesse apparente d'écoulement dans le sol v s = vitesse réelle d'écoulement à travers les vides (pores)

12 Applicabilité de la loi de Darcy Malgré tout, la loi de Darcy est utilisée très largement dans la pratique. SolsApplicableRemarques Sable propreOuiSol de base pour l'élaboration de la loi Graviers très propres ou de remblais d'enrochement NonÉcoulement turbulent ArgilePas de consensusVoir commentaires en bas Hanson (1960) montre que la vitesse d'écoulement ne varie pas linéairement avec le gradient hydraulique. Holtz et Broms (1972) montre que l'exposant n 1.5.

13 Perméamètre: mesure de la perméabilité Au laboratoire, on mesure le coefficient de perméabilité soit par essai à charge constante ou par essai à charge variable.

14 Perméamètre à charge constante L'essais consiste à mesure la quantité d'eau recueillie pendant un certain temps en maintenant le niveau d'eau d'alimentation constant: d'où vient l'équation suivante: où Q = quantité d'eau collecté pendant l'intervalle de temps, t q = débit total à travers l'échantillon, A; A = aire de l'échantillon de la coupe-section horizontale; L = longueur (hauteur) de l'échantillon; h = (perte de) charge constante.

15 Le volume d'eau sortant du sol est: Pendant cette période (dt), la quantité d'eau entrant dans le sol est: où a = aire du tube. Le principe de continuité exige que: Perméamètre à charge variable L'essais consiste à mesure la quantité d'eau recueillie et la chute de la hauteur d'eau dans l'amont en fonction de temps. D'abord, on considère l'écoulement à travers le sol. Pour une très courte durée, dt, la vitesse d'écoulement dans le sol, v sol, est constante: t = t+dt

16 L'intégration: Le coefficient de perméabilité est exprimé: La hauteur d'eau dans le tube au moment t = t 2 : Perméamètre à charge variable (suite) soit: ou

17 Correction pour la température où k 20°C = coefficient de perméabilité à 20° Celsius; k t = coefficient de perméabilité à température t (en °C); 20°C = viscosité dynamique de l'eau à 20° Celsius: 20°C = ×10 3 kg/(m-sec); t = coefficient de perméabilité à à température t (en °C);

18 Coefficient de perméabilité: valeurs typiques très utiles

19 Coefficient de perméabilité: Quelques valeurs de référence écoulement laminaireécoulement turbulentsols difficile à drainer sous faibles gradients sols perméables sols très susceptible à l'érosion interne Limite inférieure de la perméabilité des sols et des bétons

20 (tiré de Philipponnat 1979)

21 Relations empiriques du coefficient de perméabilité pour les sables Hazen (1911) a proposé une relation empirique comme suit Pour les sables propres (contenant moins de 5% de particules passant le tamis n° 200): où k = coefficient de perméabilité, en m/s; D 10 = diamètre effectif des grain (3 mm D 10 = 0.1 mm); C = paramètre de matériau (C = ~ 0.012; valeur moyenne 0.01). Cette équation est valable seulement si k m/s. Si le coefficient de perméabilité d'un sable à un état donné (k 1 avec un indice de vide e 1 ) est connu, son coefficient de perméabilité à un autre état (k 2 avec un indice de vide e 2 ) peut être estimé approximativement par les équations suivantes: avec C 1 C 2 et C' 1 C' 2

22 Équation de Bernoulli: où v = vitesse d'écoulement d'eau à un point considéré u = pression interstitielle au point considéré z = charge de position, définie comme la distance verticale au-dessus (positive) ou au-dessous (négative) d'un plan arbitraire de référence ou datum. Étant donné que la vitesse d'écoulement dans les sols est très faible, la charge de vitesse est souvent négligée. La charge totale, h, est: où h p = charge de pression: Charge hydraulique et écoulement unidimensionnel

23 La charge totale, h = h p +z, est appelé charge piézométrique parce qu'elle est mesurable à l'aide d'un tube ouvert ou d'un piézomètre. niveau phréatique Plan de référence ou Datum z hphp h piézomètre La charge piézométrique (charge totale) est indiquée par le niveau d'eau dans le piézomètre tandis que la charge de pression h p correspond à la hauteur d'eau dans le tube (pas totalement vrai à cause de la capillarité).

24 Exercice: calculer la vitesse d'écoulement à travers le sol. 1) Considérer le système global; 2) Considérer le segment CD. A 0 AE AE 0

25 Exemple 7.10 A

26 Exemple 7.11

27 Écoulement bidimensionnel: Réseaux d'écoulement Exemple 7.18 hp Ahp A hp Bhp B hp Chp C hp Dhp D hp Ehp E

28 Considérons un élément dx par dy. Les débits totaux d'entrée (q ent ) et de sortie (q sor ) sont donnés comme suit: L'application du principe de continuité q ent = q sor amène à l'équation suivante: soit: La loi de Darcy s'applique: On obtient alors: Si le sol est isotrope, k x = k y, on obtient: Équation de Laplace

29 Dans l'exemple 7.12, il s'agit d'un écoulement dans un tube d'environ 35.6 mm de diamètre. On peut alors négliger la variation de charge dans la direction vertical (y) le long du tube, soit: et L'équation de Laplace devient: L'intégration de cette équation donne: Les deux constants C 1 et C 2 sont déterminés selon les conditions frontières: C 1 = (h D - h B )/BD et C 2 = h B La charge totale est exprimée comme suit: Application de l'Équation de Laplace pour l'écoulement unidimensionnel Exemple 7.12 y x

30 En géotechnique, on a souvent besoin d'évaluer les fuites d'eau d'une retenu (barrage par exemple), les pressions de soulèvement sous une barrage ou localiser les points les plus vulnérables à l'érosion interne et ce, à l'aide du traçage des réseaux d'écoulement. Un réseau d'écoulement constitue en réalité, une solution graphique de l'équation de Laplace: Cette équation peut être représentée par deux familles de courbes qui interceptent à angle droit pour former un réseau en patron de "carrée". Une famille des courbes correspond aux lignes d'écoulement alors que la deuxième correspond aux lignes d'équipotentielle. Les lignes d'écoulement représentent les chemins le long desquels, l'eau écoule à travers une section transversale. Les lignes d'équipotentiels sont des lignes de charge égale. Réseaux d'écoulement

31 Tous les réseaux d'écoulement doivent satisfaire certaines exigences. Les suivantes sont exigences de base (Cedergren 1989): 1.Les ligne d'écoulement et les lignes d'équipotentiel doivent interceptent à l'angle droit pour former des zones qui sont principalement "carrées". 2.Certaines exigences d'entrée et de sortie doivent être satisfaites. 3.Une règle de déflection de base doit être suivie en passant d'un sol d'une perméabilité à un sol d'une perméabilité différente. 4.Les équipotentiels adjacents ont des pertes de charge égales. 5.La même quantité de fuites s'écoule entres une paire de lignes d'écoulement adjacentes. Réseaux d'écoulement (suite.)

32 Suggestions générales (Cedergren 1989): 1.Tracer la coupe-section du problème sur un bon papier de dessin; tourner la feuille et construire les réseaux d'écoulement en verso. Après avoir complété le réseau d'écoulement, tracer-le en recto de la feuille ou sur un nouveau papier vierge. 2.Pratiquer avec le nombre de lignes tracées. Ne bombarder pas le dessin avec trop de lignes. Mais, trop peu de lignes risque de perdre les caractéristiques essentielles. 3.Pratiquer dans la sélection d'une échelle pour le dessin. Avec une échelle trop large, on gaspille du temps et des gommes. Une feuille de 8½ 11' est bonne pour la plupart des cas. 4.Avant de commencer le dessin, chercher les conditions frontières importantes et les lignes de réseau d'écoulement préfixées. 5.Dans le cas du traçage des réseaux avec des sections composées (sols avec plus d'une perméabilité), chercher les parties dominantes des coupes-sections. Les parties très perméables ou très peu perméables ont parfois des influences majeures sur les formes du réseau d'écoulement. 6.Ne regarder pas la forme globale quand travailler en détails. Ne raffiner jamais une petite portion d'un réseau d'écoulement avant d'autres parties soient assez bien développées. 7.Observer les règes de base fournies en haut. Réseaux d'écoulement (suite..)

33 Erreurs fréquemment commises par des débutants (tiré de Cedergren 1989)

34 Quelques notions supplémentaires: Canal d'écoulement: Canal délimité par une paire de lignes d'écoulement Chute de potentiel: Diminution de charge entre une équipotentielle donnée et l'équipotentielle suivante.

35 Systèmes d'écoulement confinés (Artésien) – Ligne phréatique connue Exemple 1: Fuite sous une rideau de palplanche dans une fondation sableuse. Étape 1: Par l'inspection de la coupe section, on voit qu'il y a 4 lignes du réseau d'écoulement connues Les lignes d'équipotentielle doivent faire un angle droit aux frontières imperméables

36 Étape 2: Tracer deux lignes d'écoulement intermédiaires qui font des angles de 90° à l'entrée (à amont) et à la sortie (côté aval), tout en gardant l'esprit que la fuite tends à se concentrer à certains points focaux (point E) Étape 3: Tracer une famille d'équipotentielles, qui doivent interceptent toutes les lignes d'écoulement à angle droit (90°), tout en essayant d'obtenir des "carrés".

37 Étape 4: Vérifier si toutes les intersections sont à 90°. Si oui, les figures seront rectangulaires; c'est ce qu'on souhaite d'obtenir. Si non, surtout à la présence des figures de diamant ou d'autres formes irrégulières, les lignes doivent délibérément déplacées jusqu'à ce que toutes les intersection soient en 90° et que toutes es figures soient essentiellement en forme de rectangulaire.

38 Exemple 2: Écoulement sous un barrage en béton Étape 1: Par l'inspection de la coupe section, on voit qu'il y a 4 lignes du réseau d'écoulement connues Étape 2: Les lignes d'équipotentielle doivent faire un angle droit aux frontières imperméables alors que les lignes d'écoulement font un angle de 90° à l'entrée (à amont) et à la sortie (côté aval).

39 Étape 3: Tracer deux lignes d'écoulement intermédiaires. Étape 4: Ajouter des lignes d'équipotentielles pour obtenir le premier réseau d'écoulement d'essai. Étape 5: Modifier les lignes progressivement pour atteindre un réseau final.

40 Étape 1: Par l'inspection de la coupe section, on voit qu'il y a 2 lignes du réseau d'écoulement connues. 1 2 Systèmes d'écoulement non confinés (gravitaire) – Ligne phréatique inconnue Exemple 3: Fuite d'eau à travers une digue en terre sur une fondation imperméable. Étape 2: Tracer une zone dans laquelle la ligne phréatique se trouve probablement

41 Étape 4: Tracer une lignes phréatique d'essai ab et une famille d'équipotentielles qui font un angle droit avec les lignes d'écoulement. Étape 3: Diviser la charge totale en plusieurs parties h et tracer des lignes directives horizontales qui interceptent la zone probable de la ligne phréatique.

42 Étape 5: Tracer une ou plusieurs lignes d'écoulement intermédiaires pour établir un réseau d'écoulement Étape 6: Vérification sur la règle de base: Pour un réseau d'écoulement quelconque, le nombre de canaux d'écoulement doit rester le même à travers tout le réseau. Cette règle assure que les eaux entrant dans une coupe-section doivent écouler à travers la section et sortir du côté de potentielle basse. Si le réseau est correctement construit et composé d'uniquement des carrées, cette règle sera observée automatiquement. Pour satisfaire cette règle, chaque paire d'équipotentielles adjacent doit contenir le même nombre de carrées.

43 Étape 6: La vérification est faite comme suivante: Mesure en échelle les largeurs et les longueurs des figures dans le réseau et calculer le nombre de canaux entre une paire d'équipotentielles. Le nombre de canaux est donné comme suit: La vérification montre que le nombre de canaux n'est pas le même partout. Correction est nécessaire. En général, si les "carrées" sur un point donné sont allongé horizontalement, la ligne phréatique est trop au dessus de ce point; Si les figures sont allongées verticalement, elle est trop hausse au dessus du point considéré.

44 Étape 7: Hausser la ligne phréatique. Les équipotentielles doivent être ajustées en conséquence. Étape 8: Répéter les étapes 6 et 7 jusqu'à l'obtention d'un réseau qui possède le même nombre de canaux partout.

45 Méthode de McCarthy (2002)

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47 Utilité des réseaux d'écoulement Une fois on obtient le réseau d'écoulement, la distribution de charge (potentielle) et de pression est obtenue. Le débit local (à travers les canaux) et global peut être estimé. Le gradient hydraulique:

48 Méthode de fragments (Pavlovsky 1956; Harr 1962)

49 Méthode de fragments (suite)

50 Exemple À calculer: a) le débit de fuite sous l'ouvrage avec k = m/s; b) le gradient de sortie au point E; c) la distribution des pression sous le barrage. Solution. Question (a) Étape 1: Diviser le domaine d'écoulement en fragment (trois). Étape 2: Comparer les fragments avec les Tableaux de Pavlovsky et choisir les types de fragment.

51 Étape 3: Déterminer les facteurs de forme. Pour les fragments 1 et 3 de type II, le facteur de forme est défini comme suit: où K et K' sont des fonction de m, qui est défini comme suit: Entrer les chiffres s = 12 m, T = 30 m, on obtient une valeur de m = (m 2 = 0.346). Consulter le Tableau 7.3 de Pavlovsky, on obtient K/K' = = par l'interpolation. Soit, 1 = 2 = Pour le fragment 2 de type V, on a: L = 40 m, T = 30m - 2m = 28 m, a = 30m – 12m = 18 m et s = 10 m. Puisque 40 m = L > 2s = 20 m, le facteur de forme 3 est obtenu par l'équation suivante:

52 Étape 4: Calculer le débit total par l'équation suivante: Question (b) Le gradient de sortie au point E est donné par l'équation suivante pour le fragment 2 de type II: Pour notre cas: soit où h m est la perte de charge dans le segment m, qui peut être estimé à l'aide de l'équation suivante: Le gradient de sortie au point E est:

53 Question (c) Dans la question (b), on a montré que la perte de charge dans chaque fragment est calculé comme suit: On a alors: La charge totale à chaque équipotentielle peut être calculée: à A-A': 12 m – 3.12 m = 8.88 m à F-F': 8.88 m – 5.76 m = 3.12 m

54 Supposons que la charge varie linéairement le long de la frontière du point A' à A à F et à F', le gradient (perte de charge par mètre) est: Par conséquent, les charges totales sous la base du barrage sont: au point A: 8.88 m – m = 7.92 m au point F: 7.92 m – m = 4.08 m Ajouter le 2 m qui correspond à la hauteur du bief aval pour finalement obtenir la distribution de la charge de pression.

55 Mesure de la perméabilité sur le terrain: Pompage (tiré de Philipponnat 1979)

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